三棱直線桁架的連續體等效及承載特性研究

胡文華，高家旺，馮晶晶，朱東方，曹東興，吳瑞琴

(1.天津理工大學天津市先進機電系統設計與智能控制重點實驗室，天津 300384；2.機電工程國家級實驗教學示范中心(天津理工大學)，天津 300384；3.上海市空間智能控制技術重點實驗室，上海 201109；4.上海航天控制技術研究所，上海 201109；5.北京工業大學機電學院，北京 100124)

桁架常被用作設計輕量化結構[1]。在結構設計分析中，有限元方法應用廣泛[2]。但桁架結構的元件眾多、質量和剛度分布不均勻，利用等效動力學模型分析其本質動力學特性比利用有限元法更具優勢[3]。國內外許多學者對其連續體等效建模與固有特性分析進行了研究[4-5]。直接用有限元法可以獲取桁架的等效剛度等參數[6]，利用譜元法和均勻化方法也可以構建周期性桁架的等效模型[7-8]。NOOR 等[9- 10]提出了基于能量互等原理的連續體建模方法，并對多種等效方法進行對比。STEPHEN和GHOSH[11]建立了鉸接非對稱周期桁架結構的等效梁模型，并對拉伸-扭轉耦合振動問題進行了分析。SALEHIAN和INMAN[12]建立了鉸接平面桁架結構的等效梁模型，利用哈密頓原理推導出等效梁模型的動力學偏微分方程，并通過實驗驗證了理論結果。蔡坤和史姣[13]將具有周期性微結構的平面網格結構比擬成均勻的連續體。李東旭等[14]研究了空間智能桁架的振動控制問題。關富玲和戴璐[15]對比了單環桁架與雙環桁架的結構剛度，并研究了桁架口徑尺寸對其動力學特性的影響。劉福壽和金棟平[16]將平面周期單胞等效為空間梁模型，并對比了原模型與等效模型的振動特性。GUO等[17]將雙層鉸接環形桁架結構等效為連續體模型，結合實驗與有限元結果驗證了等效方法的準確性。柳劍波等[18]建立雙胞元平面桁架結構的等效梁模型后，分析了單胞數量及彈性模量對固有特性的影響。張偉等[19]將含間隙運動副的環形桁架結構等效為環形薄壁模型。GUZMAN 等[20]研究了豎直放置的三棱柱塔架結構，將其等效為直梁模型并分析了其頻率和屈曲特性。劉梅等[21]利用能量等效法研究了直線式正三棱柱桁架結構，基于數值結果對比分析了等效模型的振型。桁架用作承載結構時，其各方向的承載要求通常不同，如圖1所示，桁架式吊臂主要是在垂向上克服重力，空間直線式天線的反射面板只安裝于其支撐桁架的一側，主要載荷發生在導致橫向彎曲的一個側面上。為了滿足承載要求，同時實現輕量化或低成本設計等目標，對于靜態承載，需要在結構不同方向上進行剛度設計，而對于動態載荷，應該考慮不同方向上的頻率設計。許多學者研究了桁架的連續體等效問題，但針對桁架在各方向上不同的承載需求而開展的研究較少。

圖1 支撐桁架Fig.1 Support truss

三棱直線桁架是具有代表性的空間梁式承載結構，通常是在某一個方向上有較高的承載要求。針對桁架結構各向承載異性問題，本文以三棱直線桁架為例，考慮非正三角形截面特征，利用能量等效方法推導桁架的等效參數的解析表達式，給定參數并利用有限元方法對理論推導進行驗證，最后基于理論推導結果分析截面特征和單胞形式對三棱直線桁架承載特性的影響。

1 等效參數

如圖2所示，三棱直線桁架是由多個桁架單胞沿直線排列而成的周期結構，桁架單胞由多個桿件組成。其中：豎桿長b， 底桿長s，橫桿長L。

圖2 三棱桁架ⅠFig.2 Tri-prism trussⅠ

直線桁架的連續體等效實質是將節點較多的桁架單胞簡化為節點較少的梁單元，使得原結構與等效模型處于同樣位移場和速度場時具有相等的應變能和動能。如圖2(a)所示，在桁架結構中截取桁架單胞，設定坐標原點并建立坐標系，將單胞中任意點的位移表示成x軸線上變量，有：

式 中，u0、v0、w0、φx、φy、φz、、、都 是x的函數。

基于小變形假設，將式(1)在坐標原點處對x進行一階泰勒展開，有：

單胞中各桿件的軸向正應變為：第k個 桿件；l、m和n分別表示桿件軸線與單胞坐標系各軸的夾角的余弦。

假定單胞中各桿件相互鉸接，只考慮桿件的軸向正應變，第k個桿件的應變能計為：

不考慮桿件局部變形，其動能計為：

式中，下標L和R表 示第k個桿件的首尾端點。

利用式(2)～式(5)可將桁架單胞的應變能和動能表示為：

基于能量等效原則，將桁架單胞應變能和動能與等效連續體梁模型的應變能和動能分別相等，可得等效梁模型的拉伸剛度E′A′、彎曲剛度和、剪切剛度和、扭轉剛度G′J′、單位長度質量、扭轉慣性參數和彎曲慣性參數，如下式所示：

2 等效驗證

某三棱直線桁架由10個如圖2所示桁架單胞構成，單胞中各桿件的彈性模量為72GPa，密度為2768 kg/m3，泊松比取0.33，幾何參數如表1所示。

表1 桿件參數Table1 Parametersof bars

令桁架一端固定一端自由，利用ANSYS計算出前幾階頻率，如圖3(a)所示。基于式(7)計算出懸臂梁的前三階彎曲和扭轉頻率，將所得結果與有限元計算頻率進行對比，如圖3(b)所示。可以看出，仿真計算出的頻率與等效參數所得結果基本一致。

