MEMS陀螺噪聲理論與模型綜述*

聶偉豪，焦 娟，劉夢祥，姜 波，周 怡，蘇 巖

(南京理工大學 機械工程學院·南京·210094)

0 引 言

陀螺儀是測量載體相對慣性空間運動角速度和角度的傳感器，高性能的硅微機電系統(Micro Electro Mechanical Systems，MEMS)陀螺儀在慣性導航、制導、控制等領域中具有至關重要的作用。目前，國內外MEMS陀螺大多工作在模態匹配閉環檢測模式下，以此提高陀螺的整體性能[1]，如提升標度因數穩定性，獲得高機械靈敏度，同時不會過多地損失測量帶寬。但是，陀螺閉環檢測與控制電路是復雜的機電混合系統，系統中的噪聲源一旦變多，多種噪聲源共同引起諧振時信號相位和幅度的抖動。因此需要研究陀螺各部分噪聲產生機理，構建陀螺閉環系統的相位噪聲模型和幅度噪聲模型，從而對MEMS陀螺噪聲性能進行評估與預測。本文主要圍繞MEMS陀螺噪聲源理論分析和系統噪聲模型的構建展開調研，分析討論了國內外研究機構在MEMS陀螺噪聲理論研究與噪聲模型構建上的思路和進展，為后續提高MEMS陀螺噪聲性能提供參考。

1 MEMS陀螺噪聲理論研究

1.1 MEMS陀螺噪聲表征方法

噪聲是一個隨機過程，通常使用一定時間段內信號幅度平方的平均值來表示。噪聲在頻域上主要使用功率譜密度函數來表征，體現在主譜線兩旁連續分布的噪聲邊帶，具有頻譜不純凈的特點。另一種常用的表征方法為Allan方差[2]，能夠直觀地反映MEMS陀螺的性能水平。一般情況下兩種表征方法可以相互轉換。與Allan方差相聯系的隨機漂移誤差源包括：零偏不穩定性(Bias Instability，BIS)、量化噪聲、角度隨機游走(Angular Random Walk，ARW)、速率隨機游走(Rate Random Walk，RRW)、速率斜坡。這五種誤差源在Allan方差圖中具有不同的斜率，如圖1所示。零偏不穩定性和角度隨機游走是力平衡模式下的主要性能指標，當對角速率速度信號進行積分時，角度誤差的標準差最開始由角度隨機游走占主導，當積分時間變大，零偏不穩定性成為主要因素。

圖1 Allan方差各誤差源Fig.1 Error sources of Allan variance

1.2 MEMS陀螺諧振系統中的噪聲源

在MEMS陀螺結構以及測控電路構成的諧振系統中包含多個噪聲源，如機械熱噪聲、前端放大器噪聲、偏置電壓噪聲等，這些噪聲源基本上由熱噪聲和閃頻噪聲構成。MEMS陀螺及電路中的熱噪聲決定了角度隨機游走，電路中晶體管、場效應管等器件產生的閃頻噪聲決定了陀螺零偏不穩定性，所以將各噪聲源分為熱噪聲與閃頻噪聲進行概述。

1.2.1 MEMS陀螺熱噪聲研究

由于硅微諧振式陀螺儀結構尺寸非常小，封裝腔內氣體分子的無規則運動會對可動結構，如檢測質量塊、諧振梁等產生碰撞，從而形成機械熱噪聲。機械熱噪聲會產生在敏感檢測方向的振動，作用效果與科氏力相同，會被接口電路檢測為角速度輸入。但是，機械熱噪聲產生的振動極其微弱，沒有辦法直接測量，需要經過接口電路對信號進行放大，與此同時又會引入前端放大器輸入噪聲。多種噪聲使噪聲分析變得復雜，所以不斷地有學者對機械熱噪聲結合其他類型噪聲在測控電路中的傳遞過程和噪聲模型的構建進行研究。最早在1993年，T. B. Gabrielson[3]比較系統地研究了機械熱噪聲，并應用等效電學模型來分析，他闡述了機械熱噪聲只取決于溫度和機械阻尼的大小，是一種白噪聲，功率譜密度在整個頻帶內是均勻的，可以等效為沿著阻尼方向施加的大小隨機的力，其功率譜密度如下

