基于數字教材的函數探究教學設計

陳蕾　劉潔

為有效指導學生對二次函數進行探究式學習，教師借助數字教材為學生提供探究環境，讓學生自主操作、觀察分析、建構知識、探究交流，提升數學學科素養。教學中一明一暗兩條主線融合貫穿始終：明線，即從特殊到一般探究二次函數的圖象和性質；暗線，即研究函數的一般方法。實踐證明，教師深入挖掘數字教材的資源和功能，設計復習回顧、互動探究、總結規律、知識應用、課堂小結等教學環節，設置問題與情境讓學生循序漸進合作探究，對教學效果進行觀測分析，能夠優化課堂教學，實現學科育人目標。

一、數字教材助力學生探究式學習獨具優勢

《教育信息化十年發展規劃（2011—2020年）》指出，實施教育信息化的意義在于“以教育信息化帶動教育現代化”。我國正在加快建設高質量教育體系，發展素質教育，深化教育領域綜合改革，加強教材建設和管理，推進教育數字化。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“課標”）要求教師開展促進學生發展的教學活動，促進信息技術與數學課程融合。教師要合理利用現代信息技術，提供豐富的學習資源，設計生動的教學活動，促進數學教學方式方法的變革。在實際問題解決中，創設合理的信息化學習環境，提升學生的探究熱情，開闊學生的視野，激發學生的想象力，提高學生的信息素養^[1]。

數字教材是利用互聯網、數字媒體、大數據等技術手段，融教材、數字資源、學科工具、應用數據于一體的立體化教材。數字教材是數字化教學的核心資源，數字化資源的使用有利于激發學生的興趣、提升其課堂參與度。互動工具可以幫助學生自主探究，體現學生在學習中的主體地位。互動練習可以實現人機互動，即時反饋，有助于教師及時調整教學策略，提高教學效率。數字教材的使用可以助力教與學的創新，是信息技術與學科教學深度融合創新應用的重要途徑。

探究式學習是指學生在教師的啟發和引導下，以獨立自主學習和合作討論探究等方式進行學習，建構學科知識，增強探究能力、創新能力和合作意識。探究式學習具有主動性、問題性、開放性、生成性和創造性等特點。數字教材搭載的豐富教學資源在探究式學習的創設情境、交互合作、即時評價等環節都有較大的應用價值。下面，以初中數學二次函數為例，結合數字教材設計教學方案，指導學生開展探究式學習^[2]。

二、數字教材支撐下函數探究教學分析

（一）教學實施背景與內容分析

二次函數是中學函數課程內容的重要組成部分，它承接了初中一次函數、反比例函數等內容，又是學生在高中階段學習指數函數、對數函數、冪函數等其他基本初等函數的基礎。二次函數是讓中學生體會變化中的量，領會函數思想、方法的重要工具。同時，二次函數部分的課程內容，與一元二次方程、一元二次不等式有著密切的聯系。可見，二次函數課程內容在中學數學教學中具有“承前啟后”的作用，占據著重要地位。

“二次函數的圖象與性質”這一單元內容在課標中屬于“數與代數”領域。函數是初中數學中的重要概念，學生在初中階段系統地學習一次函數、二次函數、反比例函數，對基本的函數有了一定的認識。函數的圖象與性質是研究函數的重要方面，貫穿在函數的學習過程中。學生探究函數的圖象和性質，可以更好地理解函數的概念。在學習過程中，學生可通過回顧對函數的研究過程，逐步總結歸納出研究函數的一般方法。首先，學生對學科知識結構形成過程中積累的思維經驗進行總結，將知識上升到方法層面，體現學科素養的核心能力；其次，關注研究數學問題的過程，增強對數形結合和轉化思想的認識；再次，面對新函數，借助信息技術解決問題，體現信息技術的工具價值；最后，掌握研究一般函數的方法，為后續進一步研究函數奠定基礎。

