解密平口單峰函數及其本質

華南師范大學數學科學學院(510631) 葉曉茵

華南師范大學附屬中學(510630) 陳偉連

1 試題背景

上述試題蘊含平口單峰函數的命題背景,為了深入研究該類問題,我們現將上述試題一般化如下,以得到更一般的推廣結論.

已知h(x) = |f(x)-ax-b| 對任意實數a、b, 存在x0∈[m,n],使h(x0)≥M,求實數M取值范圍.思路分析:

(1)先把x0看成主元,把a、b看成常數,由題目條件存在x0∈[m,n],于是問題轉化為M≤h(x)max=g(a,b);

(2) 接著把a、b視為主元, 把x0看成常數, 由題目條件對任意實數a、b, 那么問題轉化為M≤[g(a,b)]min=[h(x)max]min;

(3)由上可知,解決這類問題就是求M≤[h(x)max]min.

2 引題呈現

(2017年高考浙江卷第17題)已知a∈ R, 函數在區間[1,4]上的最大值為5, 則a∈R 的取值范圍為____.

3 平口單峰函數定理

平口單峰函數就是上面的一種特殊情況, 即當f(m) =f(n) 時, 在區間存在唯一的極值點x0(用拉格朗日中值定理可以證得),則h(x) = |f(x)-ax-b|在區間[m,n] 內的最大值的最小值為,當a= 0,取等號. 幾何表示如圖1.

圖1

4 研究的幾何意義

接下來,我們將從一個具體的題目來說明平口單峰函數定理.

例1已知f(x) =|x2-ax-b|對任意實數a、b,存在x0∈[m,n],其中m=-2,n=2,使f(x0)≥M,求實數M取值范圍.

題目分析:f(x)在幾何意義上為拋物線y=x2與直線y=ax+b在[-2,2]內橫坐標取一樣時,縱坐標之間的距離.M是這兩條線垂直距離的最大值的最小值. 當直線斜率存在時,如圖2,其中拋物線和直線之間的垂直距離M總比2 要大. 當斜率為0 的時候,其中y=x2與y=b2 的垂直距離M,總比在y=2 位置要大. 如下圖3.

圖2

圖3

通過上面的幾何揭示, 我們發現f(x0) 最大值的最小值M在處取到.

5 研究問題的代數證明

前面我們是從幾何角度直觀感受絕對值函數何時取得其最大值的最小值的情況,接下來將從代數的角度進行嚴格推導來揭示它的本質,其實平口單峰函數是切比雪夫最佳逼近直線的一個特例.

切比雪夫最佳逼近直線設A={g(x)=ax+b|a∈R,b∈R}, 若存在g0(x) ∈ A 使得對任意g(x) ∈ A, 有, 則g0(x) ∈A 稱為f(x) 在切比雪夫下的最佳逼近直線, 也可以稱.

由于運用代數來證明涉及到切比雪夫逼近直線,為了更直觀的了解切比雪夫最佳逼近直線,其幾何形式如下圖.

(1)當f(x)為單峰函數時,如圖4,其中過CM中點D且平行MN的直線就是最佳逼近曲線.

圖4

(2)當f(x)為非單峰函數時,如圖5,其中C為圖像的切點,過C點作直線l1和平行于直線l1的l3,與直線l3和直線l1距離相等的直線l2為最佳逼近直線. 從幾何角度來看,最佳逼近直線就是最貼近曲線的一次函數直線,恰好直線到曲線l2的最大距離比其他直線到曲線的最大距離都要小. 就是夾住曲線中間的兩條直線l1、l3中間的直線l2.

圖5

下面將用切比雪夫逼近直線定理和三點控制法來證明平口單峰的最佳逼近直線.

切比雪夫逼近直線定理若f(x) 在[m,n] 上具有二階導數, 且f(x) 為凸函數, 則f(x) 的最佳逼近直線為, 其中,f′(x0) =k. 特別的, 當f(m) =f(n)時,直線的斜率為0,此時直線為最佳逼近直線,而h(x) = |f(x)-ax-b|在[m,n]內最大值的最小值為.

三點控制法從切比雪夫逼近直線定理可以看出,我們可以選取端點m,n、極值點x0,運用三角不等式來證明.

