挖掘重構精設計，設問驅動助生成

潘琪

［摘? 要］ “銳角三角函數”是蘇科版教材九年級下冊的重要內容，銜接了初高中的知識. 教學該內容需要引導學生全面掌握直角三角形邊、角的關系，理解三角函數的定義，發現其中的規律. 章節知識跨度較大，教學中教師需要重構教材內容，分析學生實際情況，合理設計教學環節，引導學生深刻理解相關內容.

［關鍵詞］ 銳角；三角函數；概念；規律；思想方法

教材與學情分析

“銳角三角函數”是初中數學的重要內容，將其安排在九年級下冊，是為了更好地銜接初高中的知識內容. 初中學段的三角函數是學生后續在高中階段深入探究三角函數的基礎，因此引導學生掌握三角函數的概念和解直角三角形的方法便顯得格外重要.

1. 教材分析

“銳角三角函數”章節內容主要包括兩方面：一是銳角三角函數的概念，包括正弦、余弦和正切的概念；二是利用銳角三角函數來解直角三角形. 銳角三角函數的概念反映了角度與數值之間對應的函數關系，需要借助直角三角形的三邊關系來構建. 教學中教師需要落實四個內容：一是銳角三角函數的概念；二是特殊角的三角函數值；三是根據三角函數值來求解角度；四是解直角三角形的具體方法. 實際教學中教師應立足三大要點：一是基本點，引導學生認識與應用銳角三角函數；二是支撐點，基于勾股定理開展模型構建；三是能力提升點，引導學生掌握圖形的組合與轉化方法，靈活結合問題構建直角三角形.

2. 學情分析

學生在前面已經學習了函數、四邊形、相似三角形和直角三角形等知識，初步掌握了直角三角形的邊、角關系，以及基本的函數定義，可以熟練使用勾股定理來解決與三角形相關的問題，同時已經具備了一定的思維能力. 這些知識與能力為學生探究銳角三角函數奠定了基礎，因此教學中教師可以合理使用知識探究的方式來引導學生開展銳角三角函數的概念學習.

銳角三角函數是學生初次接觸這類函數，顯然不易理解其概念，也不能想到任意銳角的三角函數. 另外學生也不理解三角函數值與直角三角形的三邊關系. 教學中教師應引導學生逐步探究，通過比較、分析來得出結論.

基于上述教材分析與學情分析，教學時教師要遵循學生的認知規律，采用知識探究的方式實施教學. 對此，提出以下兩點教學建議.

建議1：從學生的認知水平出發，實施概念教學，引導學生通過類比思考獲得新知. 如在學生掌握了函數、坐標系、直角三角形等知識點的基礎上，通過研究舊知的方式引出新知.

建議2：遵循學生的認知規律，合理設計探究環節，利用科學的方法循序引導. 建議設計如下環節：引出新知→定義概念→探尋規律.

設計與引導探究

通過分析“銳角三角函數”的教材內容和學生學情，明確了章節教學的重點，并構建了教學主線. 下面基于上述分析開展教學設計.

教學環節1——情境設計，引出新知

教學初始可創設問題情境，以引導學生自主探究. 問題要立足直角三角形，立足學生認知的起點.

設計如下問題：如圖1所示，某縣為了綠化一座荒山，準備從位于山腳下的機井房A點處沿著山坡鋪設澆灌水道，并在山坡上修建一座水站，對坡面的草地進行噴灌. 現測得斜坡與水平面所成的角為30°，為了使出水口與地面的高度差為35 m，試問需要準備多長的水管？

教學中引導學生基于實例構建模型. 如圖1所示，顯然∠BAC=30°，BC=35 m，求AB的長度，引導學生利用三角形的性質來求解. 在此基礎上進行問題變式，設定出水口的高度為50 m，進一步探究所需水管的長度. 讓學生通過解決實際問題，深刻感知直角三角形中30°角所對邊與直角邊的比值不變的規律.

教學環節2——表示兩邊比，生成概念

在環節1的基礎上，設定兩邊比，生成銳角三角函數的概念. 共分兩個階段：一是重新設計幾何問題，利用特殊的直角三角形，引導學生由已知特殊角和三角形一邊，求三角形的邊、角未知量，并探尋其中的規律；二是明確兩邊比的表示，生成概念.

（1）設計問題

如圖2所示，兩個三角形均為直角三角形，已知圖中所示條件，求三角形另外未知的邊和角.