二次函數y=a（x-h）²+k的圖象和性質是“二次函數的圖象與性質”單元教學中的第4課時的教學內容（如圖1），該函數形式清楚地顯示出二次函數中“數”與“形”的相互聯系和相互轉換，突顯了數形結合的數學思想。教師開展本節課的教學，旨在引導學生在探究二次函數y=ax²、y=ax²+k、y=a（x-h）²的圖象和性質，及函數之間的平移規律的基礎上，進一步研究二次函數y=a（x-h）²+k的圖象和性質。主要研究方法是畫函數圖象并分析與已學習的函數圖象之間的關系，得出函數圖象的平移規律，以此進一步分析函數的性質。學生需要對前面幾種函數形式進行總結和概括。

（二）學情分析

為準確把握學生的學習情況，教師精心設計問題，開展調研工作。

問題1：何謂函數，表示方法有哪些？

問題2：一次函數的圖象和性質是什么？

問題3：研究函數的角度有哪些？

教師調研發現：學生學習本單元之前，已經學習了函數的定義、一次函數的圖象及特征，明確了函數是一種變化和對應關系；大多數學生已掌握函數不同表示方法，了解它們的優缺點，能夠根據具體情況選擇適當的方法表示函數；會用描點法繪制函數圖象，并感知了函數圖象增減性的過程。學生在學習一次函數時，對于函數圖象及性質的研究內容和研究方法已經有了一定的了解，可以遷移知識與經驗，結合函數的圖象研究特征。學生知道可以從圖象、列表、解析式三個角度研究函數的性質，具有一定的數形結合思想。

有些學生可能忘記函數的特征，教師需要適當引導學生回憶學過的函數的研究角度。同時，對于一個新的函數，學生可以借助函數解析式，分析函數值，猜測圖象大致走勢，再利用繪圖軟件等工具繪制函數圖象，進而驗證猜想的正確性，研究函數特征，回歸到解析式，再分析認識函數性質。

教師從學生完成習題的情況看出，雖然大部分學生已經掌握一次函數的圖象和性質，但是在解決問題的過程中，還有些學生利用圖象解決問題的意識有待提高；在畫函數圖象時，會出現考慮不夠全面的情況；在面對一個新的函數時，不知如何分析研究函數的圖象和性質。在接下來的教學中，教師需要培養學生的幾何直觀能力和勇于探究數學問題的精神。

從課標要求、教學內容、學情分析三個維度可以看出，函數不但是數學學科的核心概念，還是中學數學課程中承載育人功能的核心知識載體。現實世界里的函數無窮無盡，而學生能學習的函數模型是非常有限的。在教學中，教師除了關注相應函數的性狀研究之外，還要引導學生感悟研究函數的基本方法和研究函數的維度。

具體到本節課，在知識技能和能力基礎方面，學生已經學習了二次函數y=ax²、y=ax²+k、y=a（x-h）²的圖象和性質，以及幾個函數圖象之間的平移規律，同時對探究函數性質的方法和思路有了一定的認識，為本節課的進一步探究做好了準備。學生學習了前面幾節課的知識，具備了一定的自主探究能力，對如何使用數字教材及信息工具繪圖軟件輔助探究也已經熟悉。

學生在學習本節課時會遇到一些困難：不知怎樣選擇特殊二次函數進行探究；怎樣將看到的“形”，與之前所學的函數圖象建立聯系；如何從特殊情況下，抽象概括出一般形式具有的性質；如何基于自主探究進行深度學習；等等。

三、數字教材支撐下函數探究教學設計

（一）確定教學目標及重難點

在二次函數的圖象和性質的單元教學目標指引下，教師確定本課時學生的學習目標如下：

（1）掌握二次函數y=a（x-h）²+k的圖象和性質；

（2）理解二次函數y=a（x-h）²+k的圖象與二次函數y=ax²的圖象的位置關系；

（3）用作圖、觀察、分析、合作、歸納等探究方式，理解頂點式二次函數的圖象和性質，發展學生的幾何直觀；

（4）體會數形結合和類比的數學思想，培養勇于探究的科學精神。

教學重難點如下：

重點：二次函數y=a（x-h）²+k的圖象和性質；

難點：二次函數y=a（x-h）²+k的圖象與二次函數y=ax²的圖象之間的平移規律。

（二）設計教學流程與教學方法

二次函數的學習是以一次函數為基礎的。學生需要循序漸進地學習，在研究過程中應注意復習相關內容，重視知識之間的聯系，領悟類比、數形結合和歸納的思想。

函數圖象是研究函數性質的直觀載體。學生可以從圖象上觀察函數的變化規律，整體上把握函數性質。學生先從函數解析式出發，借助繪圖軟件等信息工具畫出函數圖象，并利用數字教材資源動手操作，再回歸解析式，總結函數特征，深刻理解函數的內涵，對研究函數的思路和方法進行歸納、總結，實現能力與智慧上的提升。

