折紙活動：架起理論知識和實踐的橋梁

陳修文

摘 要：本文意圖通過折紙活動，獲得軸對稱性質的直觀感知，讓學生體驗從折等腰三角形遷移到折等邊三角形方法的探索過程，在折等腰三角形探索過程中加深對教材理論知識的進一步認識，從而反過來再利用理論知識來指導實踐的方法，探索如何折等邊三角形方法，把理論知識和生活時間相結合.

關鍵詞：折紙；軸對稱；等腰三角形；等邊三角形

1 教材背景

本節課是蘇科版八年級上冊第二章末尾的一節數學活動課，教材意圖通過折等腰三角形和等邊三角形的探究過程及說理過程，對本章的知識進行回顧復習，進而構建知識結構和方法結構.筆者曾聽過一次從章節復習課的角度上這節課，從而對這節課有了一些新的認識，筆者從探究課的角度出發，在探究過程中感知實踐中存在的知識，進行知識的建構；再運用到新的探究過程中，利用知識指導探究的方法，進行方法的建構. 本節課以折紙活動為載體，讓學生玩中學；以說理為手段，讓學生做中思；以思維為核心，讓學生思中得.學生“手腦并用”，達到“啟思明理”、“整體建構”的效果.

2 教學過程及設計意圖

2.1 情境創設

師：請同學們欣賞.（用多媒體展示一組生活中的折紙圖案）

師：觀察后你有什么發現？

生1：都是軸對稱圖形.

生2：每個圖形沿著對稱軸折疊，被對稱軸分開的兩部分完全重合.

設計意圖：給學生展示一組漂亮的軸對稱折紙圖案，讓學生感知折紙的趣味、作用和文化，感受到數學與生活的聯系，激發學生探究折紙的欲望.

2.2 活動探究

熱身活動 ：用長方形紙片折三角形

師：你能用一張長方形紙片折一個角形嗎？動手試試看，并嘗試畫出圖形.

學生完成情況：一部分學生折法如圖1，絕大多數的學生折出的如圖2所示，少數其他較復雜折法，全部學生均能完成活動.在畫圖過程中，絕大部分的學生遇到困難，因此在本節課的第一個圖的繪制過程中，筆者在黑板上演示圖形的畫法.

師：上述兩種折法得到的三角形是什么三角形？請說明理由.

生3：圖1得到的是直角三角形.因為長方形紙片的四個角是90°，所以是直角三角形.

生4：圖2得到的是等腰直角三角形.由折疊可以得到∠1＝∠2，且∠1+∠2＝90°，所以∠1＝∠2＝45°，∠B＝90°，可知△ABC是等腰直角三角形.

生5：關于圖2有不同的解釋，因為是長方形的紙片，那么紙片的對邊平行，可以得到∠2＝∠ACB，折疊得到∠1＝∠2，所以∠1＝∠ACB，且∠B＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形.

師：在上述折紙的過程中用到了哪些知識？

生6：長方形紙片的特征，四個角均為90°，對邊平行.

生7：翻折的特點，翻折可以得到軸對稱圖形，就會有軸對稱圖形的一些特征.

設計意圖：熱身活動是一個非常簡單的開放性問題，學生通過簡單的折紙操作，初步嘗試獲得成功，激發學生探究的激情，在簡單圖形的基礎上嘗試畫圖、說理，一方面回顧本長方形紙片和軸對稱圖形的基本特征，另一方面鍛煉學生從實際紙片抽象出數學圖形的能力和利用所學知識進行說理的能力，從而進一步鞏固所學的知識，并初步感性的感知數學知識和實踐相結合.體驗簡單折紙探索，圖形說理的過程，為折等腰三角形和等邊三角形的過程做鋪墊.

師：通過熱身活動，同學們能否嘗試折出等腰三角形呢.請同學們先獨立探索折法并畫出相應圖形，再小組內交流，比比看哪一組折法更多.

活動一：用長方形紙片折等腰三角形

1. 折一折：你能用一張矩形紙片折一個等腰三角形嗎？（最多折2次）

2. 畫一畫：嘗試畫出圖形.（折痕用虛線表示）

3. 說一說：你能說明理由嗎？

生8：把長方形紙片對折，然后剪下直角三角形，再展開，就可得到一個等腰三角形.理由是有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.