(1)

式中，kB為玻耳茲曼常數，T為絕對溫度，c0為阻尼系數，Q為品質因數，m為陀螺結構質量，ω0為諧振頻率。同樣，電路中的電阻和晶體管也會由于內部帶電載流子的無規則運動，向電路引入熱噪聲。電阻熱噪聲可以用一個電壓源來模擬，晶體管熱噪聲主要在溝道中產生，可以用一個連接源漏兩端的電流源來模擬，兩者的功率譜密度為

SR(f)=4kBTR

(2)

SM(f)=4kBTγgm

(3)

式中，R為電阻值，γ為溝道深寬比相關的常系數，長溝道晶體管為2/3，gm為晶體管跨導，f為頻率。

隨后，V. Annovazzi-Lodi[4]等將機械熱噪聲代入陀螺兩個軸的動力學方程中，同時考慮了電熱噪聲的影響，計算出陀螺的信噪比，并引入噪聲等效角速率(Noise Equivalent Angular Rate，NER)這個參數來同時表征陀螺的噪聲性能與靈敏度限制，研究發現機械熱噪聲可能代表傳感器實際靈敏度的極限。2005年，阿拉巴馬大學R. P. Leland[5]首先構建了機械熱噪聲在MEMS陀螺控制環路中傳遞過程的數學表達式，使用隨機平均法得到開環和力平衡模式下“慢”變量表示的近似系統來分析機械熱噪聲的影響，給出了模態匹配和頻率裂解下角度隨機游走和噪聲等效角速率的功率譜密度之間的關系，在給定結構參數下計算出的角度隨機游走水平達到了戰術級。

1.2.2 MEMS陀螺閃頻噪聲研究

閃頻噪聲即1/f噪聲，頻率越高功率譜密度越小。與白噪聲不同，閃頻噪聲無法通過對輸出數據進行平均而降低，而且由于這種噪聲在低頻處能量集中，信號經過積分產生的角度誤差會隨著時間積累，對導航精度產生很大影響。閃頻噪聲來源于CMOS晶體管柵氧化層與硅襯底界面處電荷載流子的隨機俘獲和釋放，是所有晶體管的固有特性[6]。在硅微陀螺儀復雜的測控電路中，存在成百上千的晶體管，且不同晶體管的噪聲轉化機理也不盡相同，從眾多含有晶體管電路中定位出影響硅微陀螺零偏不穩定性的主導噪聲源就顯得十分困難。晶體管的閃頻聲通常用一個與柵極串聯的電壓源來模擬

(4)

式中，Cox為單位面積的柵極氧化層電容，K為由工藝決定的常量，W，L分別為晶體管溝道的寬度和長度。

2001年，懷俄明大學S.C.Peacock[7]基于場效應晶體管放大器研究了1/f噪聲影響增益的幅度和相位，將其轉換為載波信號上的振幅調制噪聲和相位調制噪聲。A. Mohammadi等[8]在2012年發表的文獻中指出電熱噪聲和閃頻噪聲是批量加工的MEMS陀螺中的主要噪聲，并提出一種低閃頻噪聲的接口電路。同年，M. Kirkko-Jaakkola[9]將1/f噪聲的特性與陀螺偏置校準中涉及的預測問題聯系起來，利用卡爾曼預測器和移動平均預測器來預測零偏。2017年，德國博世公司T. Hiller等[10]討論了具有力平衡和正交控制回路的陀螺噪聲性能，發現零偏不穩定性在長積分時間內主導了角度誤差，即1/f噪聲是主要誤差分量，并證明零偏不穩定性與正交誤差不具有相關性。為了尋找主導零偏不穩定性的1/f來源，他們通過理論分析和測試數據得出零偏不穩定性隨著驅動振幅的增大而增加，隨頻差增大而降低，并不是獨立產生于敏感回路，并給出了幾個零偏不穩定性可能的來源，包括：通過力作用于檢測質量塊的噪聲源，通過饋通產生交叉耦合的噪聲源，以及來自驅動回路鎖相環(Phase-Locked Loop，PLL)的解調信號的相位抖動，如圖2所示。隨后又在2019年發表的論文[11]中驗證之前的猜想，分析了附加于頻率調諧電壓上的閃頻噪聲會影響零偏不穩定性，并且交叉耦合到輸出的傳遞函數，比輸入角速率到輸出的傳遞函數在驅動頻率處具有更陡峭的相位梯度，進一步通過實驗證明DAC施加于頻率調諧電壓上的1/f噪聲使交叉耦合信號在驅動頻率附近產生噪聲邊帶，從而主導了零偏不穩定性。

