基于改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的外轉(zhuǎn)子永磁同步電機的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計

喬路寬， 張炳義， 李 巖， 馮桂宏

(沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

永磁同步電機具有效率高、功率密度高、容錯性能強、結(jié)構(gòu)簡單可靠等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于各行各業(yè)[1-3]。對于外轉(zhuǎn)子永磁同步電機(ERPMSM)，轉(zhuǎn)子在外側(cè)而具有轉(zhuǎn)動慣量大、結(jié)構(gòu)緊湊等特點，可直接驅(qū)動皮帶輸送機運轉(zhuǎn)，成為皮帶輸送機驅(qū)動電機的主要選擇[4-5]。

皮帶輸送機早期采用頭部集中驅(qū)動方式，但由于驅(qū)動電機處皮帶張力受限導(dǎo)致皮帶輸送機無法大型化。為此，多點驅(qū)動式皮帶輸送機應(yīng)運而生，最常見的有直線摩擦式和轉(zhuǎn)載式[6]兩種。將傳統(tǒng)皮帶輸送機的傳動托輥替換成永磁動力托輥可減少皮帶張力，延長皮帶輸送機單機設(shè)計長度，國內(nèi)外對此研究相對較少。本文針對長距離皮帶輸送機的驅(qū)動電機采取化整為零的思想，可以根據(jù)實際工況計算出驅(qū)動功率自行選擇永磁托輥數(shù)量，進(jìn)而皮帶輸送機用電機可以批量化生產(chǎn)，使電機真正作為皮帶輸送機的一部分。

隨著皮帶輸送機繼續(xù)大型化，所需驅(qū)動電機數(shù)量會成倍增長，每個驅(qū)動電機的成本較大程度地影響著皮帶輸送機的造價，而永磁體成本又占據(jù)永磁電機造價成本的絕大部分。因此，減少永磁體成本可以大幅度降低整臺皮帶輸送機的生產(chǎn)費用，但減少永磁體的用量會導(dǎo)致電機性能降低，因此采用多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計的方法，兼顧電機永磁體成本與電磁性能十分必要。

在永磁同步電機的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方面，文獻(xiàn)[7]采用響應(yīng)面法實現(xiàn)永磁電機的感應(yīng)電動勢、感應(yīng)電動勢諧波以及齒槽轉(zhuǎn)矩的優(yōu)化。雖然響應(yīng)面法可以實現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化的目的，但由于其本身的局限性，需要采集足夠多的樣本才能保證優(yōu)化算法的準(zhǔn)確性，但這種情況下會導(dǎo)致優(yōu)化效率不高。文獻(xiàn)[8]采用田口法得到永磁同步電機的轉(zhuǎn)矩密度、效率以及齒槽轉(zhuǎn)矩的最優(yōu)值，田口法的主要問題是計算精度差、全局性差，且無法考慮到優(yōu)化目標(biāo)之間的相互制約關(guān)系。文獻(xiàn)[9]采用二代非支配排序遺傳算法(NSGA-II)對輸出轉(zhuǎn)矩、效率和轉(zhuǎn)矩脈動同時進(jìn)行優(yōu)化，雖然NSGA-II具有較強的全局尋優(yōu)能力，但是該算法收斂速度慢、優(yōu)化效率不高。文獻(xiàn)[10]通過Kriging模型結(jié)合多目標(biāo)粒子群算法優(yōu)化了永磁電機的齒槽轉(zhuǎn)矩、電磁轉(zhuǎn)矩以及永磁體成本，但是傳統(tǒng)的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化(MOPSO)算法容易過早陷入局部最優(yōu)解，導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果不精確。目前，常用的多目標(biāo)優(yōu)化算法包括蟻群算法、粒子群優(yōu)化算法和遺傳算法等。其中，粒子群優(yōu)化算法相比于其他優(yōu)化算法，具有記憶能力強、算法簡單、收斂速度快等優(yōu)勢[11]，因此廣泛應(yīng)用于電機的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。

為解決傳統(tǒng)MOPSO算法容易過早陷入局部最優(yōu)的難題，本文在其基礎(chǔ)上引入非線性遞減自適應(yīng)慣性權(quán)重、基于擁擠距離法的外部檔案維護(hù)機制以及變異操作，改進(jìn)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法(IMOPSO)可以有效克服這一缺點。因此，本文結(jié)合響應(yīng)面法(RSM)和IMOPSO對ERPMSM進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，兼顧永磁體成本與電磁性能，并通過有限元仿真驗證了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計的正確性。