圖3 數值驗證Fig.3 Numerical verification

3 單胞結構對桁架承載特性的影響

關于三棱直線桁架力學特性的文獻通常將截面設定為正三角形，這意味著結構剛度或頻率在三個側向上都相等。但實際工程中，桁架通常是在某個側向的承載要求高于其它方向。本節基于前兩節推導和驗證的等效參數研究單胞結構特征對桁架承載特性的影響。

3.1 底邊與側邊的長度比η 的影響

為了滿足桁架在不同方向的承載需求，同時實現輕量化設計，如式(8)所示，本文假定桁架截面的周長不變，研究底邊與側邊的長度比 η 對三棱直線桁架的剛度和頻率的影響。

在第2節給出的三棱直線桁架中，令其他條件不變，僅改變η，計算三棱直線桁架的固有頻率。三棱直線桁架側向的前兩階彎曲頻率與 η 的關系如圖4和圖5所示。可以看出，隨著 η 增大，三棱直線桁架在z向上的前兩階彎曲頻率都是減小，在y向上的前兩階彎曲頻率都是增大。三棱直線桁架前兩階彎曲頻率在兩個側向上的變化趨勢相反，但是振型類似，表現為懸臂梁的前兩階彎曲振型。

圖4 z方向彎曲Fig.4 Bending in z-direction

圖5 y方向彎曲Fig.5 Bending in y-direction

圖6同時給出了兩個側向的彎曲頻率，可以看出，當η=1時，頻率曲線有一個交點，表明截面為正三邊形時，三棱直線桁架的兩個側向彎曲頻率幾乎相等。圖6中，頻率曲線將所在平面分割成多個區域，這表明可以利用 η 的調整來指導桁架結構設計和承載設計，從而避免結構產生共振或者內共振。

圖6 頻率對比Fig.6 Frequency comparison

對于靜態載荷，主要考慮承載方向的剛度。因此，圖7給出了 η 與三棱直線桁架側向等效彎曲剛度的關系。可以看出，隨著 η 增大，三棱直線桁架在z向的剛度逐漸減小，在y向的剛度逐漸增大。

圖7 η對等效剛度的影響Fig.7 Effectsof ηon theequivalent stiffness

3.2 單胞形式的影響

工程中常有不同單胞形式的三棱直線桁架[22]，以適應不同的承載要求。單胞形式的改變必然導致桁架的頻率和剛度等特性發生變化。為此，在圖3所示桁架的基礎上進行調整，得到如圖8所示兩種桁架。圖8(a)所示三棱桁架Ⅱ中，截面的中線表示各截面上沿著z向加入一個直徑為6×10-5m2的桿件，成為底邊的高。圖8(b)所示三棱桁架Ⅲ中，桁架單胞斜向腹桿數減少一半，其他條件保持不變。

圖8 三棱桁架Fig.8 Tri-prism truss

利用第1節的等效方法得出圖8中桁架的等效剛度和等效質量。設z向為主承載方向，計算出其彎曲頻率及剛度，并與桁架Ⅰ進行對比，如表2所示。可以看出，桁架Ⅱ的z向前兩階彎曲頻率降低，而等效彎曲剛度和等效質量有所增大。桁架Ⅲ中以上各量的變化與桁架Ⅱ剛好相反。桁架Ⅱ中等效質量相對增加率大于等效剛度相對增加率，桁架Ⅲ中等效質量相對減小率大于等效剛度相對減小率。因此，單胞形式改變后，桁架頻率增減取決于等效剛度和等效質量的相對變化。

表2 單胞改變前后桁架特性Table2 Featuresof trusses before and after changing units

以上分析表明單胞結構對三棱直線桁架的頻率和剛度都有一定影響。針對桁架結構各方向上不同的承載需求，合理選擇或設計單胞結構對三棱直線桁架的動靜態承載性能有重要作用。

4 結論

針對桁架各向不同承載需求，以三棱直線桁架為例考慮其截面特征，利用等效方法推導了等腰三棱直線桁架的等效剛度與等效質量，通過算例對比理論推導結果與數值計算頻率，驗證了等效計算的正確性，分析了截面底邊與側邊的長度比 η 以及單胞形式對三棱直線桁架的剛度和頻率的影響。研究表明：

(1)隨著η 增大，三棱直線桁架前兩階彎曲頻率及剛度在兩個側向上的變化趨勢相反，但振型相似；

(2)改變單胞形式，三棱直線桁架的z向彎曲頻率、等效彎曲剛度和等效質量隨之改變，桁架頻率增減取決于等效剛度和等效質量的相對變化；

(3)單胞結構特征對三棱直線桁架的動靜態承載性能有重要影響，例如進行頻率設計可以避免結構動態承載時產生共振或者內共振，而剛度設計則可以在滿足靜態承載需求的同時實現結構輕量化。

式中：Ab為 豎桿和底桿截面積；Al為 橫桿截面積；Ad為底面斜桿和側面斜桿的截面積；Eb、Ed、El為彈性模量；ρb、ρd、ρl為密度。豎桿和底桿的彈性模量及密度相同，底面斜桿和側面斜桿的彈性模量及密度相同。側面斜桿長度d=，底面斜桿長度ds=。p,q,r是為了簡化公式引入的函數，表達式如下：