圖2 博世公司提出的閉環控制下陀螺零偏不穩定性的可能來源Fig.2 Possible sources of gyro bias instability under closed-loop control proposed by Bosch Company

圖3 加州大學歐文分校由不同噪聲源估計的ARW極限Fig.3 Estimated ARW limit of the gyroscope due to different noise sources

2 MEMS陀螺噪聲模型研究進展

進行噪聲分析的重要手段是噪聲模型的建立，將各器件或者模塊的噪聲傳遞過程連結起來可以得到整個系統的噪聲模型，通過對諧振器系統噪聲模型的分析，可以得出系統的噪聲特性。但是為了實現高精度測量，測控系統變得復雜多樣，噪聲源增多，特別是在模態匹配、閉環檢測形成的多閉環系統中，對各噪聲源的分析較為困難，不同類型的噪聲源經過諧振器會影響信號的幅度和相位。

為了使不同的實際噪聲源在統一的模型框架下進行傳遞，A.Hajimiri將對象系統分解為幅度和相位兩個子系統，引入了沖擊敏感函數(Impact Sensitive Function，ISF)來描述不同時刻輸入的脈沖電流噪聲對輸出電壓幅值和相位波動的影響。隨后，D.Ham 與A.Hajimiri[13]一起提出以虛擬阻尼作為相位噪聲的度量，把振蕩器相位噪聲理論和諧振器理論放在相同的框架內。南京理工大學趙健等[14]將噪聲分解的方法應用于MEMS諧振器中，將加性噪聲源和乘性噪聲源通過諧振器分解的調制矩陣得到幅度噪聲和相位噪聲，分解后的噪聲源通過同樣被分解的幅度和相位子系統得到幅度抖動和相位抖動，并對噪聲分解模型進行仿真與實驗驗證。2018年B.Hong與A.Hajimiri[15]發表的論文中完善了包含振幅衰減和相位轉化的非線性振幅擾動和相位擾動表達式。分解后的系統相比原系統，階數得以降低，對象足夠簡化，單獨分析噪聲對信號幅度和相位的影響，分解原理如下：

(5)

(6)

(7)

(8)

式中，τ為沖激時刻，指數衰減函數為

(9)

(10)

式中，Km為在諧振頻率處諧振器的增益，u(t)表示載波信號。

式(9)和式(10)可以看作噪聲響應在理想振幅矢量的切向(振幅變化方向) 和法向 (相位變化方向) 的投影，從中可以得到分解后諧振器幅度調制和相位調制子系統的傳遞函數。由此，可以定義一個調制矩陣M，用來將完整模型中的加性噪聲和乘性噪聲分解到相位調制和幅度調制子系統中，得到的相位調制及幅度調制噪聲，施加在分解后的傳遞函數上，最終得出諧振器系統幅度和相位的噪聲響應，過程如圖4所示。基于以上理論，將MEMS陀螺的噪聲建模劃分為相位噪聲模型與幅度噪聲模型的構建。

(a) 諧振器復平面的噪聲響應

(b) 分解的諧振器噪聲傳遞過程圖4 相位與幅度噪聲分解過程Fig.4 Decomposition process of phase and amplitude noise

