一類剛性負載雙軸伺服系統的非線性觀測器控制設計策略*

趙桂琛， 何建華， 章恩澤， 王保防

(1.青島大學 自動化學院，山東 青島 266071；2.揚州大學 信息工程學院，江蘇 揚州 225009)

0 引 言

伺服系統又稱隨動系統，是一種能使負載位置等輸出被控量隨輸入信號變化的自動控制系統[1-3]。隨著科學技術的快速發展，大功率工業應用的出現對伺服系統提出了更高的要求。大功率交流伺服系統用于雷達和火炮，通常需要由多個電機同步驅動。在多電機伺服系統中，一些因素限制了系統跟蹤性能的提高，包括電機特性的差異，系統參數擾動引起的溫度和負載變化，負載慣性不確定性和扭矩擾動、摩擦以及非線性動態扭矩引起的齒槽效應，力矩、柔性傳動機構引起的低頻共振等。

摩擦是影響伺服系統性能的主要因素之一。為了提高系統的性能，可采用適當的摩擦補償方法來減少或消除摩擦對伺服系統性能的影響。實際中，在處理摩擦問題時主要是基于摩擦模型進行補償[4-5]。根據不同的情況，提出了多種摩擦模型用于建模和補償。其中常用的模型有Dahl模型[6]、LuGre模型[7]、彈塑性模型[8]、Leuven模型[9]和GMS模型[10]。本文使用LuGre模型，因為其可以在低速摩擦動力學方面準確地描述摩擦現象[11]。

為了克服摩擦對系統的影響，許多學者提出了不同的補償策略。文獻[12]提出了一種基于多級坐標搜索算法的LuGre模型參數辨識方法，并設計了一個非線性摩擦觀測器來估計LuGre模型不可測的內部狀態。為了解決具有摩擦非線性伺服系統的控制問題，提出了一種改進的LuGre摩擦模型。徑向基函數神經網絡(RBFNN)因為具有通用逼近特性，所以可用來實現估計和補償[13]。文獻[1]提出了一種能夠自適應地調整基函數的中心和寬度并在線逼近LuGre摩擦的控制器，并證明了該方法的有效性。文獻[14]提出了一種新型的神經網絡觀測器來觀測不易測的內部狀態，并引入魯棒自適應控制器實現高精度跟蹤控制。

對于高階非線性伺服系統，反步法被認為是一種設計高性能跟蹤控制器的有效方法[15-17]。反步法廣泛應用于非線性系統的控制，可以通過與自適應控制相結合來解決一大類不確定非線性系統的控制問題。然而，在控制器設計過程中，需要反復地對虛擬控制信號進行求導。隨著系統復雜性的增加，會出現“微分爆炸”現象，導致控制器設計過程變得更加繁瑣。針對反步法計算復雜的問題，國內外許多學者提出了大量的解決方法。其中，典型的技術方法有動態面技術[18-20]和命令濾波技術[21-23]。

本文研究了基于LuGre摩擦模型的雙電機伺服系統自適應反步控制方法，并應用了非線性摩擦觀測器和命令濾波技術。其中非線性觀測器用于摩擦的估計和補償，命令濾波器用于處理反步法的虛擬控制信號，避免了反復求導引起的復雜性問題，并使用誤差補償方程來減小濾波誤差。為了保證同步性能，設計了速度同步反饋信號。最后，利用李雅普諾夫理論證明系統的穩定性。

1 問題描述與系統建模

在雙電機伺服系統中，兩臺電機通過減速器、小齒輪和大齒圈一起帶動旋轉負載。雙電機同步驅動伺服系統的機械架構示意圖如圖1所示[24]。

圖1 雙電機同步驅動伺服系統結構圖

忽略齒隙的影響，雙電機同步驅動伺服系統理想模型為

(1)