生9：我認為還有不同的解釋.折疊并剪下直角三角形后，得到兩個重合的三角形，重合的角是相等的，因此得到兩個相等的角，根據“等角對等邊”可以判定這個三角形是等腰三角形.

師：很好，這兩位同學利用了軸對稱的性質，很快就可以構造兩條相等的邊或兩個相等的角，可以從“等腰三角形的定義”和“等角對等邊”兩個方面得到等腰三角形.

生10：熱身活動的圖2得到的三角形是等腰三角形.

師：這個操作方便，得到三角形確實符合要求，但這個等腰三角形比較特殊，不僅僅是一個等腰三角形還是一個直角三角形.你能否借鑒圖2，進一步折出一般的等腰三角形呢？

生11：仿照圖2，改變折痕的位置，如圖3，因為長方形的兩條長邊平行，所以∠3＝∠1，又因為∠2是由∠1折疊得到，所以∠2＝∠1，所以∠2＝∠3，故△ABC是等腰三角形.

師：在這個過程中，蘊含了我們常見的一個基本的數學模型，誰來談談？

生12：角平分線加一條平行于角的一邊的直線，可以得到等腰三角形.

師：很好，在平時解題過程中，我們要善于總結、歸納、建模.

師：回顧折等腰三角形的過程，有哪些常見的折法？用到了哪些知識？

生13：利用軸對稱的性質、等腰三角形定義和等角對等對邊等知識，可以從折兩條相等的邊和折兩個相等的角兩個角度來折等腰三角形.

師：這位同學總結得非常好！折等腰三角形時，我們可以先想一想等腰三角形圖形的特征，從而找到解決問題的思路.

設計意圖：學生通過折紙實驗，根據“等腰三角形的定義和判定”，嘗試用不同的方法折出等腰三角形.活動過程中，讓學生進行操作、驗證、說理，既鞏固等腰三角形的判定方法，又很好地建構“平行線+角平分線得到等腰三角形”基本模型.活動的最后通過簡短的總結，讓學生形成對折等腰三角形的整體性認識.

活動二：用正方形紙片折等邊三角形

1. 想一想：正方形紙片有什么特點？

2. 折一折：你能用一張正方形紙片折一個等邊三角形嗎？

3. 畫一畫：嘗試畫出圖形.（折痕用虛線表示）

4. 說一說：你能說明理由嗎？

生14：折法如圖4，因為正方形的四邊相等，因此我想利用折疊把正方形的邊折到同一個三角形中.畫出圖形如圖5，A′B＝AB，A′C＝CD，又因為AB＝BC＝CD，所以A′B＝A′C＝BC，因此通過等邊三角形的定義“三邊相等的三角形”可以判定△A′BC是等邊三角形.

師：這位同學很好地利用了正方四邊相等的特征，利用折疊得到三邊相等，因此從定義出發可以很快地得到一個等邊三角形.你還有沒有其他的思路可以折出等邊三角形呢？

生15：根據等邊三角的判定方法，還可以折三個角都是60°的三角形，或者折一個角為60°的等腰三角形.

師：能利用所學知識來尋找解決問題的方法，真不錯！那如何折出60°的角呢？

學生在折60°的角的過程中，遇到了困難.

師：能否從剛剛的圖形中獲得一些提示呢？不妨計算圖5中角的度數.

生16：折法如圖：

通過計算可以得到圖4中翻折的角度為15°，可以利用同樣的方法在同一頂底處再構造一個15°，這要用（90-15-15）°＝60°，就能得到圖9中的等邊三角形.

師：這位同學的非常聰明，這么快就能找到解決問題的方法.同學們可以在課下再想一想還有那些折60°角的方法，從而用尋找到折等邊三角形的其他方法.

設計意圖：折等邊三角形是難度較大的探究活動，茫無目的的嘗試很難解決問題，這就需要學生先思而后行，自然而然地引導學生回顧等邊三角形的定義和判定方法，在理性分析的基礎上給與學生充足的時間去實踐探究，因此，通過設計折等腰三角形、等邊三角形的活動來讓學生玩中學，做中思，讓學生經歷操作、探究、說理的過程，培養學生動手能力、空間觀念和想象意識，激發學生對數學探究活動的興趣，發展合乎邏輯的思考和有條理的表達能力.