2.1 相位噪聲模型研究進展

諧振器系統中的噪聲源會引起諧振器頻率或相位抖動，產生相位噪聲。建立相位噪聲模型，分析相位噪聲理論上對陀螺零偏輸出的影響，在傳感器設計階段具有十分重要的意義。針對不同的諧振器類型，先后提出線性時不變(Linear Time-invariant，LTI)模型、線性時變(Linear Time-Varying，LTV)模型以及非線性相位噪聲模型。

2.1.1 傳統振蕩器相位噪聲模型發展過程

最早在1966年，D.B.Leeson[16]提出了基于線性反饋系統的線性時不變相位噪聲模型，如圖5所示，構建了從放大器輸入噪聲功率譜密度到輸出相位噪聲的傳遞過程，稱為Leeson公式，其表達式為

圖5 Leeson相位噪聲模型Fig.5 Leeson phase noise model

(11)

式中，F為放大器噪聲系數，Ps為載波功率，fc為熱噪聲與1/f噪聲轉折頻率，f0為諧振頻率，QL為有載品質因數，是表征振蕩器相位噪聲指標的參數。

Leeson公式作為LTI模型的基礎，不斷有人對其進行引用及補充。1996年B.Razavi[17]研究了噪聲源被帶有振蕩器的反饋系統整形后輸出噪聲功率譜密度的過程，重新定義了有載品質因數，并且分析了三種噪聲的特性，即加性噪聲、低頻乘性噪聲、高頻乘性噪聲，計算的環形振蕩器相位噪聲的理論仿真值和測量值誤差不超過5dB/Hz。但是基于LTI假設的模型不能解釋相位譜中的閃頻噪聲、1/f3噪聲，并且未考慮噪聲調幅到調相的變換過程，還包含經驗參數，幾乎無法對指定振蕩器噪聲進行準確的預測。

為了彌補線性時不變相位噪聲模型的缺陷，A.Hajimiri等[19]T.H.Lee等[19]提出了振蕩器的線性時變相位噪聲模型，利用ISF推導了環形振蕩器在給定的總功率損耗與振蕩頻率下抖動和相位噪聲的閉環表達式。研究發現輸出噪聲功率譜密度由各部分噪聲在振蕩頻率整數倍附近的相位噪聲之和給出，并證明了相位譜中的閃爍頻率噪聲是由電路中非對稱因素引起的。LTV模型預測實際相位噪聲需要確定沖擊敏感函數，但 ISF并沒有直接與振蕩器的電路物理參數相關聯，限制了該模型在電路設計中的應用。2000年，A.Demir[20]對線性時變模型進行改進，將噪聲擾動引入振蕩器的微分方程中，采用Floquet理論得到振蕩器的周期穩態解，并將相位噪聲視作相位偏移對周期穩態解的調制，得到在頻偏處的單邊帶功率譜密度。之后他又提出冪律譜噪聲模型[21]，使用各種符合冪律譜函數的噪聲分量之和來表征振蕩器信號的相位起伏譜密度。2010年，M.Q.Lee[22]根據閉環增益參數對反饋式振蕩器的穩定性與相位噪聲進行了研究。將 1/f噪聲視為直流附近的擾動對器件參數的調制，利用 Kurokawa方法分析1/f噪聲到相位噪聲的變換。

2.1.2 非線性相位噪聲模型發展過程

無論對于LTI模型還是LTV模型，鑒于CMOS振蕩器的應用場合，幅度抖動對頻率的耦合作用均作為被忽略的因素處理。對于MEMS振蕩器，由于非線性剛度的存在，幅度與頻率之間存在一個不可被忽略的耦合路徑，因此上述模型均無法直接應用于MEMS振蕩器。密歇根大學S. Lee等[23]研究發現MEMS諧振器中振幅-剛度耦合(Amplitude-Stiffness，A-S)效應會導致額外的1/f3相位噪聲，產生的1/f3噪聲與低于臨界振幅的振幅無關。為了探究非線性剛度下低頻域相位噪聲產生機制，研究人員相繼提出新的相位噪聲模型。

