問題引領　凸顯本質

宋璐佳

摘 要：高中數學教學應以發展學生素養為目標，關注學生的個性發展和持續發展，培養學生終身學習的能力.為了達到這一目標，教師應從教學實際出發，精心設計問題，讓學生在問題的引導下學會思考，學會發現，學會探索，以此打牢終生發展的基礎，提升數學核心素養.本文以“數學歸納法”一課教學為例，在教學中以學生為出發點精心設計問題，讓學生在問題的解決過程中理解數學歸納法論證步驟的本質，促進了思維的發展和能力的提升.

關鍵詞：發展；問題；本質

在唯分論的影響下，為了追求成績，教師常常大包大攬，將知識、經驗等以“灌輸”的方式講授給學生，這樣不僅影響了學生創新能力的提升，還限制了學生可持續學習能力的發展^［1］.為了改變這一現狀，教師可以從學生已有知識和經驗出發，精心設計問題，進而在問題的解決過程中讓學生更好地理解知識，提高教學有效性.

“數學歸納法”是一種重要的數學論證方法，它在解決與自然數有關的命題中具有重要的價值.不過“數學歸納法”這一課為選修課，礙于課時的限制，大多教師以講授的方式呈現本節內容，這樣使得學生對本節內容的理解不夠深入，僅僅記住了其形式上的步驟，未能認清問題的本質，從而難以靈活應用相關知識解決問題.為了讓學生更好地理解和應用“數學歸納法”，教師需要精心設置問題，幫助學生突破教學重難點，讓學生理解數學歸納法論證步驟的本質，提高學生的數學應用能力.

1 借助問題情境，誘發思考

教學預設：根據已知，由a₁推導a₂，由a₂推導a₃，……，通過遞推猜想得到了結論.

問題3：這個猜想對不對呢？

師生交流探索：通過對前面幾項的驗證可知該猜想是正確的，但通過該方法不能確保后面也一定正確，因此該猜想需要進一步證明.

問題4：這個猜想該如何證明呢？

教學預設：學生通過思考發現，若按照剛剛的方法研究需要驗證無限次，顯然該方法行不通.由此引發思考：應該用什么方法來驗證呢？

設計意圖：以學生熟悉的數列題為切入點，讓學生發現之前探究數列通項公式的方法具有一定的局限性，以此感覺探究新方法迫在眉睫，進而有效吸引學生注意力，激發學生探尋新方法的熱情.同時，在教學中，以“問題”為主線，從學生的視角設計問題，調動了學生參與的積極性，激發了學生的數學學習興趣^［2］.

這樣以認知沖突為出發點，讓學生體會數學研究的必要性，讓學生帶著問題去探索大大地提升了學生的參與課堂的積極性，有利于提高教學效率.

2 借助生活實例，引導探究

在教學中，教師播放了一些“多米諾骨牌”游戲的視頻，并在課堂上自制了一個簡單的“多米諾骨牌”游戲，不過教師制作的游戲中，左邊一側的紅色骨牌能全部倒下，但是右邊一側的綠色骨牌卻不能全部倒下.結束演示后，教師讓學生思考這樣一個問題：

問題5：結合游戲過程，請思考讓骨牌全部倒下需要滿足什么條件.

師生交流探索：通過觀察、對比、交流，發現讓骨牌全部倒下需要滿足兩個條件：一是第一塊骨牌倒下（視頻中推倒第一塊的過程）；二是任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下會導致后一塊倒下.

設計意圖：從“多米諾骨牌”入手，讓學生體驗“無數”骨牌倒下其實只需要兩個步驟，進而為接下來的探究作鋪墊.

對于以上教學環節，學生通過觀察容易發現，若沒有推倒第一塊骨牌就不可能讓后面的骨牌倒下，于是易于總結歸納出第一個條件.而第二個條件不易于發現，為此教師應給予一定的提示，通過設問、對比等方式讓學生發現，前一塊倒下是導致后一塊倒下的前提，它們之間是一種遞推關系.由此總結歸納出，只有同時滿足這兩個條件才能確保所有骨牌可以全部倒下.