2.3 歸納小結，拓展提升

師：這節課在知識和方法上你有什么收獲？你還能提出哪些問題？

生17：我學會了利用紙片折疊等腰三角形、等邊三角形.從定義和判定不同的角度出發，可以有不同的方法進行折疊.

生18：折紙的過程中，主要是利用了軸對稱性.

生19：在折疊之前，我們要先想一想需要折疊的圖形的特征，思考折疊的方向是什么，然后再動手去嘗試，否則不容易實現目標.

師：本節課我們通過做折紙實驗活動，在折等腰三角形這樣稍微簡單的問題的探究過程中，形成方法的知識和實踐的橋梁，從而在折等邊三角形這樣較難的問題中，反過來利用知識來尋找解決問題的方法進而解決問題.

師：你有什么新的發現或者問題與大家交流嗎？

生20：怎樣用長形紙片折出等邊三角形？

生21： 用長方形紙片還能折出哪些幾何圖形？

設計意圖：通過引導學生進行總結反思，幫助學生形成知識結構和方法結構，內化基本活動經驗；通過讓學生提出新的問題，進一步培養學生的發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.這樣，學生帶著問題出課堂，把探究的熱情延伸到課外.

3 教學感悟

本節課從課型上來說是一節數學實驗課，課堂以活動為手段、以問題為載體、以思維為目標，面向全體學生的通過動手動腦“做”數學的一種數學學習活動.打破慣性的數學課堂的知識學習和做題練習的模式，通過活動建構知識、探究方法，從而架起理論知識和生活實踐的橋梁.筆者認為本節課中獲得成功的地方具體體現在以下幾個方面：

3.1 設置活動的梯度，使課堂面向全體學生

本節課設置從易到難的不同活動，考慮個體的差異性，讓“怕數學”學生敢于挑戰問題、讓“尖子生”可以進一步提高；另外課堂呈現出適當的開放性，尊重每個學生的個性，鼓勵學生敢于提出不同的實驗思路、不同的想法.通過難度的階梯性和探究方法的開放性兩方面讓所有學生都能各顯神通，獲得探究的成就感.比如學生盡可能用多種方法折等腰三角形，鼓勵學生上臺展示自己的折紙過程并說明理由，尊重每個學生的數學現實，每一位學生都能從中體驗學習的快樂和成就感，達到總結經驗與升華認識的目的，積淀數學素養，真正讓每一位學生都能獲得發展.

3.2 讓學生成為課堂的主體

傳統的數學課，學生往往是被動式地記住老師或課本呈現的知識和方法，再進入“題?！?，學生覺得課堂枯燥無味.而折紙實驗課引導學生從生活經驗和已有的知識背景出發，通過實驗形成感性認識；通過畫圖和說理的過程建構知識和方法結構，建立知識和方法之間的聯系從而掌握知識和方法.通過活動產生對數學的好奇心、求知欲，體驗數學的樂趣，變“苦學”“厭學”到“樂學”“好學”的境界，學生在“做中學”、在“創中學”、在“研中學”，充分突顯學生是學習的主體.

學生通過折紙實驗，探究多種方法折等腰三角形和等邊三角形，讓學生進行操作、驗證、說理，將零散的知識結構化、單一的圖形模型化、抽象的思維顯性化、靜態的圖形動態化，關注知識點間的綜合聯系，形成對知識的整體性認識.經歷折等腰三角形的探究過程，體會如何利用理論知識解決問題的過程，從而在探索折等邊三角形時，利用理論知識來尋找解決問題的基本方向，再進一步利用知識指導實踐.學生在做中思，在思中行，通過數學實驗調動學生解決問題的欲望，激發學生探究的興趣，促使學生邊操作邊思考，邊思考邊建構，邊建構邊完善，折紙活動真正做到通過探究和操作架起知識和實踐的橋梁，真正使數學課堂更加精彩、精致！

參考文獻：

［1］ 楊裕前，董林偉.義務教育教科書數學八年級（上冊）［M］.南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2016.

［2］ 黃玉華，黃容華.數學實驗：打開復習課的一扇窗［J］.中學數學，2017（8）：26-29.