整體建構下的概念起始課單元教學嘗試

杭慧娟

［摘? 要］ 概念教學作為數學教學的一部分，要運用整體建構的方法來展現. 在核心素養導向下，以“一元二次方程”的概念起始課為例，基于數學課程標準，設置問題串，引導學生完整經歷一個新概念的生成過程，形成對后續學習知識的探討意識. 通過單元教學，整體搭建從未知到已知的認知橋梁.

［關鍵詞］ 整體建構；起始課；問題串；單元教學

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出：數學作為對于客觀現象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具，不僅是自然科學和技術科學的基礎，而且在人文科學與社會科學中發揮著越來越大的作用［1］. 這句話指出數學來源于生活，并且通過對客觀現象進行抽象、概括共同屬性，從而得出各種數學概念與基本原理等.

課前思考

數學教學應該建立在學生的已有知識的基礎上，新知識的學習也不應脫離學生已學的知識. 數學教學要建立在數學單元的基礎上，運用整體建構的方法來展現，概念教學作為數學教學的一部分，采用的方法亦如此. 培養學生學習認識新概念的方法：從問題情境中生成，從認知沖突中產生.

概念起始課需要搭建起新知與舊知間的橋梁，使新知的產生不突兀，引導學生主動將新知與舊知聯系起來，并將新知歸類到舊知的結構系統中.

“一元二次方程”（第1課時）的教學設計旨在讓學生通過情境回顧舊知，得到已經學過的兩類方程：一元一次方程和二元一次方程，再從問題情境中列舉出新的方程，通過與舊知的對比，抽象概括出一元二次方程的概念. 學生通過學習一元二次方程的定義、一般形式、特殊形式，從而掌握從“一般”到“特殊”的學習方法. 學生經歷一元二次方程的產生過程，明白數學來源于生活.通過引導學生類比學過的舊知“一元一次方程”“二元一次方程（組）”的研究方法，進而梳理出一元二次方程的研究方法，培養學生的數學建模意識. 這一過程彰顯了知識的整體性，讓學生的了解數學知識的邏輯性、連貫性和系統性，更好地理解數學學科的特點.

教學片段及分析

環節1? 情境引入，復習舊知

問題1：老師家孩子的游戲區域需要圍一個長方形的護欄，如果這個長方形護欄的長（x米）比寬多0.5米，周長為7米，你能列方程求出它的長與寬嗎？

生1：根據題目信息可列出方程1，2（x+x-0.5）=7.

問題2：如果這個長方形護欄的長（x米）與寬（y米）的關系不清楚，只知道周長為7，你能列方程表示出它的長與寬的關系嗎？

生2：根據長方形的周長公式可列出方程2，2x+2y=7.

追問1：上面列出的方程，我們都學過沒有？它們分別是什么方程？

生3：方程1和方程2分別是學過的一元一次方程和二元一次方程.

追問2：除了上面的一元一次方程和二元一次方程，我們還學過什么方程？

生4：還學過分式方程.

追問3：你是怎么區分分式方程與整式方程的？

生5：通過看分母有沒有未知數來區分.

追問4：對于整式方程中的一元一次方程，你是通過什么來判斷的？

（學生通過交流討論得出：一元一次方程是只含有一個未知數x，并且未知數的次數是1次的整式方程）

環節2 類比舊知，引出新知

問題1：根據下列問題，自主探索，列出關于x的方程.

（1）4個完全相同的正方形的面積之和為25，求正方形的邊長x.

生6：4x2=25.

（2）一個長方形的長比寬多2，面積是100，求長方形的長x.

生7：x（x-2）=100.

（3）把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長度與木條全長的積等于較長一段的長度的平方，求較短一段的長x.

師：你能根據題意列出方程嗎？

生8：x·1=（1-x）2.

問題2：觀察以上列出的方程，它們還是我們學過的方程嗎？

追問：上面的方程我們能化簡成等號右邊為0的形式嗎？

（化簡后得到4x²-25=0，x²-2x-100=0，x²-3x+1=0）

問題3：化簡后，這些方程與我們學過的方程有何相同之處和不同之處？

生9：這3個方程都是整式方程，都只有一個未知數x，且未知數x的次數不再是1次.

問題4：類比學過的一元一次方程，你覺得這個方程應該如何命名？

（學生通過討論給這樣的方程命名為一元二次方程）

追問1：為什么叫一元二次方程？什么是“元”？“次”是指什么？

生10：只含有一個未知數，未知數的個數就是“元”，“次”是指未知數的次數.

追問2：每一個未知數的次數都是2次嗎？

生10：不是，方程4x²-25=0中未知數的次數是2次，方程x²-2x-100=0與方程x²-3x+1=0中未知數的次數既有1次又有2次.

追問3：那如何完善，得出一元二次方程的概念呢？

（由此問題引導學生討論交流，歸納定義）

環節3 歸納抽象，深化概念

問題1：一元一次方程的一般形式是怎樣的？

生11：用字母a，b表示常數，一元一次方程的一般形式是ax+b=0，其中a不等于0.