教師讓學生對已有的知識、經驗、方法進行遷移，親歷知識的形成過程，整體感知函數的學習方法，選擇合適的方法探究新函數的特征。

本節課，教師依托人教智慧教學平臺教學，借助手持平板電腦，以小組合作的學習方式，利用人教數字教材的數字化教學資源，開展實驗和探究活動，打造“教師主導、學生主體”的互動探究課堂。手持平板電腦深度融合了人教數字教材資源和信息化工具。學生充分利用數字教材中模擬動畫、交互探究、練習反饋資源及信息化工具（如GeoGebra軟件），使思維可視化，實現了數與形的完美結合。教學環節和活動設計如圖2所示。

（三）設計教學過程

教師為學生設計了復習回顧、互動探究、總結規律、知識應用、課堂小結等學習環節。

環節一：復習引入。

教師引導學生回顧已學二次函數的研究方法，同時明確本節課的研究對象，為本節課的自主探究作好鋪墊。

【教師活動】

教師提出以下問題。

問題1：前面研究過哪些形式的二次函數？

問題2：我們是怎樣研究這些函數的？

問題3：二次函數y=ax²+k及二次函數y=a（x-h）²圖象與y=ax²圖象分別有什么關系？

問題4：接下來該研究哪種形式的二次函數？

【學生活動】

學生利用數字教材資源復習回顧，觀察圖象及函數運動規律，表述二次函數y=ax²+k及二次函數y=a（x-h）²的圖象與y=ax²的圖象之間的平移關系，同時利用平移關系得到兩個函數的頂點和對稱軸。學生回顧分析，確定接下來的研究對象為y=a（x-h）²+k的二次函數。

在本環節，學生利用數字教材觀察、回顧，充分利用數字教材資源展示二次函數y=ax²+k及二次函數y=a（x-h）²的圖象與y=ax²的圖象之間的關系，發展幾何直觀素養。

環節二：合作交流、互動探究。

按照由特殊到一般的研究思路，教師引導學生選取特殊的研究對象，探究其圖象和性質。學生利用數字教材所提供的信息工具及GeoGebra繪圖軟件，分組自主探究，將思維可視化，進一步發展了幾何直觀素養，并利用人教智慧教學互動平臺對探究結果進行匯報展示。

【教師活動】

教師設置探究以下活動。

活動1：請寫出一個具體的二次函數作為研究對象。

活動2：請各小組對你們組所寫的這個二次函數進行研究，可以利用平板電腦中的資源輔助探究。

【學生活動】

學生互動合作，完成以下探究任務。

任務1：研究這個函數有什么思路和方法？

任務2：對這個函數的研究結果有哪些？

在這一環節，學生利用人教智慧教學互動平臺系統分屏展示所采用的探究方法（觀察解析式畫函數圖象或利用電子資源），利用手中坐標紙描點畫圖，并借助平板電腦利用數字教材資源及GeoGebra繪圖軟件畫出函數圖象進行驗證，探究之后利用互動平臺展示匯報探究結果。

環節三：總結規律，展示交流。

教師讓學生利用數字教材中的資源再次動手操作，總結得出平移規律，并歸納二次函數y =a（x-h）²+k的性質。學生動手操作并自主歸納總結，對二次函數的性質能夠更好地理解掌握。

【教師活動】

教師提出問題：二次函數y=a（x-h）²+k的圖象是分別對二次函數y=ax²、y=ax²+k及y=a（x-h）²的圖象進行怎樣的變換得到的？

教師引導學生利用數字教材資源，動手操作總結得到二次函數y=a（x-h）²+k的圖象性質。

【學生活動】

學生利用電子資源再次動手操作，總結得出平移規律；同時根據所得出的平移規律總結二次函數y=a（x-h）²+k的圖象性質，并制作表格。教師讓三個學生配合，使用電腦展示探究過程并填寫表格，總結函數圖象平移關系。

