單元整體教學在中考數學復習課的應用
——以定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”復習教學為例

廣東省佛山市三水區三水中學附屬初中(528100) 羅增勝

1 教學過程

1.1 定理復習,鞏固概念

1.1.1 定理呈現

定理: 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

教材位置: 北師大版九年級上冊第一章“特殊的平行四邊形”第1 節“矩形性質與判定”;人教版八年級下冊第18 章第2 節“特殊的平行四邊形”.

教學意圖旨在復習定理的基本內容,分析定理在教材中的位置與作用,幫助學生總體上回顧定理. 在教學中,教師引導學生區分該定理在兩種主流教材的呈現形式. 人教版教材直接指出利用矩形的性質得到直角三角形的一個性質(定理), 而筆者所在地市使用的北師大版教材則安排在“議一議”中,提出問題,讓學生自主探究,并未給出定理證明的具體方法. 筆者認為,北師大版教材的呈現形式更能激發學生的求知欲,更容易提升學生的思維能力,這也契合了卜以樓老師所提倡的“生長數學”理念.

1.1.2 定理證明

已知: 如圖1,在ΔABC中,∠ABC=90°,點O為AC的中點.

圖1

教學意圖旨在復習定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的證明方法. 本定理的證明較有技巧,靈活運用了矩形對角線相等的性質, 需延長線段BO到點D,使得OD=OB,連接AD,CD,如圖2. 證明四邊形ABCD為矩形,再由對角線相等得到AC=BD,進而證得. 而證明矩形常用的方法有兩種, 這兩種解法對中考復習很有幫助, 也是中考壓軸題解題中常用的方法. 法一是用“邊角邊”證明了ΔAOBΔCOD,再由全等三角形對應邊和對應角相等, 得到AB=CD,∠BAO= ∠DCO,從而AB//CD,這樣得到四邊形ABCD為平行四邊形,結合∠ABC=90° 得到四邊形ABCD為矩形;法二是利用對角線互相平分得到四邊形ABCD為平行四邊形,結合∠ABC= 90° 得到四邊形ABCD為矩形. 法一使用的“倍長中線”法是一種重要的輔助線作法,法二可以幫助學生復習解題中較少用到的判定平行四邊形的方法,兩種方法都是中考壓軸題解題的重要方法.

圖2

1.1.3 簡單應用

例題1已知: 如圖3, 在ΔABC中,AD⊥BC,E,F分別是AB,AC的中點, 且AB=AC.

圖3

求證:DE=DF.

變式1已知: 如圖3,在ΔABC中,AD⊥BC,E,F分別是AB,AC的中點,且DE=DF.

求證:AB=AC.

變式2如圖4,點C和點D在AB的異側, 如果∠ACB= ∠ADB= 90°, 點E是AB的中點,連接CE,DE,那么線段CE與DE長度相等嗎?

圖4

變式3如圖5, 點C和點D在AB的同側,如果∠ACB= ∠ADB= 90°,點E是AB的中點,連接CE,DE,那么線段CE與DE長度相等嗎?

圖5

變式4在學習“圓”一章時,我們學習了圓周角定理的一些推論,其中一個推論是“90° 的圓周角所對的弦是直徑”,你是怎樣證明的? 請完成以下的證明:

已知: 如圖6,ΔABC的三個頂點A,B,C在⊙O上,∠ABC=90°.

圖6

求證:AB為直徑.

教學意圖: 例題及變式均為定理的直接運用,例題1 與變式1 是條件與結論互換,變式2 與變式3 是圖形的位置變化,變式4 是本節復習課的亮點,整合了“圓”一章的知識,目的是對圓周角定理推論進行復習,是基于單元整體教學視角下的教學設計. 將矩形、直角三角形、圓三個獨立的內容通過定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”聯系在一起,串聯多個知識點,體現了整體性和關聯性. 這樣,通過系列的變式找出不同問題的共同特點以及解決問題的基本方法,降低了解決問題的難度,大大的提升了復習的效率.

1.2 逆向思考,拓展提升

例題2已知: 如圖7,在ΔABC中,點O為AC的中點,且.

圖7

求證: ∠ABC=90°.

變式5在學習“圓”一章時,我們學習了圓周角定理的一些推論,其中一個推論是“直徑所對的圓周角為直角”,你是怎樣證明的? 請完成以下的證明:

已知: 如圖8, ΔABC的三個頂點A,B,C在⊙O上,AB為直徑,連接OC.

圖8

求證: ∠ACB=90°.

教學意圖例題2 實際上是定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題“如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半, 那么這個三角形是直角三角形”的證明, 該命題為真命題, 為北師大版初中數學九年級上冊第14 頁數學理解第4 題的內容. 設∠A=α,∠C=β, 由題設可知OA=OB=OC, 所以有∠OBA=∠A=α,∠OBC=∠C=β,這樣,由三角形內角和得到2α+2β= 180°,從而∠ABC=α+β= 90°. 變式5 為“圓”一章的復習,解決方法同例題2. 變式5 與變式4 均為整合的內容,建立在學生已有認知的基礎上,注重了前后知識的整體性和關聯性. 解題中體現了數形結合的思想,能更直觀的幫助學生理解角度關系,更高效的解題,這種方法可以有更廣的應用價值,下文將通過例題及變式強化.

