任憑遞推多變幻，奇偶分析煥精彩

周寧 林新建

［摘? 要］ 根據學生已有的解題經驗，利用奇偶分析對2021年八省適應性考試數學第17題提出不同于標準答案的做法，引導學生解題時應注意問題結構特征的表達，以及本質內涵的認識，從真正理解數學問題的角度培養學生的解題活動經驗，發展學生的數學素養，提高學生的實踐能力.

［關鍵詞］ 遞推數列；奇偶分析；數學素養

基金項目：福建省教育科學“十四五”規劃2021年度教改專項課題“基于核心素養的農村校高中數學校本作業設計研究”（編號：Fjjgzx21-327；主持：周寧）.

作者簡介：周寧（1985—），本科學歷，中學一級教師，從事中學數學教育工作，曾榮獲福州市中小學教師技能大賽高中數學組一等獎.

2021年1月八省適應性考試結束后，很多學生對第17題數列解答題的抱怨很大——認為難度很大，與解答題第一題的難度不匹配，不少教師也認為超綱超標． 筆者認真研讀這道題后，認為這道題具有很好的教學價值，值得深入研討． 筆者基于課標、高考真題的要求對這道題進行了溯源分析與解法探索，以期對今后的備考有所啟迪，敬請批評指正．

啟示及備考建議

從上述的分析可以看出，這類問題的解決方法實際上在歷年的高考真題中已有所體現，難度并沒有想象中那么大． 但是學生的解答效果很差，這就值得教師深思：在教學中存在什么問題？從這道題中可以吸取什么經驗教訓？

1. 抓住結構表征，直觀解題方向

在解決數學問題的過程中，有的學生手足無措，無從下手，一個主要原因在于沒有理解這是什么數學問題． 要真正理解數學問題，關鍵在于對題設條件（包括隱含條件）和結論結構特征的思考和聯想，架構已有經驗與待求問題之間的橋梁，將問題進行轉化并解決．

對于遞推數列，《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，能在具體的問題情境中，發現數列的等差（等比）關系，并解決相應的問題． 例1就是在奇偶分析中發現其中蘊含的等比數列，通過對等比數列的轉化實現問題的解決，而這開啟成功解決的鑰匙就是把條件的結構表征轉化為具有規律的數列． 那么奇偶分析法的結構表征是什么呢？奇偶分析法就是分類討論思想在數列中體現的一種方式，因此當遞推關系式中含有符號數列（－1）n時，自然要對n分奇偶進行討論確定符號，而處理相間項的遞推式如a－a=4×3n-1時，可以從該遞推式中發現當n分奇偶時呈現的規律，然后利用奇偶分析法求解．

因此在解題教學中，幫助學生理解數學問題，進行模型建構，獲得策略性解決方法是非常有必要的．但這不是死記硬背，而應當讓學生在探究的基礎上獲得. 盡量鼓勵學生自己通過結構特征建構模型，在實踐過程中體會知識方法的產生與發展，形成良好的思維方式，從而提升學習能力．

2. 重視本質內涵，領悟思想方法

本題（例1）有一種聲音：用競賽中的特征根法很容易解決，但對普通高中生來說難度過大，因此作為高考題不合適. 實際上這種觀點是片面的．

高考中也曾出現過不少競賽改編的試題，但出題人的本意并非把競賽的知識方法納入平時的教學，因為這些改編題根據課標和教材要求的知識方法就可以解決，只要在教學中著眼于課標和教材，把知識講清楚，把方法講透徹，本質弄明白，學生就不會出現面臨新的問題情境時束手無策的局面．

對于遞推數列問題，只要讓學生理解其本質就是轉化或構造規律數列（等差數列、等比數列、常數列等）進行求解，在這個方向的指引下結合構造思想、化歸與轉化思想、方程思想等對遞推數列進行奇偶分析，自然有能力實現問題求解．只有深刻把握數學問題的本質，從數學思想方法的角度去理解方法的內涵，學生才會自然地接受解題方法，發展解題思維，提升核心素養．