2010年，新加坡國立大學賀林[24]等人提出了狀態空間相位噪聲模型，將 LTV 模型與 A-S 效應相結合，使用自動幅度控制回路(Automatic Amplitude Control Loop，AAC)避免軌道擾動被積分產生漂移，如圖6(a)所示。將位移傳感器檢測到的振蕩幅值與預設值進行比較，它們的差值被送入AAC環路濾波器L(s)，以產生增益擾動信號，得到相位噪聲的封閉解。其中，AAC引入的1/f噪聲通過A-S效應產生1/f3相位噪聲。2011年，美國Draper實驗室建立了閉環下諧振器噪聲和電路噪聲以及幅度頻率耦合導致的頻率噪聲到輸出相位噪聲功率譜密度的傳遞過程[25]，并且額外分析了MEMS諧振器系統的參數調制的影響，如圖6(b)所示。參數抖動由振幅噪聲、電壓源擾動和溫度等因素導致，不僅使上述三種噪聲分量出現額外的相位噪聲，還導致加性噪聲電壓和相位之間的直接耦合使閃頻噪聲在相位噪聲譜中產生1/f3噪聲。研究還發現，電路非線性使近載波相位噪聲顯著增加，且由于1/f到諧振器的非線性映射，拐角頻率會降低到1/10，如果再加入諧振器非線性，相位噪聲會進一步增加。2013年，南京理工大學石然[26]對傳統 LTI 模型進行修正并考慮A-S效應引起的額外相位噪聲，如圖6(c)所示。他分析了振蕩器中自動增益控制(Automatic Gain Control，AGC)電路對低頻范圍內相位噪聲(1/f3相位噪聲和1/f5相位噪聲)的影響，指出AGC噪聲與跨阻放大器輸出電壓信號相乘會導致噪聲頻譜的搬移，產生1/f3與1/f5相位噪聲，在滿足帶寬條件下，調整驅動振幅和Q值可以有效降低相位噪聲。將實驗結果與噪聲模型預測對比，白相位噪聲和1/f5相位噪聲的測試數據比模型預測值低約10dB。與之前的模型相比，相位噪聲模型與實驗結果更加吻合。2014年，D.K. Agrawal等[27]在其發表的論文中更全面地分析了來自機械結構和電路模塊非線性效應引起的相位噪聲，研究發現靠近載波頻率的相位噪聲受非線性影響非常嚴重。另外，引入了擴散系數作為定性參數來量化振蕩器中的相位噪聲，擴散系數與剛度硬化系數和剛度軟化系數成比例，可以通過調節電剛度減小非線性，來找到最優擴散系數，但是在噪聲模型中沒有考慮由非線性導致的1/f的轉換。2019年，M.Bonnin等[28]研究了有色噪聲對非線性振蕩器中相位噪聲的影響，將受有色噪聲影響的非線性系統，轉換為受高斯白噪聲影響的等效系統，對變換系統的相位偏差和振幅偏差進行了描述，其中系統動力學僅用相位變量來描述，推導了一個簡化的相位模型來分析和表征相位噪聲，實現了更精準的預測。2021年，南京理工大學劉夢祥等[29]提出了包括AGC電路和頻率讀出電路在內的全相位噪聲系統模型，如圖6(d)所示。結合電路仿真軟件模擬晶體管噪聲加入到仿真模型進行仿真，揭示調頻陀螺儀中所有不同的物理噪聲源，并量化它們的權重，在高頻域量化噪聲占主導，在低頻域結構中熱噪聲和AGC噪聲共同影響預測的性能，測試的零偏不穩定性為1.4(°)/h，預測的零偏不穩定性為1.1(°)/h，相位噪聲模型為陀螺儀系統設計和CMOS電路設計提供了定量的指導。