式中：下標j為不同的組，j=1,2;θj、ωj、Jmj、KTj、Kej分別為負載和電機的角位置、角速度、慣量、電磁轉矩常數、反電動勢常數；ij、Rj、Lj、uj分別為各電機的電流、電阻、電感、控制電壓；KL為傳動機構的剛度系數；θL、ωL、JL分別為轉換到電機側的負載的角位置、角速度、轉動慣量；bj為常數；Tf為LuGre摩擦模型建立的摩擦力矩。

Tf的數學表達式如下：

(2)

(3)

σ0g(ωL)=FC+(FS-FC)e-(ωL/ωs)2

(4)

式中:σ0為摩擦剛性系數；σ1為摩擦阻尼系數；σ2為黏性摩擦系數；FC為庫侖摩擦力矩；FS為靜摩擦力矩；ωS為Stribeck速度;z為摩擦狀態；g(ωL)為刷毛在兩個接觸面之間的平均撓度，是一個大于0且有界的函數。

雙電機伺服系統的控制方法如圖2所示。

圖2 雙電機伺服驅動控制方案

定義狀態變量：x1=θLθ*、x2=ωL、x3j=θj、x4j=ωj、x5j=ij，可得狀態方程為

(5)

式中:a0=KL/JL,β1j=KTj/Jmj,β2j=KL/Jmj,β3j=Rj/Lj,β4j=Kej/Lj,β5j=1/Lj;x3=x31+x32、x4=x41+x42。

對式(5)所示系統做如下假設:

注1控制目標是在Lugre摩擦模型的基礎上設計控制信號u1和u2，以減小摩擦轉矩的影響，保證兩臺電機同步運行，并保證y能夠穩定跟蹤預期信號yd。

注2雙電機伺服系統有兩個控制輸入信號。分別考慮各電機的輸入時，系統仍然滿足嚴格反饋形式，滿足反步法設計的要求。

引理1命令濾波器定義如下[25]：

(6)

2 控制器設計

本節設計了一種基于雙觀測器的命令濾波器自適應反步跟蹤控制器，用于具有Lugre摩擦的雙電機伺服系統。假設系統的狀態跟蹤誤差為

(7)

式中:x2,c、x3,c、x4,c、x5j,c分別為x2、x3、x4、x5j的期望虛擬控制信號；x4,c/2為狀態x4j的期望虛擬控制信號;es和et分別為兩臺電機的轉速差和驅動轉矩均衡誤差。

注3所提出的控制器由非線性摩擦觀測器、命令濾波器、濾波誤差補償系統和雙電機伺服系統組成。其中，將命令濾波器應用于虛擬控制信號，解決了復雜的計算爆炸問題。利用濾波誤差補償方程，提高了系統的濾波精度和跟蹤精度。該觀測器用于非線性摩擦的估計和補償。最后，利用李雅普諾夫理論設計了整體控制器，并證明了其穩定性。

第一步，定義補償后的跟蹤誤差為v1=e1-ζ1，考慮Lyapunov函數為

(8)

將式(5)與式(7)相結合，V1的時間導數為

(9)

構造虛擬控制律α1和補償信號ζ1為

(10)

(11)

將式 (10)、式(11)代入式(9)可得：

(12)

第二步,考慮非線性狀態z不可測，使用兩個狀態觀測器估計狀態z[26]：

(13)

觀測摩擦力矩定義如下：

(14)

定義：

(15)

(16)

所以有：

(17)

(18)

同樣，將補償后的跟蹤誤差定義為v2=e2-ζ2。選擇Lyapunov函數:

(19)

式中:γ0、γ1、γ2為大于0的常數。

(20)

構造虛擬控制律α2和補償信號ζ2分別為

(21)

(22)

將式(21)和式(22)代入(20)，可以獲得：

(23)

根據式(23)，得到以下更新定律：

(24)

(25)

因此可以得到：

(26)

第三步,補償信號為v3=e3-ζ3。選擇Lyapunov函數為

(27)

V3的導數為

(28)