在這一環節，教師充分利用數字教材中的輔助資源，鼓勵學生動手操作，發現圖象的變化與解析式中參數的關系，總結得到函數性質，培養學生觀察、思考、總結的學習能力。

環節四：知識應用。

學生利用本節課的探究結果解決問題并在數字教材中完成練習。學生及時提交，教師及時糾錯。教師借助人教智慧教學平臺能夠了解每個小組完成練習的情況，及時給予指導。

環節五：課堂小結。

學生自主總結本節課的學習收獲，將本節課所學內容從知識層面上升到方法層面。

（四）教學總結與反思

教師引導學生回顧前幾節課研究函數的一般經驗，進一步對二次函數y=a（x-h）²+k的圖象和性質進行探究，獲得研究函數性質的方法：（1）尋找與已知函數之間的關系；（2）分析解析式，觀察圖象，歸納函數特征；（3）按照從特殊到一般的順序進行探究，從知識層面上升到方法層面。學生以小組為單位，利用數字教材資源等信息工具探究新的函數的特征，教師引導學生思考、探究，鼓勵學生動手操作，嘗試數學實驗過程，提高學生的課堂參與度，充分體現學生的主體地位，促進學生高階思維的形成。

本節課，教師要注重知識的聯系貫通。函數是初中數學中的重要概念。教師在教學過程中以學生掌握研究一般函數的方法為整體目標，引導學生從已有的研究函數的經驗出發，總結出研究新函數的角度，探究新函數的性質，并運用信息技術手段，不斷深化對新函數的性質的認識。學生將數學學習經驗很好地運用到新知識的學習中，將函數知識之間的聯系以及課堂探究活動緊密結合，可以有效突破學習難點。

在教學過程中，教師引導學生合理利用數字信息工具輔助探究，開展探究式學習。教師精心設計各個教學環節，有利于提高學生的課堂參與度，充分體現學生的主體地位。教師設計多種形式的探究活動，幫助學生提升高階思維能力，發展幾何直觀素養，實現育人目標。

教學設計中明線與暗線相輔相成，有利于學生整體把握課程內容。教學過程中，確定了知識的研究過程：由特殊到一般。探究二次函數的圖象和性質是明線，研究函數的一般方法是暗線，教學中兩線融合，相得益彰。這種教學設計，建立在教師對課程內容深刻理解的基礎上，突出了教學知識和教育本質，整體把握了課程與教學的關系，讓學生有實際獲得，對于學生基本數學素養的提升是非常有益的。

在數字教材的支撐下，教師指導學生對二次函數進行探究式學習，借助信息技術為學生提供豐富的外部刺激和多種教學環境，讓學生主動參與到學習中，自主動手操作、先行觀察、發現數學、建構知識，根據需要自主探究和合作交流，使學生真正成為學習的主人，主動積極學習，為學生的全面發展提供條件，使學生素質得到提高。在后續的教學中，教師要繼續挖掘數字教材的資源和功能，對教學效果進行觀測分析，持續反思改進，探索數字教材與學科教學深度融合創新應用的行動路線，有針對性解決現存問題，優化課堂教學，優化初中學生的數學學習。

注：本文系北京市教育科學“十四五”規劃2021年度一般課題“人教數字教材優化初中生數學學習的行動研究”（立項編號：CHDB21235）、北京市教育學會“十四五”教育科研課2021年度一般課題“人教數字教材助力培養幾何高階思維的研究”（課題編號：DCYB2021-082）、國家新聞出版署出版融合發展（人教社）重點實驗室人民教育出版社人教數字教育研究院“‘雙減背景下的數字教材學科教學應用策略研究”（課題編號：RJA0122003）的階段性研究成果。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 楊鳳武.淺談信息技術條件下如何做好中學數學探究性教學[J].數理化學習，2015（2）：37.

責任編輯：祝元志