3 創設問題情境，提煉知識

問題6：你認為前面問題的證明和剛剛的游戲是否存在一定的相似性呢？你能通過類比分析解決剛剛的證明問題嗎？

師生探索：師生通過交流發現，兩者都存在遞推的特征.“第一塊骨牌倒下”所對應的是“第一項成立”；“前一塊倒下導致后一塊倒下”所對應的是“由前一項能夠推導后二項成立”，即一般地，若第k項a_k成立，則能推導第k+1項a_k+1也成立，則所有項成立.分析至此，學生發現證明“無限次”可以用兩步完成.

問題7：結合剛剛問題的證明，你能將其推廣至一般命題的證明嗎？

設計意圖：通過理解“多米諾骨牌”原理讓學生解決剛剛證明中遇到的難題，并交流提煉數學歸納法.學生親身經歷數學歸納法的形成過程，讓抽象的內容更加生動化、形象化，易于學生理解和接受^［3］.同時，在教學中，教師以學生發展為目標，通過問題引導學生去交流、去概括、去抽象，有效地提高了學生的數學核心素養.

4 借助錯誤分析，深化理解

問題8：判斷下列數學歸納法的證明過程是否正確，若不正確，說出你的理由.

若n∈N^*，求證：2+4+6+…+2n=n²+n.

證明：（1）當n=1時，等式左邊=2，等式右邊=2，結論成立.

（2）假設當n=k時等式成立，即2+4+6+…+2k=k²+k，

綜上可知，結論對于任意n∈N^*都成立.

設計意圖：通過主動“示錯”促進知識的深化.從以上過程可以看出，對于第二步，表面上看應用的是數學歸納法，假設n=k時結論成立，判斷n=k+1時結論成立，但仔細分析不難發現，學生在證明的過程中沒有通過遞推實現“有限”到“無限”，沒有領悟問題的本質.

師生互動交流發現問題的癥結后，教師鼓勵學生獨立糾錯.幾分鐘后，學生給出了正確的證明過程：

假設n=k時等式成立，即2+4+6+…+2k=k²+k.

當n=k+1時，

左邊=2+4+6+…+2k+2（k+1）=k²+k+2（k+1）=（k+1）²+（k+1）=右邊，結論也成立.

設計意圖：教師給學生充足的時間思考，通過主動“糾錯”進一步理解數學歸納法的本質，優化學生認知.

以上錯誤在解題時經常出現，這樣主動“示錯”，既可以有效規避學生在解題時出現同樣的錯誤，而且能讓學生進一步理解“數學歸納法”的本質，促進學生分析和解決問題能力的提升.

5 借助課堂小結，升華認知

課堂小結是課堂教學的重要組成部分，有效的小結有助于知識的深化與升華.在此環節，教師先是讓學生分組小結，并展示小組交流結果，至此學生對本課內容有了清晰的認識.為了進一步深化學生的認識，教師提出了如下問題.

問題9：我們知道數學歸納法有兩個步驟，它們分別有什么作用呢？

問題10：數學歸納法中的第2步應用的是“假設”，為什么要這么操作呢？

問題11：數學歸納法是科學的、嚴謹的嗎？

問題12：數學歸納法主要用于解決哪類問題呢？

設計意圖：因學生的認知水平有限，學生所總結歸納的內容可能缺乏一定的深度，因此在學生總結歸納后，教師又進行了有效的補充，從而讓學生更加全面、系統地認知數學歸納法，升華認知.

縱觀以上教學過程，教師在各個環節精心設計問題，讓學生在問題的引領下經歷了“數學歸納法”形成和發展的過程，使抽象的、難于理解的問題形象化、簡單化，讓學生認清了問題的本質，掌握了解決問題的方法.同時通過交流、提煉、抽象等活動發展了學生的數學思維能力，為數學學習打下了堅實的基礎.

參考文獻：

［1］ 郭立祥，李鴻艷.“問題意識”促進高中生數學邏輯推理素養發展研究［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2021（20）：5-7.

［2］ 高麗娜.巧用任務驅動教學 培養學生探究能力［J］.中學課程輔導（教師通訊），2021（11）：25-26.

［3］ 田芬.構建核心教學課堂，提高數學課堂效率［J］.華夏教師，2019（28）：31-32.