直線同步電動(dòng)機(jī)磁懸浮系統(tǒng)非線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)反步控制*

邢藝馨， 藍(lán)益鵬， 姜云風(fēng)， 孫偉棟

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110870)

0 引 言

“旋轉(zhuǎn)伺服電機(jī)和滾珠絲杠”結(jié)構(gòu)是精密數(shù)控機(jī)床最常用的傳動(dòng)部件。其主要功能是將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為線性運(yùn)動(dòng)。該結(jié)構(gòu)中包含的中間傳動(dòng)鏈導(dǎo)致了系統(tǒng)具有較大的運(yùn)動(dòng)慣性，大量機(jī)械結(jié)構(gòu)不可避免地導(dǎo)致大量機(jī)械結(jié)構(gòu)摩擦和變形，進(jìn)而引起功率損失并造成系統(tǒng)誤差的積累[1]。由于滾珠絲杠的存在，整個(gè)系統(tǒng)的線速度、加速度和定位精度降低，無(wú)法滿(mǎn)足數(shù)控機(jī)床高精度、高速度的加工要求。使用磁懸浮直線電機(jī)是解決這一問(wèn)題的有效方法之一[2]。

在電勵(lì)磁直線同步電動(dòng)機(jī)(EELSM)中可以實(shí)現(xiàn)進(jìn)給平臺(tái)和靜止導(dǎo)軌之間的相對(duì)獨(dú)立[3-4]。系統(tǒng)的效率以及靈敏性均會(huì)受到導(dǎo)軌與機(jī)床平臺(tái)摩擦力的影響，采用EELSM數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，可以消除摩擦對(duì)系統(tǒng)的影響。但在EELSM磁懸浮系統(tǒng)上會(huì)存在外界擾動(dòng)等不確定性作用，難以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行精確控制。因此，消除不確定因素對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，并設(shè)計(jì)出控制性能良好的控制器是實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)高精度控制的關(guān)鍵[5-6]。

在許多實(shí)際系統(tǒng)中，對(duì)象的動(dòng)力學(xué)方程是非線性的。自適應(yīng)控制方法對(duì)于非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)具有較大的進(jìn)步和發(fā)展。反步法是另一種應(yīng)用較為廣泛和有效的非線性控制設(shè)計(jì)，對(duì)控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，之后與Lyapunov函數(shù)結(jié)合，使整個(gè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制[7]。為了消除未知非線性動(dòng)態(tài)引起的困難和挑戰(zhàn)，未知非線性擾動(dòng)可以通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊系統(tǒng)在線逼近[8]。為了降低系統(tǒng)非線性的影響，可通過(guò)徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNN)對(duì)系統(tǒng)的非線性部分進(jìn)行逼近[9]。文獻(xiàn)[10]針對(duì)時(shí)滯未知、狀態(tài)不可測(cè)、存在外界干擾的不確定非線性系統(tǒng)，提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)反步超扭滑模控制方案,保證了觀測(cè)器和跟蹤誤差快速收斂到原點(diǎn)附近。文獻(xiàn)[11]針對(duì)執(zhí)行器故障參數(shù)和模式完全未知的分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)進(jìn)行自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反步控制設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[12-13]針對(duì)不確定多輸入多輸出非線性系統(tǒng)開(kāi)發(fā)了具有狀態(tài)反饋情況的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反步控制。

分析了EELSM磁懸浮平臺(tái)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型與狀態(tài)方程，采用非線性自適應(yīng)控制對(duì)EELSM磁懸浮系統(tǒng)所具有的非線性以及不確定性擾動(dòng)有較強(qiáng)的適應(yīng)性。本文設(shè)計(jì)了一種基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)反步控制器(RBFNN-ABC)，在自適應(yīng)反步控制中，對(duì)于未知的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，通過(guò)使用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNN)作為函數(shù)逼近器來(lái)解決。其中的外部干擾與不確定性擾動(dòng)通過(guò)自適應(yīng)反步算法來(lái)估計(jì)。系統(tǒng)的穩(wěn)定性通過(guò)Lyapunov函數(shù)方法來(lái)證明。將所提出的基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)反步控制器(RBFNN-ABC)的仿真結(jié)果與經(jīng)典比例積分(PI)控制器和自適應(yīng)反步控制器(ABC)的仿真結(jié)果進(jìn)行了比較。通過(guò)MATLAB仿真試驗(yàn)結(jié)果證明，與經(jīng)典PI控制器和ABC相比，所提出的RBFNN-ABC在處理參數(shù)不確定性和干擾方面具有更加良好的性能。