(a) 狀態空間形式的相位噪聲模型

(b) Draper實驗室諧振器相位噪聲閉環傳遞

(c) 帶有AGC的諧振器相位噪聲傳遞過程

(d) FM陀螺的相位噪聲模型圖6 非線性相位噪聲模型Fig.6 Nonlinear phase noise model

2.2 幅度噪聲模型研究進展

MEMS陀螺的閉環驅動具有自動幅度控制環路以確保恒幅振蕩，所以驅動軸的振幅穩定性相對較好，驅動信號對解調信號的噪聲貢獻一般可以忽略，常用的幅度噪聲模型主要是針對檢測軸諧振系統建立。由于FPGA中的調制和解調模塊使得電路的閃頻噪聲幾乎不影響檢測輸出，陀螺儀帶寬中的電路噪聲可視為白噪聲。在力平衡閉環檢測下，推導出諧振器、測控電路各部分傳遞函數和角速率輸出處各噪聲源的頻譜表達式，而計算出角度隨機游走性能指標。這樣的理論分析方法還能反映單個噪聲源對輸出噪聲等效率的貢獻，分析隨著陀螺結構和電路參數變化的不同趨勢，量化這些噪聲對輸出端噪聲性能的影響，能夠對優化實際電路提供參考。

(a) 加州大學洛杉磯分校提出的力平衡噪聲模型

(b) 南京理工大學提出的開環檢測噪聲模型

(c) 東南大學提出的噪聲模型

(d) 國防科技大學提出的嵌套環陀螺噪聲模型

(e) 蘇州大學提出的基于EAM檢測的噪聲模型圖7 各種幅度噪聲模型Fig.7 Various amplitude noise models

幅度噪聲模型的構建過程基本是針對力平衡閉環，在環路不同位置加入實際噪聲源，使模型預測效果更加貼近測試結果，如表1所示。構建噪聲模型一方面可以研究陀螺結構以及電路參數，如驅動頻率、驅動振幅、電路增益等對于輸出噪聲等效角速率的影響；一方面可以量化不同噪聲源對于輸出噪聲等效角速率的貢獻，從而指導設計，提高陀螺噪聲性能。

表1 各幅度噪聲模型預測效果對比Tab.1 Experimental performance index of each amplitude noise model

3 噪聲模型總結及展望

綜上所述，近年來隨著MEMS陀螺精度的不斷提高，對噪聲性能的要求也逐步提升，噪聲模型的構建變得愈加重要。相位噪聲模型從LTI模型到考慮非線性因素的模型，已經能夠很好地解釋各種低頻相位噪聲的產生機理，并對相位噪聲進行準確預測，但是這些相位噪聲模型主要針對以頻率為輸出的諧振器，應用于指定的環路，缺少相對統一的方法探明相位噪聲與陀螺性能指標的關系。對于主流的調幅陀螺，由于相位噪聲對信號幅度耦合作用，以及解調過程相位噪聲對解調輸出的影響效果尚不清晰，目前并沒有一個系統化的相位噪聲模型來完整地解釋相位噪聲對零偏輸出的影響。幅度噪聲模型雖然基于諧振器系統各部分傳遞函數，搭建各輸入噪聲與輸出噪聲等效角速率的數學關系，從中得到角度隨機游走影響因素，并能夠通過仿真及實驗進行驗證。但是幅度噪聲模型對噪聲傳遞過程進行了簡化，僅以陀螺環路中的白噪聲為研究對象，缺少對零偏不穩定性噪聲模型的建立。

針對這些問題，本文認為需要從以下兩個方面對噪聲模型進行改進。

1)通過建立相位噪聲模型探究相位噪聲對MEMS調幅陀螺角速率輸出的影響，并建立相位噪聲模型與陀螺性能之間的聯系。

2)深入對MEMS陀螺零偏不穩定性來源的研究，并探究閃頻噪聲在陀螺系統傳遞過程中的機理。通過對零偏不穩定性和閃頻噪聲特性的研究，搭建一個完整的幅度噪聲模型，以更好地理解陀螺系統中幅度噪聲的產生。

建立完整的噪聲模型不僅能夠量化各物理噪聲源對MEMS陀螺性能指標的實際貢獻，還能優化陀螺結構及電路設計，使陀螺分辨率和精度得到大幅提高。