1 ERPMSM基本結(jié)構(gòu)

圖1為10極12槽ERPMSM的原始模型。電機尺寸較小，轉(zhuǎn)子外徑僅為117 mm，永磁體很難固定，因此選擇在轉(zhuǎn)子處開設(shè)燕尾槽。在便于固定的同時縮短電機的單邊氣隙長度，節(jié)約永磁體用量。但其缺點是燕尾槽處漏磁較多，導(dǎo)致定子磁鏈變小，進(jìn)而輸出轉(zhuǎn)矩減小。同時在開設(shè)燕尾槽后，轉(zhuǎn)子設(shè)計為凸極轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，由于電機轉(zhuǎn)子磁路不對稱而產(chǎn)生磁阻轉(zhuǎn)矩，導(dǎo)致轉(zhuǎn)矩波動變大[12]。

圖1 ERPMSM模型

另外，本文的ERPMSM是作為傳統(tǒng)皮帶輸送機承載托輥的替代品，是皮帶輸送機裝備的一部分，因此在軸向和徑向的尺寸上必須滿足皮帶輸送機用承載托輥的國標(biāo)要求。與傳統(tǒng)永磁電機的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計相比，需要固定電機的的徑向與軸向尺寸，僅從ERPMSM的定子槽型尺寸、永磁體尺寸和氣隙長度等結(jié)構(gòu)方面進(jìn)行考慮，電機的初始設(shè)計參數(shù)如表1所示。

表1 ERPMSM參數(shù)

2 IMOPSO

傳統(tǒng)MOPSO具體流程如圖2所示。隨機初始化一組粒子，并將計算后得到的非劣解存入外部檔案Np中，然后根據(jù)獲得的粒子局部最優(yōu)位置pi和全局最優(yōu)位置pg更新粒子群的位置和速度，最后根據(jù)新的非劣解維護(hù)Np、選取新的pg，直至滿足終止條件[13]。

圖2 MOPSO流程圖

對于MOPSO，在給定D維的搜索空間，粒子群由n個粒子組成，其中，第i個粒子的D維位置矢量可表示為xi=[xi1xi2…xiD]，第i個粒子的速度矢量為vi=[vi1vi2…viD]，粒子的局部最優(yōu)位置矢量為pi=[pi1pi2…piD]，粒子群全局最優(yōu)位置為pg=[pg1pg2…pgD]。第i個粒子的速度和位置更新算式為

(1)

(2)

式中：w為慣性權(quán)重；c1和c2分別對應(yīng)自我認(rèn)知因子和社會認(rèn)知因子；r1和r2代表分布在0～1之間的隨機數(shù)。

MOPSO的主要缺點是粒子易陷入局部最優(yōu)解，本文做出如下創(chuàng)新以改進(jìn)算法，并利用測試函數(shù)證明改進(jìn)算法的優(yōu)越性。

2.1 慣性權(quán)重的改進(jìn)

MOPSO的慣性權(quán)重w影響算法的搜索能力，因此常用線性遞減原則改進(jìn)w，使算法在前期增大從而增加對搜索空間的搜索，在后期減小w提高算法的局部搜索能力，防止陷入局部最優(yōu)解。但是w的這種變化與算法的運行狀態(tài)互相獨立，難以適用于求解非線性或者較為復(fù)雜的問題。所以本文采用自適應(yīng)非線性遞減的原則來改善算法的收斂性能，使w隨著算法的迭代次數(shù)產(chǎn)生非線性遞減。新的慣性權(quán)重可以表示為

(3)

式中：T為最大迭代次數(shù)；k為當(dāng)前迭代次數(shù)；λ1和λ2為控制參數(shù)，本文分別取0.33和4，使w從0.9非線性遞減到0.4。