證設h(x) = |f(x)-ax-b| 最大值為M, 則有M≥|f(x)-ax-b|,x∈[m,n],M≥|f(m)-am-b|,M≥|f(x0)-ax0-b|,M≥|f(n)-an-b|,于是問題轉化為證明M≥max{f(m),f(n),f(x0)}.

對上式乘相關系數,得

根據三角不等式|a| - |b| ≤ |a-b| ≤ |a| + |b|, 有

由于f(m) =f(n), 于是, 當a=0,時取到等號.

注三點控制法重點在于運用三角不等式消去帶有a,b的項. 這個方法的原理來源于切比雪夫多項式.

6 研究問題的適用范圍及其應用

6.1 直接用平口單峰函數模型

引題解答依題意即求f(x) ≤5,設,由于g(1) =g(4),則g(x)為平口單峰函數,且g′′(x)＞0,極值點為x= 2,則當時,f(x)取到最大值, 而觀察式子得到當,g(x) 到y=a的距離小于5,即.

6.2 構造平口單峰函數模型

若f(m)f(n),設h(x)=|f(x)+ax+b|,x∈[m,n],若a,b的范圍沒有限制, 那么我們可以通過重新構造f(x)來運用平口單峰函數模型. 步驟如下:

(1)首先,設p(x) =f(x)+λx,令p(m) =p(n),求出λ的值;

(2)其次將式子變為h(x)=|p(x)+(a-λ)x+b|,運用平口單峰函數,得到最大值的最小值為,且當a=λ,時取到等號.

例1(2015 年1 月浙江省學業水平考試第34 題)設函數, 若對于a,b∈R, 總存在x0∈[0,4]使不等式f(x0)≥m成立,求使式子成立的實數m.

分析易知該題不符合平口單峰函數模型的情況, 即f(0)f(4),但是a,b∈R 不受限制,所以可以轉化為構造平口單峰函數模型進行解題.

解根據平口單峰函數模型, 設, 當p(0) =p(4) 時, 求得, 則原函數轉化為. 當時,解得x=1. 所以當時,此時函數的最大值的最小值為,所以.

6.3 不能用平口單峰模型

若f(m)f(n),但a,b受到限制的時候,即題目給出a=0,或者a0,則無法使用上述方法. 那么找目標函數最大值和最小值本質就是求切比雪夫逼近直線,結合三角不等式即可解決該類問題.

例2(2016 年天津高考理科數學第20 題) 設函數f(x) = (x-1)3-ax-b,x∈R, 其中a＞0,b∈R, 設g(x)=(x-1)3,求證|f(x)|在區間[0,2]上的最大值不小于.

分析由于g(0)g(2),所以不能直接用平口單峰函數模型.

解法一(切比雪夫直線逼近) 設g(x) =(x-1)3, 由設直線l2經過點M(0,-1) 且與曲線相切于點(x2,f(x2)), 由,得到極值點為, 則當x= 2,l1過點(2,1),l3過點, 則中點為, 則最佳逼近直線l2為斜率且過點的直線,, 則,如圖6 所示.

解法二(點控制法) 設g(x) = (x-1)3, 極值點為,則有

則

注點控制法步驟歸納: ①求出[m,n]內f(x)的極值點x1,x2, ②運用M≥h(m),M≥h(n),M≥h(x1),M≥h(x2),結合三角不等式消去a,b求出M的值.

結語從以上的分析結果來看, 我們發現求函數h(x) = |f(x)-ax-b| 最大值的最小值, 其背景就是求使得M=h(m)=h(n)時,最小的M值. 我們從平口單峰函數模型出發,一步一步挖掘蘊含的背景知識,首先畫圖直觀讓學生感受切比雪夫最佳逼近直線. 通過分析切比雪夫逼近直線的幾何直觀來揭示本質,如果不能運用平口單峰函數模型,則可以通過切比雪夫逼近直線的幾何本質,通過畫圖結合本質進行求解. 其實將高等知識帶入高中課堂,就將這種知識背后的思想方法,通過幾何直觀和代數來讓學生感受并且運用,本文旨在從幾何、代數角度介紹平口單峰函數,同時從代數和幾何角度來引入切比雪夫逼近直線,從幾何角度分析切比雪夫直線的本質,從而面對一些變式的時候我們可以畫圖直觀分析,再運用切比雪夫逼近直線的思想求解.