1 EELSM的結(jié)構(gòu)與運(yùn)行機(jī)理

圖1為EELSM磁懸浮進(jìn)給平臺(tái)結(jié)構(gòu)，整個(gè)系統(tǒng)包含多個(gè)機(jī)構(gòu)。固定平臺(tái)主要由定子、光柵尺及導(dǎo)軌構(gòu)成，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)主要由動(dòng)子及電渦流傳感器組成。

圖1 EELSM磁懸浮平臺(tái)結(jié)構(gòu)圖

EELSM的平臺(tái)基座下是定子鐵心與勵(lì)磁繞組，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上為動(dòng)子鐵心和電樞繞組，數(shù)控機(jī)床進(jìn)給平臺(tái)與其動(dòng)子固定連接驅(qū)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)。

平臺(tái)的懸浮由導(dǎo)軌和平臺(tái)之間的氣隙磁場(chǎng)產(chǎn)生的麥克斯韋力對(duì)動(dòng)子鐵心的吸引力實(shí)現(xiàn)，若想使平臺(tái)穩(wěn)定懸浮，可以改變勵(lì)磁電流的大小，使氣隙達(dá)到所需要的數(shù)值，與平臺(tái)的重力相持。EELSM的勵(lì)磁繞組可形成勵(lì)磁磁場(chǎng)，勵(lì)磁磁場(chǎng)和行波磁場(chǎng)產(chǎn)生電磁推力，平臺(tái)的水平運(yùn)動(dòng)是由電磁推力來(lái)推動(dòng)的，推力大小則通過(guò)調(diào)節(jié)q軸電流來(lái)改變。

2 EELSM的數(shù)學(xué)模型

為了使模型更加簡(jiǎn)化，做出如下假設(shè)條件[14-15]：

(1) 不計(jì)電機(jī)鐵心飽和；

(2) 對(duì)磁滯與渦流損耗不予計(jì)算；

(3) 電樞繞組中通入三相對(duì)稱(chēng)電流，只考慮基波分量；

(4) 忽略齒槽效應(yīng)的影響。

在d-q軸系下，電壓與磁鏈方程如下。

電壓方程為

(1)

式中：ud、uq分別為電樞繞組d軸、q軸的電壓分量；uf為磁極勵(lì)磁的電壓分量；ψd、ψq為電樞繞組d軸、q軸的磁鏈；ψf為勵(lì)磁磁極磁鏈分量;v為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)速度；id、iq分別為電樞繞組d軸、q軸的電流分量；if為磁極勵(lì)磁的電流分量；rf為磁極勵(lì)磁繞組的電阻；rs為電樞繞組的電阻。

磁鏈方程為

(2)

式中：Lmd、Lmq為d軸、q軸的主電感；Lσf為勵(lì)磁繞組的漏感；Lσ為電樞繞組的漏感。

勵(lì)磁磁場(chǎng)由勵(lì)磁繞組通入直流電流產(chǎn)生，其對(duì)動(dòng)子鐵心有吸引力，采用id=0的矢量控制懸浮力計(jì)算式如下[16]:

(3)

垂直方向的運(yùn)動(dòng)方程：

(4)

式中：m為動(dòng)子平臺(tái)的質(zhì)量；fy為不確定性擾動(dòng)；K為磁懸浮系數(shù)，K=5.659×10-6；δ為動(dòng)子平臺(tái)實(shí)際的懸浮氣隙高度；g為重力加速度；Ld=Lσ+Lmd，Lσ不隨懸浮氣隙高度變化。

將電樞磁場(chǎng)對(duì)勵(lì)磁磁場(chǎng)產(chǎn)生的影響作為擾動(dòng)處理。因此，垂直方向總擾動(dòng)為

(5)

(6)

3 非線性RBFNN-ABC的設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)控制方法在線估計(jì)系統(tǒng)中的未知參數(shù)，對(duì)于系統(tǒng)中的不確定性擾動(dòng)，使用RBFNN作為函數(shù)逼近器進(jìn)行逼近，并補(bǔ)償回控制器，以提升系統(tǒng)的性能。

3.1 構(gòu)造虛擬控制變量和誤差變量

根據(jù)式(6)可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(7)

初始懸浮高度為δ0=0.003 m，根據(jù)反步方法構(gòu)造新的誤差變量z1和z2:

z1=x1-δ*

(8)

z2=x2-α1-δ*

(9)