2.2 基于擁擠距離法的外部檔案維護(hù)機制

與單目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法不同，MOPSO需要建立外部檔案庫來儲存非劣解。本文引入擁擠距離的概念，對MOPSO進(jìn)行改進(jìn)。對于擁擠距離的求解，以雙目標(biāo)優(yōu)化問題為例，擁擠距離的計算方法如圖3所示，第m個非劣解的擁擠距離即為虛線圍成矩形的1/2周長。在迭代過程中，外部檔案庫已滿的情況下，通過計算并淘汰擁擠距離最小的非劣解對外部檔案進(jìn)行維護(hù)，保持種群多樣性并進(jìn)一步加快迭代速度。

圖3 MOPSO流程圖

2.3 引入變異操作

粒子群優(yōu)化算法具有較強的全局收斂能力，在求解多目標(biāo)問題時，收斂速度快會導(dǎo)致過早收斂，容易陷入局部最優(yōu)解。因此，在粒子迭代過程中，通過引入變異操作可以提高種群多樣性，防止粒子早熟收斂。在粒子位置更新的過程中，有10%的概率進(jìn)行變異操作，如下所示：

(4)

式中：xk為迭代過程中粒子位置矢量；xkmax和xkmin分別為位置矢量的最大值和最小值；rand為0～1的隨機數(shù)；Fg為自適應(yīng)變異算子。

隨著迭代次數(shù)的增加，變異算子的影響效果逐漸減弱，F(xiàn)g表達(dá)式為

Fg=[rand·(1-k/T)]2

(5)

2.4 改進(jìn)前后算法的性能對比

為了驗證IMOPSO的優(yōu)越性，將其與線性遞減權(quán)重和固定權(quán)重的MOPSO算法進(jìn)行比較。選取測試函數(shù)DTLZ3，種群數(shù)量為300，迭代次數(shù)為500，各算法運行10次，并以世代距離(GD)和間距指標(biāo)(SP)評估算法性能。

其中，GD是評估算法收斂性能的指標(biāo)，表示算法已經(jīng)搜尋到的非支配解集與實際Pareto前沿的距離，其計算式為

(6)

式中：N為非支配解集規(guī)模；di表示第i個個體到實際Pareto前沿的最短歐式距離。

GD越小，表示算法的收斂精度越高。

SP是評估算法多樣性的指標(biāo)，用以表示算法所得到的非支配解在目標(biāo)空間中分布的均勻程度，其計算式為

(7)

非支配解在目標(biāo)空間中分布的越均勻，SP的值就會越小。

由表2的測試結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化后的IMOPSO的GD和SP均小于其他兩種優(yōu)化算法。因此，證明IMOPSO具有更好的收斂性和多樣性。

表2 優(yōu)化算法性能對比

3 ERPMSM多目標(biāo)優(yōu)化

多目標(biāo)優(yōu)化問題是指同時存在多個需要被優(yōu)化的目標(biāo)，且彼此間互相影響。多目標(biāo)優(yōu)化可能存在一個或多個解，是考慮各個優(yōu)化目標(biāo)之后確定的最優(yōu)解。ERPMSM的具體優(yōu)化流程主要包括優(yōu)化目標(biāo)與優(yōu)化參數(shù)的確定、參數(shù)靈敏度分析、響應(yīng)面建模和IMOPSO尋優(yōu)四個步驟。

3.1 確定優(yōu)化目標(biāo)與優(yōu)化參數(shù)

為了兼顧ERPMSM的永磁體成本和電磁性能，將ERPMSM的永磁體成本Cpm、相反電動勢總諧波畸變率(THD)、轉(zhuǎn)矩脈動系數(shù)KR、輸出轉(zhuǎn)矩TN和相反電動勢有效值E0作為優(yōu)化目標(biāo)。

電機的輸出轉(zhuǎn)矩TN可以表示為

TN=Tpm+Tr+Tcog=

(8)

式中：Tpm為永磁轉(zhuǎn)矩；Tr為磁阻轉(zhuǎn)矩；Tcog為齒槽轉(zhuǎn)矩；p為極對數(shù)；Ld和Lq為d軸和q軸電感；Id和Iq為d軸和q軸電流；ψpm為永磁磁鏈。

本文的dq軸電感相差不多，因此齒槽轉(zhuǎn)矩Tcog對轉(zhuǎn)矩脈動具有較大的影響。齒槽轉(zhuǎn)矩表達(dá)式如下所示：

(9)

改變電機的定子參數(shù)和磁極參數(shù)可以改變二者的幅值，進(jìn)而達(dá)到削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的目的。