1.3 拾級而上,學以致用

例題3如圖9, 在ΔABC中,∠ACB= 90°, 分別以點A和點C為圓心,大于的長為半徑作弧,兩弧相交于M,N兩點, 作直線MN, 直線MN與AB相交于點D,與AC相交于點E,連接CD,若AB=4,則CD的長是_____.

圖9

變式6如圖10,E,F分別是ABCD的BC,AD邊上的點,且CE=AF,AE=BE, ∠BAC=90°.

圖10

求證: 四邊形AECF是菱形.

教學意圖: 例題3 雖有直角作為條件,但并沒有點D為斜邊中點的條件, 亦無DA=DB=DC的條件, 因此, 與例題1 和例題2 有所不同. 教師應啟發學生分析已知條件,區分題目結構, 尋求解題方法. 學生在例題2 的數形結合法的啟發下,設∠A=α,可由線段垂直平分線的性質得到DA=DC,從而有∠A= ∠ACD=α,由∠ACB= 90° 得∠B=∠DCB=90°-α,所以得到DB=DC,這樣就有了DA=DB=DC,從而得到. 例題3 還可以有其他解題方法,由圖可知直線MN為線段AC的垂直平分線,由定義可知點E為中點,易知DE//BC,這樣根據平行線分線段成比例定理得到點D為中點,就可以利用定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”解決問題了. 例題3 的兩種解法均可用在變式6 中,因此,變式6 能有效的強化例題3 的教學,這樣,通過例題3 和變式6 復習了線段垂直平分線的定義與性質,復習了平行線分線段成比例定理,復習了平行四邊形和菱形的性質與判定,從而達到了串聯知識以實現高效復習的目的,同時,也強化了數學結合思想.

變式7(2023 年廣東中考第22 題節選)如圖11, 在矩形ABCD中(AB＞AD),對角線AC,BD,相交于點O,點A關于BD的對稱點為A′,連接AA′交BD于點E,連接CA′.

圖11

求證:AA′⊥CA′;

教學意圖本題為2023 年廣東中考數學真題的節選, 有多種解題方法, 較為常見的方法是由點E和點O為中點,得到OE為中位線,推出OE//A′C,進而由OE⊥AA′得AA′⊥CA′. 除了這種方法,教師可引導學生利用本節課復習知識解題,連接OA′,由軸對稱得OA=OA′,由矩形的性質得OA=OC,從而有OA=OA′=OC,這樣又回到了上文的變式5 了. 可以用變式5 的證明方法解題,也可以由圓的定義解題,由OA=OA′=OC得知A,A′,C三點共圓,再由圓周角定理的推論“直徑所對的圓周角為直角”得到∠A′=90°. 本題既可讓學生練習中考真題,還是本節所復習的內容的升華,有一石二鳥之妙.

2 教學思考

2.1 關注數學內容的本質

眾所周知,《義務教育數學課程標準(2022 年版)》明確指出,“單元整體教學設計要整體分析數學內容本質和學生的認知規律, 合理整合教學內容”[2], 而定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的本質是矩形性質的延伸,“90°的圓周角所對的弦是直徑”和“直徑所對的圓周角為直角”這兩個圓周角定理的推論的本質就是定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”. 中考復習的內容非常多,零散的知識點之間有著緊密的聯系,在中考復習課中,抓住數學問題的本質,整合零散的知識,理清數學內容的內在邏輯,有助于幫助學生構建數學知識網絡,形成有機的整體,進而促進學生深度學習.

2.2 關注學生的認知邏輯

教師是課堂的引導者,而學生是學習的主體,教學設計要遵循學生的認知規律和心理特點,循序漸進,中考復習的知識是零散的,教師要依托教學內容,巧妙設計課堂的各個環節,精選題目,幫助學生激活記憶,鞏固已學內容. 教學設計要從簡單到復雜,在學生建立了整體的認知結構后,再進行知識的延伸和深拓,如例3 及對應的變式6、變式7 為本節課的升華,所選題目指向了學生已有的認知,符合學生的思維特點. 題目較之前的定理證明和練習在難度上有一定的提升,使學生形成認知沖突,學生的求知欲被激活. 有了之前的方法提煉,學生思維被打開,解決問題便水到渠成了.

2.3 關注數學思想方法

作為概念或定理復習課,既要發揮到鞏固知識、延伸拓展的作用,也要讓學生感悟思想方法和發展解決數學問題的能力,學生在知識的再認知過程中,進一步領悟定理證明和習題解決過程中用到的數學思想方法,提煉出一般的解題方法,顯得尤為重要. 比如本節課的數形結合思想,在不同的題目中有著同樣的應用,題目變化了,但解題的數學核心思想方法并沒有變化,通過變式練習,培養了學生在變化中尋找不變的思維能力.

2.4 關注中考復習的整體性

在中考復習課中應用單元整體教學理念,對教師的要求較高,并不是簡單地重復學生在新課中的知識,而是對初中三年所學習內容的進行整合,挖掘所復習知識內部的緊密聯系,這就需要教師對教學內容有更好的研究. 除了老師平時教學的積累,還需要備課組的通力合作. 在習題選取時,要基于復習的目標選擇適當的題目, 要注意知識點的全面覆蓋,注意題目的延伸,這樣才能更好地實現整體性,進而提高中考數學復習效率. 本節課在基于單元整體設計理念的指導下,從學生學習的方法和認知特點的一致性角度進行整體的設計,對中考數學的復習有著深遠的意義.