探求函數(shù)對稱性質 厘清函數(shù)解題思路

袁濤 陸婭君 張和平

［摘? 要］ 函數(shù)作為中學數(shù)學學習的主線，是學生數(shù)學學習的核心內容，而函數(shù)的對稱性作為函數(shù)的基本性質之一，是學生理解和掌握函數(shù)知識的關鍵. 函數(shù)的對稱性是學生理解和感悟數(shù)學“對稱美”的載體，是數(shù)學之美的具體表現(xiàn)形式. 作為函數(shù)的重要性質之一，函數(shù)對稱性的考查頻繁出現(xiàn)在歷年的高考真題中（如2021年全國文科甲卷、2018年全國文科新課標Ⅲ卷、2016年全國Ⅱ卷等），理解和掌握函數(shù)對稱性的本質是學生學好函數(shù)知識，獲得數(shù)學發(fā)展，提高數(shù)學成績的重要基礎. 文章基于一道高考真題，分享研究者關于函數(shù)對稱性質的探究和理解.

［關鍵詞］ 函數(shù)對稱性；解題思路；高考真題

基金項目：2021年凱里學院聯(lián)合培養(yǎng)研究生專項課題“問題驅動下的高中數(shù)學探究性教學研究”（LHYJS2107）.

作者簡介：袁濤（1994—），貴州師范大學碩士研究生，從事數(shù)學教育研究工作.

通訊作者：張和平（1974—），博士，凱里學院理學院教授，從事數(shù)學教育與測量研究工作.

真題呈現(xiàn)與解析

（2018年全國文科新課標Ⅲ卷第7題）下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=lnx的圖象關于直線x=1對稱的是

（? ）

A. y=ln（1－x） ???? B. y=ln（2－x）

C. y=ln（1+x） ????? D. y=ln（2+x）

分析 此題是關于函數(shù)圖象對稱的問題，可以直接根據函數(shù)圖象的平移和對稱變換求出結果，亦可根據相關點法解出答案.

解法1 函數(shù)y=lnx的圖象與函數(shù)y=ln（－x）的圖象關于y軸對稱，且所求函數(shù)的圖象需要與y=lnx的圖象關于x=1對稱，因此把函數(shù)y=ln（－x）的圖象向右平移兩個單位可得y=ln（2－x）的圖象，即為所求.

解法2 設Q（x，y）是所求函數(shù)圖象上的任意一點，則關于直線x=1的對稱點P（2－x，y）在函數(shù)y=lnx上，可得所求函數(shù)為y=ln（2－x）.

反思 在以上兩種解法的基礎上，還可以通過作出函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象的特點得出正確答案. 但無論采用何種解法，解答此題的關鍵都在于抓住函數(shù)圖象關于x=1對稱的本質，只要由此入手求解，便不難得出正確答案. 如果將此題中的具體函數(shù)換成抽象函數(shù)進行考查（如y=f（x）與y=f（2－x）的關系）又當如何？至此引起了筆者對“函數(shù)對稱性質”的思考.

結束語

數(shù)學本質的認識關系到學生數(shù)學知識的生長、數(shù)學能力的發(fā)展以及數(shù)學素養(yǎng)的養(yǎng)成. 在教學過程中，對于結論性的總結不應是簡單告知與證明了事，而應從本質出發(fā)，講清知識來源，讓學生明白知識間并不是相互隔絕而是有緊密聯(lián)系的，是一個符合邏輯的知識體系. 如此，方能幫助學生梳理知識結構，搭建新舊知識間的橋梁，實現(xiàn)數(shù)學發(fā)展.

參考文獻：

［1］ 陳洪波.奇偶函數(shù)圖象對稱性的推廣及應用［J］. 高中數(shù)學教與學，2018（17）：14-16.

［2］ 涂佳微. 思辨才能深度理解——由一道選擇題的解答談函數(shù)對稱性質及其應用［J］. 中學數(shù)學研究，2021（09）：20-22.

［3］ 劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學必修一（A版）［M］. 北京：人民教育出版社，2007.

［4］ 章建躍，李增滬. 普通高中教科書·數(shù)學必修第一冊（A版）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.