在軸向長度La固定的情況下，永磁體成本Cpm取決于永磁體的寬度和厚度，采用不均勻氣隙可以優(yōu)化相反電動勢波形，對相反電動勢的THD以及有效值均有一定的影響。最終確定永磁體寬度bm、永磁體厚度hm，槽口寬度bs0、齒寬bt、槽深hs和氣隙長度δ作為優(yōu)化參數(shù)。表3給出優(yōu)化參數(shù)的合理取值范圍。

表3 優(yōu)化參數(shù)取值

對于優(yōu)化目標(biāo)的約束條件，包括：

(10)

通過加入懲罰函數(shù)將之引入目標(biāo)函數(shù)f(x)中，構(gòu)成增廣目標(biāo)函數(shù)F(x)，可表示為

(11)

式中：αi為懲罰因子；Pi(x)為滿足對應(yīng)約束條件下的懲罰函數(shù)。

3.2 靈敏度分析

為了減小試驗次數(shù)與減輕計算復(fù)雜程度，需要先對上述6個優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析。本文通過確定性篩選設(shè)計獲得試驗數(shù)據(jù)[14]，并采用基于方差的靈敏度分析方法，測量每個變量對響應(yīng)值的靈敏度指數(shù)，第i個優(yōu)化參數(shù)對第j個優(yōu)化目標(biāo)靈敏度Sj(Xi)計算方法如下所示：

(12)

式中：Xi為第i個優(yōu)化參數(shù)；Yj為第j個優(yōu)化目標(biāo)；E(Yj/Xi)為Xi固定時Yj的平均值，V[E(Yj/Xi)]是其方差；V(Yj)為Yj的方差。

本文涉及5個優(yōu)化目標(biāo)，且每個優(yōu)化參數(shù)對優(yōu)化目標(biāo)的敏感程度都不同，會給靈敏度分析的后續(xù)篩選帶來困難，因此將多目標(biāo)的靈敏度分析轉(zhuǎn)化為帶權(quán)重系數(shù)的綜合靈敏度分析，其指數(shù)可表示如下：

(13)

式中：Qj為不同優(yōu)化目標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，分別取0.2、0.2、0.3、0.2、0.1。

靈敏度分析結(jié)果如表4所示。

由表4可知，bm、hm、bs0和δ更為顯著，將結(jié)果進(jìn)一步優(yōu)化，非顯著參數(shù)通過單參數(shù)優(yōu)化進(jìn)行確定。

表4 靈敏度分析結(jié)果

3.3 響應(yīng)面建模

RSM利用有限元仿真試驗獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，建立了反映各個優(yōu)化參數(shù)與優(yōu)化目標(biāo)之間數(shù)學(xué)關(guān)系的模型[15]。本文采用二階多項式回歸方法來建立響應(yīng)面模型，其具體形式可以表示為

(14)

式中：Y為優(yōu)化目標(biāo)；b0為常數(shù)項；Xi、Xij為對應(yīng)不同的優(yōu)化參數(shù)；bi、bij和bii為優(yōu)化參數(shù)的一、二次項系數(shù)；ε為隨機誤差。

通過靈敏度分析后的顯著變量水平如表5所示。采用有限元仿真軟件進(jìn)行試驗，四個變量的Box-Behnken設(shè)計(BBD)需要進(jìn)行29次試驗。

表5 顯著變量水平

通過Design-Expert對結(jié)果數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)如下：

THD=92.12-8.06bm+7.67hm-7.65bs0+8.03δ-0.29bm×hm+0.31bm×bs0-

KR=269.17-22.06bm-2.5bs0+5.81δ-0.12bm×hm+0.2bm×bs0-1.34bm×δ-0.11hm×bs0+4.43hm×δ+

Cpm=-310.59+12.9bm+119.29hm

TN=9.61+0.16bm+2.58hm-0.16bs0-

E0=21.94+11.62bm+44.05hm-1.93bs0-

107.61δ+0.11bm×hm+0.08bm×bs0+1.1bm×

δ+0.17hm×bs0+15hm×δ+0.14bs0×δ-

(15)