式中：δ*為懸浮高度的參考值，δ*=0.002 5 m；α1為虛擬控制變量。

反步控制設(shè)計(jì)第一步，定義Lyapunov函數(shù)為

(10)

對(duì)V1求微分可得：

(11)

將虛擬控制變量定義為

α1=-c1z1

(12)

式中：c1為虛擬控制變量系數(shù)，c1>0 。

由式(11)和式(12)可得：

(13)

反步控制設(shè)計(jì)的第二步，計(jì)算z2的導(dǎo)數(shù)為

(14)

α1的導(dǎo)數(shù)為

(15)

將式(15)代入式(14)中可得：

(16)

定義第二個(gè)Lyapunov函數(shù)為

(17)

對(duì)V2求微分可得：

(18)

控制律可以設(shè)計(jì)為

(19)

式中：c2為設(shè)計(jì)參數(shù)，c2>0。

將式(19)代入式(18)可得：

(20)

3.2 RBFNN原理

由于擾動(dòng)f為未知量，利用RBFNN萬(wàn)能逼近的特性，來(lái)逼近擾動(dòng)f，將其作為函數(shù)逼近器來(lái)使用。圖2為RBFNN結(jié)構(gòu)圖。

圖2 RBFNN結(jié)構(gòu)

網(wǎng)絡(luò)算法為

(21)

式中:h為網(wǎng)絡(luò)的高斯基函數(shù)輸出；x為網(wǎng)絡(luò)的輸入；j為網(wǎng)絡(luò)隱含層第j個(gè)節(jié)點(diǎn)；bj為高斯核寬度。

有如下函數(shù)：

f=W*Th(x)+ε

(22)

式中：W*為網(wǎng)絡(luò)的理想權(quán)值；ε為網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差，ε≤εN。

(23)

3.3 控制律與參數(shù)自適應(yīng)律

采用RBFNN逼近擾動(dòng)f，根據(jù)式(19)，此時(shí)的控制律為

(24)

式中：η>0 。

設(shè)計(jì)第三個(gè)李雅普諾夫函數(shù)為

(25)

式中：μ>0 。

對(duì)V3求微分可得：

(26)

取自適應(yīng)律為

(27)

(28)

由此可得出，基于RBFNN下的該自適應(yīng)反步控制律，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

4 仿真分析

圖3為EELSM控制系統(tǒng)的仿真框圖。

圖3 EELSM磁懸浮控制系統(tǒng)框圖

傳統(tǒng)的PI控制器用來(lái)調(diào)節(jié)系統(tǒng)中勵(lì)磁電流，懸浮氣隙高度通過(guò)所設(shè)計(jì)的非線性RBFNN-ABC控制。在仿真持續(xù)過(guò)程中，EELSM的仿真參數(shù)為,極對(duì)數(shù)p=3,dq軸電感Ld=Lq=0.018 74 H，電樞電阻rs=1.2 Ω，τ=0.048 m，m=10 kg,Lmd=Lmq=0.095 H，if=5.7 A，g=9.8 m/s2，rf=5 Ω。

c1、c2的變化會(huì)影響系統(tǒng)的恢復(fù)時(shí)間與響應(yīng)速度。當(dāng)c1、c2選取過(guò)小時(shí)，系統(tǒng)抗擾能力較差；選取過(guò)大時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。μ對(duì)擾動(dòng)起到魯棒控制的作用，η參數(shù)值不能選取過(guò)大，否則會(huì)引起系統(tǒng)抖振。選取PI控制器參數(shù)為P=100,I=1 500，選取非線性RBFNN-ABC的基本參數(shù)為c1=100,c2=100,μ=615,η=12。

4.1 EELSM起動(dòng)性能分析

平臺(tái)初始?xì)庀陡叨? mm，起動(dòng)后，高度減小到目標(biāo)高度2.5 mm。圖4為空載起動(dòng)時(shí)不同控制器氣隙高度的響應(yīng)曲線。當(dāng)控制器為PI控制時(shí)，約0.1 s可以到達(dá)目標(biāo)氣隙高度；采用ABC控制時(shí)，約0.06 s到達(dá)2.5 mm；采用RBFNN-ABC控制時(shí)，達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間約0.03 s。觀察圖4中可得三種控制方法均無(wú)超調(diào)。從仿真結(jié)果可以看出，RBFNN-ABC控制到達(dá)目標(biāo)氣隙高度時(shí)間最短，起動(dòng)性能比另外兩種控制要更加具有優(yōu)勢(shì)。

