三個Milosevic 類似不等式加強式的再推進

湖南省長沙市望城區中小學教師發展中心(410200) 劉先明

設ΔABC的三邊長,三條高,三條旁切圓半徑,外接圓半徑,內切圓半徑,半周長與面積分別為a,b,c,ha,hb,hc,ra,rb,rc,R,r,s,Δ,∑表示循環求和. (本文除特別說明外,取等號的條件都是“當且僅當ΔABC為正三角形時取等號”)

對如下兩個Milosevic 不等式:

結論1在ΔABC中,有.

結論2在ΔABC中, 有.

文[1]、文[2]和文[3]分別獲得了類似不等式:

文[1] 的定理1、2 (原文[1] 定理1 左邊的“3”應當為“1”)在ΔABC中,有

文[2]的定理2 在ΔABC中,有

文[3]的結論8○式 在ΔABC中,有

本文獲得(1)、(2)、(3)式的加強結論.

引理1(Bottema 基本不等式)在ΔABC中,有

引理2(見文[4]) 在ΔABC中, 有.

1 (1)式的加強

定理3在ΔABC中,有

證明由文[2]知:

2 (2)式的加強

定理4在ΔABC中,有

證明由文[2]知:,

又,

3 (3)式的加強

定理5在ΔABC中,有

證明由引理1 和引理2 知:

由證明過程知定理5 加強了(3) 式, 即加強了文[3] 的結論8○式.