同樣，構造虛擬控制律α3、補償信號ζ3為

(29)

(30)

將式(29)和式(30)代入式(28)，可以得到：

(31)

第四步,類似地，定義v4=e4-ζ4，選擇以下Lyapunov函數：

(32)

V4的導數為

α41-a0β21(x31-x1)-a0b1x41+

e52+(x52,c-α42)+α42-

(33)

構造虛擬控制律α4j和補償信號ζ4為

α4j=a0β2j(x3j-x1)+a0bjx4j+

(34)

(35)

將式(34)和式(35)代入式(33)，可以得到：

(36)

第五步,類似地，定義v5=e5-ζ5，選擇Lyapunov函數如下：

(37)

V5的導數為

a0β11β41x41+a0β11β51u1-

(38)

根據需要構造控制信號u1、u2和補償信號ζ5如下所示:

(39)

(40)

(41)

3 穩定性分析

(42)

定理對于可由式(1)中描述的雙電機伺服系統，設計了控制器式(39)、命令濾波器式(6)、濾波補償子系統和非線性摩擦觀測器式(17)。在這些條件下，閉環控制系統的跟蹤誤差將收斂到原點的一個足夠小的鄰域，并且系統的所有狀態均是有界的。

證明：

Lyapunov函數將整個系統定義為

(43)

V的時間導數為

(44)

(x52,c-α42)-(x51,c-α41)

(45)

由引理1得|(x52,c-α42)-(x51,c-α41)|≤ε和ε>0，則式(45)可表示為

(46)

(47)

將式(46)和式(47)代入式(44)可得：

(48)

定義：

(49)

(50)

可得：

(51)

對于任意的t≤t0，存在：

(52)

根據引理2，可以看到負載位置跟蹤誤差收斂到原點附近足夠小的鄰域。

所設計控制器主要優勢在于通過命令濾波器降低了控制器的計算復雜度，此外，結合同步反饋信號進一步提高兩個電機之間的同步性能。然而，穩定性證明最后的結論僅能得到實用穩定性的結果，即所有系統狀態均是有界穩定的。

4 試驗分析

雙電機伺服系統進行了對比試驗，比較了PI控制和基于觀測器的命令濾波自適應反步控制OCFABC方法下的雙電機伺服系統運行性能。負載位置施加正弦信號和斜坡信號。

試驗所用電機型號為科爾摩根B-402-B，慣量為0.000 323 kg·m2，電動勢常數為0.64 V·s/rad，轉矩常數為1.11 N·m/A。控制器參數[c1c2…c5]分別為[500 1 500 100 200 10]，同步反饋控制參數[kskc]=[1 1.5]。

試驗系統結構如圖3所示。

圖3 雙電機試驗平臺

圖4 位置跟蹤誤差1

圖5 速度同步誤差1

圖6 位置跟蹤誤差2

圖7 速度同步誤差2

試驗結果如圖4～圖7所示。圖4和圖6給出了兩種控制方法的位置跟蹤誤差。圖5和圖7顯示了兩種控制方法的同步誤差。從圖4～圖7可以看出，OCFABC的位置誤差和同步誤差均小于PI控制。因此，通過試驗可以得出OCFABC具有更好的跟蹤性能和同步性能。

5 結 語

本文針對具有LuGre摩擦的雙電機伺服系統，構造了一種基于觀測器的命令濾波自適應反步控制器。該控制器中的觀測器用于觀測和摩擦補償，并與命令濾波技術相結合，避免了反步控制設計過程中的“計算爆炸”問題，并在兩個電機同步時實現了良好的跟蹤性能。與其他方法相比，試驗結果驗證了該控制方法的有效性以及良好的跟蹤和同步性能。本文研究的雙電機同步伺服系統控制策略仍處于理論研究與試驗驗證階段，將所設計的控制策略應用在實際的多電機驅動及伺服系統中，是未來的重點研究內容。