圖4 起動(dòng)時(shí)磁懸浮高度響應(yīng)曲線

4.2 EELSM抗干擾能力分析

系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行后，在0.3 s時(shí)，加入額定負(fù)載擾動(dòng)的20%～30%，并在0.6 s移除。圖5為不同控制器在加入干擾后的氣隙高度響應(yīng)曲線。PI控制系統(tǒng)氣隙高度動(dòng)態(tài)降落的距離大約0.058 mm,由下降高度恢復(fù)至目標(biāo)高度2.5 mm耗時(shí)大約0.192 s。ABC控制系統(tǒng)中，突加階躍負(fù)載擾動(dòng)后，高度降落大約0.025 mm，恢復(fù)到目標(biāo)高度耗時(shí)約為0.079 s。RBFNN-ABC控制系統(tǒng)中，加入階躍負(fù)載擾動(dòng)后，高度降落約為0.011 mm,恢復(fù)時(shí)間約為0.021 s。突加負(fù)載擾動(dòng)后，RBFNN-ABC系統(tǒng)所受影響最小，與PI和ABC系統(tǒng)相比高度下降分別減少了56.9%和81.1%，恢復(fù)目標(biāo)高度的速度分別提高了58.9%和89.1%。由此可以看出RBFNN-ABC控制系統(tǒng)的抗干擾能力明顯強(qiáng)于PI及ABC系統(tǒng)。

圖5 加入負(fù)載擾動(dòng)氣隙高度響應(yīng)曲線

圖6為加入負(fù)載擾動(dòng)后的勵(lì)磁電流響應(yīng)曲線。由圖6中可以看出RBFNN-ABC控制的勵(lì)磁電流的恢復(fù)時(shí)間明顯優(yōu)于PI控制以及ABC控制，恢復(fù)時(shí)間比PI控制提高了85.6%，比ABC控制提高了73.4%。由此可見(jiàn)RBFNN-ABC的抗擾能力是非常強(qiáng)大的。

圖6 突加負(fù)載擾動(dòng)勵(lì)磁電流響應(yīng)曲線

4.3 EELSM端部效應(yīng)擾動(dòng)的抑制能力分析

系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行后，0.3 s時(shí)，加入f=15sin(20t)的端部效應(yīng)擾動(dòng)。圖7為加入端部效應(yīng)擾動(dòng)后的氣隙高度響應(yīng)曲線。由圖7可以看出，PI控制系統(tǒng)在加入端部擾動(dòng)后曲線波動(dòng)較劇烈，有較大的超調(diào)量，抗擾能力弱。ABC控制系統(tǒng)中，波動(dòng)程度有明顯增強(qiáng)，與PI控制系統(tǒng)相比，ABC控制系統(tǒng)的抗擾能力較強(qiáng)。RBFNN-ABC控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)幾乎沒(méi)有波動(dòng)，明顯看出此系統(tǒng)的抗擾能力比前兩種系統(tǒng)要優(yōu)越。

圖7 正弦擾動(dòng)下氣隙高度響應(yīng)曲線

5 結(jié) 語(yǔ)

為了提高數(shù)控機(jī)床進(jìn)給平臺(tái)EELSM磁懸浮系統(tǒng)的性能，提出了一種非線性RBFNN-ABC方法，通過(guò)研究得出以下的結(jié)論：

(1) 對(duì)EELSM磁懸浮系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)以及運(yùn)行機(jī)理進(jìn)行了分析，采用id=0的矢量控制對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。將電樞磁場(chǎng)對(duì)勵(lì)磁磁場(chǎng)產(chǎn)生的影響作為不確定性擾動(dòng)處理，建立EELSM磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并推導(dǎo)出磁懸浮力的解析表達(dá)式。

(2) 提出非線性RBFNN-ABC方法，構(gòu)造誤差變量及虛擬控制量，并將輸出誤差限制在比較小的范圍之中。設(shè)計(jì)了ABC，將RBFNN當(dāng)作函數(shù)逼近器對(duì)不確定性擾動(dòng)進(jìn)行逼近，降低了不確定擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。

(3) 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了證明，充分證明了系統(tǒng)可漸近收斂至邊界層內(nèi)。仿真結(jié)果證明了非線性RBFNN-ABC控制規(guī)律的有效性。