對目標(biāo)模型進(jìn)行的評估如表6所示，THD、KR、TN和E0的二次模型的P值均遠(yuǎn)小于0.01，且信噪比大于4 dB，表示模型顯著性很好，可信度較高。Cpm的線性模型中的P值遠(yuǎn)小于0.01，且信噪比遠(yuǎn)大于4 dB，表示顯著性很好，可信度很高。另外，5個優(yōu)化目標(biāo)的R2均大于0.9，這表明響應(yīng)面與真實值之間的差異較小，且模型中沒有統(tǒng)計學(xué)意義的變量數(shù)很少，進(jìn)一步證明模型的擬合度較好，數(shù)據(jù)規(guī)律可以被模型較好地反映。

表6 響應(yīng)面法分析結(jié)果

3.4 IMOPSO

采用MATLAB軟件編寫上述IMOPSO程序，設(shè)置種群規(guī)模和外部檔案均為50，迭代次數(shù)為200，粒子的c1和c2均取1.499 5，運行程序得到如圖4所示的Pareto前沿。

圖4 Pareto前沿

圖4中以每個粒子的大小來表示輸出轉(zhuǎn)矩TN的值，并以xy平面投影的大小來表示E0的值。綜合考慮后，在所有Pareto解中選出可行解，在確定了顯著優(yōu)化參數(shù)之后，將非顯著優(yōu)化參數(shù)單獨分析得出優(yōu)化方案。

4 優(yōu)化結(jié)果分析

將優(yōu)化后方案與優(yōu)化前方案進(jìn)行對比，結(jié)果如表7所示,有限元仿真結(jié)果如圖5～圖8所示。

表7 優(yōu)化參數(shù)與優(yōu)化目標(biāo)對比表

本文的ERPMSM的軸向長度固定，永磁體的成本僅與永磁體的厚度hm和寬度bm有關(guān)。由表7可知，優(yōu)化后方案的永磁體寬度由26.0 mm減小至23.8 mm，永磁體厚度由2.5 mm減小至2.3 mm，永磁體體積減小，永磁體成本比優(yōu)化前降低了19%。

與初始方案相比，IMOPSO優(yōu)化方案的槽口寬度bs0從3.6 mm減小至2 mm。由圖5～7可知，由于槽口寬度減小，齒槽效應(yīng)減弱，ERPMSM的相反電動勢THD減少了56.5%，轉(zhuǎn)矩脈動減少了54.6%。由圖7和圖8可知，由于氣隙長度δ從0.7 mm減小至0.6 mm，氣隙磁密有所提高，額定轉(zhuǎn)矩提高了2.3%，相反電動勢有效值提高了0.6%。

圖5 優(yōu)化前后氣隙磁密對比

圖6 優(yōu)化前后空載相反電動勢諧波對比

圖7 優(yōu)化前后轉(zhuǎn)矩對比

圖8 優(yōu)化前后空載相反電動勢對比

由結(jié)果可知，IMOPSO優(yōu)化算法求解的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果與有限元仿真結(jié)果具有良好的一致性，證明此算法準(zhǔn)確可靠。通過本文所提IMOPSO算法進(jìn)行優(yōu)化后，ERPMSM的永磁體成本降低，電機的電磁性能得到了優(yōu)化，證明了IMOPSO算法的有效性。

5 結(jié) 語

本文針對長距離皮帶輸送機用ERPMSM的多目標(biāo)優(yōu)化展開研究，提出了一種基于RSM和IMOPSO的ERPMSM優(yōu)化設(shè)計方法，并對優(yōu)化后的方案進(jìn)行仿真驗證，得出以下結(jié)論：

(1) 本文提出的IMOPSO，有效地解決了MOPSO迭代后期粒子容易陷入局部最優(yōu)解的問題，并通過測試函數(shù)DTLZ3驗證了算法的優(yōu)越性。

(2) IMOPSO優(yōu)化后的方案相比于初始設(shè)計方案來說，空載相反電動勢諧波THD減少了56.5%，轉(zhuǎn)矩脈動減少了54.6%，永磁體成本降低了19%，額定轉(zhuǎn)矩提高了2.3%，相反電動勢有效值提高了0.6%。

(3) 本文提出的IMOPSO準(zhǔn)確可靠，且具有更好的收斂性和多樣性，能夠在減少永磁體成本的同時優(yōu)化電機性能。