教學中教師引導學生利用三角形的特性、內角和定理，勾股定理等已掌握的知識來推導，同時讓學生關注含特殊角度的直角三角形中三邊之間的關系. 教師以等腰直角三角形為例，變更等腰直角三角形的腰長，讓學生分析腰的長度變化與兩腰的比值變化規律.

引出如圖3所示的平面直角坐標系，OM是由原點O引出的一條經過第一象限的射線，射線OM與x軸正半軸的夾角為α，NP⊥x軸，思考當P為射線OM上任意一點時，NP與ON的比值是否一致. 在射線OM上多次取點，讓學生通過測量的方式來求NP與ON的長，進而求NP與ON的比值，引出銳角α的正切來定義上述比值的相等關系.

（2）表示方法

在上述探究的基礎上開展兩邊之比的方法教學，生成銳角三角函數的概念. 教學中教師針對正弦、余弦、正切三大概念，借助直角三角形依次用直角三角形的邊長比值來表示，生成概念.

教學環節3——特殊到一般，探尋變化規律

銳角三角函數中隱含了一定的規律，完成概念定義后建議采用從“特殊”到“一般”的方式深入探究規律. 探究過程同樣分兩個階段：第一階段，特殊角的銳角三角函數梳理；第二階段，動態演示角度與兩邊比值之間的變化規律.

第一階段，利用特殊直角三角形的兩邊之比，得出相應的銳角三角函數的比值，梳理特殊角的正弦、余弦、正切，完成表1.

第二階段，將直角三角形一般化，探尋當∠A取其他一般角度時，對應的正弦、余弦和正切值是否發生變化. 教學中使用幾何畫板來進行研究，展示圖5所示的“單位圓”，探究直角三角形的三角函數值的變化規律.

教學中從兩個方向進行引導：一是改變∠A的大小，讓學生觀察三角函數對應邊長與比值的變化，發現其中“變”的規律；二是∠A的大小不變，改變AB的長度，從而改變Rt△ABC的大小，讓學生再次觀察對應三角函數的邊長比值變化，發現其中“不變”的規律.

教學與設計思考

“銳角三角函數”的知識內容較為特殊，既涉及幾何知識，又包含代數知識（函數），是三角函數體系中的重要內容，對于拓展學生的數學思維極為有利. 教學中教師要合理整合教材，圍繞重點知識設計教學環節，引導學生逐層探究，讓知識自然生成，同時充分滲透數學思想，提升學生的綜合素養. 對此，下面提出幾點建議.

1. 有效整合教材，完成知識重構

教材是課堂教學的主要依據，但教學中不必完全照搬教材，不必完全按照教材的內容編排順序來設計教學活動，而應有效整合教材，對知識進行重構. 在整合教材、重構知識的過程中，要把握教學重點，準確把握學生的知識起點，遵循學生的認知規律. 如“銳角三角函數”的教學中，教學重點是銳角三角函數的定義，研究重點是直角三角形中“銳角”與“兩邊之比”的對應關系，因此課堂教學需要充分依托直角三角形的性質完成知識探究. 同時利用直角三角形的邊長之比來梳理正弦、余弦和正切的概念，完成定義區分.

2. 合理設問引導，驅動知識生成

開放的課堂有助于拓展學生的思維，讓學生更好地融入課堂，讓知識自然生成，這就要求教師在課堂教學中合理設計教學環節，引導學生思考. 在“銳角三角函數”的教學中，筆者建議采用情境導入、問題引導探究的方式，根據學生已掌握的直角三角形相關知識，讓學生自主測量、計算，進而發現其中的規律. 針對探索中出現的不同情況，引導學生進行小組討論，開展互動交流合作，利用學生的生成性資源來驅動課堂. 教學中教師注意巧設問題，利用指向性問題把握教學方向.

3. 滲透數學思想，提升學生素養

“銳角三角函數”的教學有兩大重點：一是三角函數的概念，二是發現其中的規律. 實際教學中教師不僅要完成知識講授，還要合理滲透數學思想，尤其是類比思想和“特殊”到“一般”的思想. 在概念教學中講授了正弦定理后，教師要滲透類比思想，讓學生通過類比正弦來定義余弦和正切；而在規律探究中，教師要滲透“特殊”到“一般”的思想，先總結常見的特殊角度的三角函數，然后引入動態畫板，演示一般角的變化，從而完成從特殊角規律的梳理到一般角規律的發現. 整個教學過程中，教師充分挖掘數學思想的內涵，引導學生親身感悟，逐步提升學生的數學素養.