問題2：觀察上述一元二次方程，我們能得出一元二次方程的一般形式嗎？

生12：一元二次方程的一般形式可以表示為ax²+bx+c=0，其中a，b，c都是常數，且a≠0.

追問1：你能指出方程中的二次項、一次項和常數項分別是什么嗎？二次項的系數和一次項的系數又分別是什么？

追問2：方程4x²-25=0的二次項系數是多少？一次項系數是多少？常數項是什么？

追問3：由此你覺得a，b，c的取值有什么特點？你能舉出特殊的一元二次方程嗎？

（通過以上連續三個追問，引導學生合作交流，鞏固學生對概念的理解和應用）

環節4 單元展望，明確方向

問題1：我們是如何研究一元一次方程的？我們經歷了怎樣的研究過程？

生13：我們研究一元一次方程的思維過程為，實際問題→一元一次方程概念→解方程→應用于實際問題.

問題2：你覺得我們要如何研究一元二次方程？你是怎么想到的？

（通過類比一元一次方程的研究方法和思維過程，學生很快就將一元一次方程的研究方法和思維過程遷移到一元二次方程的研究上來，得出和一元一次方程相同的研究方法和思維過程）

本節課的設計價值

1. 數學概念從情境中生成，從認知沖突中產生

數學概念是學生認知的基礎，也是學生進行各類思維活動的載體.本次一元二次方程的概念教學采取了概念形成和概念同化同時進行的方式. 創設問題情境，讓學生復習已學過的知識，并在問題的解決中產生與已有知識相沖突但又有關聯的新知識，順利搭建認識新概念的“腳手架”. 讓學生通過對一元一次方程的觀察，歸納出其本質屬性，從而得到一元二次方程的概念. 這樣的教學，既符合學生的認知規律，又能構建起學生的認知體系，使概念的產生更加自然，同時也把概念的本質屬性推廣到同類事物中去，從而得到概念的外延. 這樣的概念教學也符合章建躍博士指出的“概念教學必須讓學生經歷概念的形成過程”［2］．

2. 類比學習，構建知識的橫縱向體系

在數學學習中，發現真理的主要工具是歸納和類比. 把一元二次方程的研究與一元一次方程的學習經歷放在一起對比教學，體現了整體性的數學思維方式，使學生能思考方程與方程系統中的局部各類方程之間的關系，以及內在結構和研究方法的共同之處，從而更深入地理解數學概念的內涵和外延.學生在學習了一元二次方程的概念后，主動將該概念歸納到方程的系統中，使知識自成體系. 而類比學過的方程（組）來認識一元二次方程的學習過程其實就是概念同化．數學教學中，教師要“構建前后一致、邏輯連貫的學習過程，使學生在掌握數學知識的過程中學會思考”［2］，進而實現深度學習，達到理解數學本質的目的．

3. 從課時到單元，發揮概念起始課的整體建構功能

除了在知識的內容層面上，不隔絕開與舊知的關聯，使新舊知識連貫整體，這節課還注重讓學生在概念的始課上明確后續的大致學習內容. 當學生心中有了學習的框架結構，后續的學習內容就會變得更加自然和必要. 一般，概念起始課的教學設計與一般課程設計不同，它具有承前啟后的作用，既要讓學生看到新知產生的必然性，又要預見到新知如何發展，以及它的整體建構功能. 學完一元二次方程的起始課后，學生還要在這節課預見后面要接著探究的學習內容：如何解一元二次方程，以及一元二次方程在實際問題中的應用. 這樣從課時到單元的教學設計方式，讓這節概念起始課不僅“有血有肉，更有骨”.

4. 基于一般觀念，教會學生如何學數學

發展學生核心素養的教學理念提出后，我們一線教師都在思考，如何教學才能真正培養學生的數學學樣核心素養. 比如，在教學中不僅教會學生知識點，還教會學生如何發現問題，如何分析問題，如何通過歸類與分析得出同類知識的屬性，以及在研究問題的過程中，使用了什么樣的思維方式和思想方法. 在本次教學設計中，師生共同經歷了一元二次方程這個知識發生的全過程（如圖1）.

在經歷這個全過程的學習后，學生建構了對整個單元學習內容、學習路徑和學習方法的整體性認識，不僅知道學什么，還知道為什么學、怎么學、怎么用，通過滲透一般問題的研究方法，真正發展了他們的數學學習能力，落實數學學科核心素養.

5. 設計問題串，引發學生主動思考

教師在理解教材、理解數學、理解學生的基礎上［3］，站在整個初中數學知識體系的高度，設計問題串. 教師應始終從學生的認知特點出發，有效設計由淺入深、由表及里的疑問和追問，啟發性地引導學生自主思考. 在問題串的引領下，學生始終參與其中，成為探究學習的主角，主動概括和表達數學概念. 在富有靈氣的探討式的追問下，學生主動思考問題的產生與發展，極大地激發了學生的探究欲望. 問題串的設計富有整體性和邏輯性，從復習回顧到新知產生，從抽象概括到說理論證，促進學生思維的發展.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］ 章建躍. 章建躍數學教育隨想錄［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［3］ 杜育林. 整體把握 精心設計：以一元二次方程的概念教學為例［J］. 中學數學教學參考，2019（32）：15-17.