一種八質量MEMS陀螺模態頻率分析方法*

李毅軒，鄭雄斌，姜 波

(南京理工大學 機械工程學院·南京·210094)

0 引 言

微機電系統(Micro-Electro-Mechanical System，MEMS)陀螺是一種利用科氏效應(Coriolis Effect)測量慣性空間中載體的旋轉角速度或角度的傳感器。它具有體積小、質量小、功耗低、壽命長、可批量生產等突出優點，滿足現代慣導系統對高精度小型化慣性器件需求，因此被廣泛應用于消費電子產品、車輛導航、航空航天和制導武器等領域。MEMS陀螺按結構形式和敏感角速度方式可以分為兩類。第一類是集總質量振動陀螺，以音叉陀螺[1-2]為代表，其諧振結構中有明確區分的兩種構件，即提供慣性的質量塊和提供剛度的柔性曲梁。這類陀螺的優勢是具有較大的敏感質量和驅動位移，能夠實現較高的靈敏度。第二類是固體波動陀螺，這是一種連續分布質量陀螺，以環式陀螺[3-12]為代表，其諧振結構中的構件同時提供敏感質量和彈性剛度。工作原理是基于旋轉軸對稱結構彈性波的慣性效應，即由于科氏力的作用諧振結構振型角隨輸入角速度產生繞轉動軸的緩慢進動，利用該特性可以實現旋轉角速度或角度的檢測。該類陀螺因其軸對稱結構具有振型和頻率一致的工作模態，有利于實現模態匹配，此外還具有良好的抗振性和較低的溫度敏感性。美國波音公司和噴氣推進實驗室報道了一款具有近導航級精度的MEMS多環陀螺[13]，揭示了軸對稱結構陀螺的巨大潛力。

南京理工大學[14]研制了一款全對稱結構的八質量MEMS陀螺，其諧振結構由8個相同的三角形質量塊沿圓周中心對稱分布，通過折疊梁組相互連接形成一個連續的整體。工作模態為兩個類似于MEMS環形陀螺的n=2模態，且夾角為45°。這種新型陀螺結構設計同時結合了集總質量陀螺的大敏感質量和固體波動陀螺旋轉對稱的最佳特性，具有實現高性能MEMS陀螺的潛力。

由于八質量MEMS陀螺結構較為復雜，在迭代設計過程中采用有限元仿真分析耗時費力，為應對這種情況，本文基于八質量MEMS陀螺的結構以及工作模態振型的特點，采用拉格朗日多自由度動力學方程，建立一個適用于計算八質量MEMS陀螺工作模態頻率的數學模型，來提高陀螺設計的效率。

1 八質量MEMS陀螺的等效模型

八質量MEMS陀螺的諧振子可以拆分為如下部件，如圖1所示，8個三角形質量塊沿圓周旋轉對稱分布，通過內部解耦梁組和外部解耦梁組分別與中心錨點和8個外部錨點連接，相鄰三角形質量塊通過連接梁相互連接。內部解耦梁組由T形結構，以及4組易于沿徑向方向運動的解耦折疊梁(以下簡稱為徑向解耦梁)和2組易于沿周向方向運動的解耦折疊梁(以下簡稱為周向解耦梁)組成。其中T形結構具有隔離徑向解耦梁和周向解耦梁相互影響的作用，確保三角形質量塊只沿徑向或者周向運動。同理，外部解耦梁組也有類似的組成部件，其中T形結構由梳齒電極結構替代。

圖1 八質量MEMS陀螺的諧振子及其組成部件Fig.1 The components of eight-mass MEMS gyroscope resonator

基于以上所述的八質量MEMS陀螺的諧振子結構形式的特點，可以將其簡化為如圖2所示的質量-彈簧等效模型。圖中主要顯示八質量MEMS陀螺的1/8諧振子的等效模型，mT為T形結構的質量，mtri為三角形質量塊的質量，melec為梳齒電極結構的質量，kr為徑向解耦梁的剛度，kc為周向解耦梁的剛度，ko為連接梁的剛度，在正八邊形結構中ko與周向運動的夾角為22.5°。

圖2 八質量MEMS陀螺的等效模型(1/8諧振子)Fig.2 The equivalent model of eight-mass MEMS gyroscope (1/8 of resonator)

2 八質量MEMS陀螺模態頻率分析模型的建立

基于圖2所示的八質量MEMS陀螺的等效模型，采用拉格朗日動力學方程建立其工作模態振型和頻率計算的數學模型。如圖1所示，以0°方位的1/8的八質量諧振子為基準，按逆時針順序從1～8編號，然后分別提取其徑向位移xri和周向位移xci作為廣義運動坐標，i=1，2，…，8。三角形質量塊和梳齒電極結構提供的徑向運動方向的質量mri(mri=mtrii+meleci)，周向運動方向的質量mci(mci=mtrii+mTi)則由三角形質量塊和T形結構提供。8組徑向解耦梁提供的剛度定義為kri，4組周向解耦梁提供的剛度定義為kci，連接梁處的剛度定義如圖3所示，korij代表垂直于連接梁的剛度分量，kocij代表平行于連接梁的剛度，定義ij=12，23，34，…，78，81，θ值為22.5°。

圖3 連接梁處的剛度分布Fig.3 The stiffness distribution at the connecting beam

基于上述八質量MEMS陀螺的等效模型參數的定義，系統動能T的表達式為

(1)

徑向解耦梁和周向解耦梁產生的勢能Vrc的表達式為

(2)

連接梁處產生的勢能Vo表達式為

(ij=12,23,34,…,78,81)

(3)

則總勢能V=Vrc+Vo

為簡化之后建立的工作模態頻率分析數學模型，考慮到八質量MEMS陀螺的兩個工作模態的振型和頻率完全相同，因此只需針對性地建立描述其中一個工作模態振型的運動方程。八質量MEMS陀螺的工作模態振型如圖4所示。

(a) 工作模態A (b) 工作模態B圖4 八質量MEMS陀螺的工作模態Fig.4 The operation modes of eight-mass MEMS gyroscope

從圖4工作模態B的振型特點可知，三角形質量塊主要有兩種運動方式：一是與梳齒電極結構沿徑向方向運動，二是與T形結構沿周向方向運動，且相鄰的兩個三角形質量塊只存在沿徑向或者沿周向一種運動方式。故只需提取奇(偶)數編號的三角形質量塊的徑(周)向位移xr2n-1(xc2n)，徑(周)向質量mr2n-1(mc2n)，徑(周)向剛度kr2n-1(kc2n)，n=1，2，3，4，則式(1)、式(2)和式(3)可以簡化為

(4)

(5)

(6)

拉格朗日動力學方程的一般表達式為

(7)

對于自由振動的八質量諧振子，阻尼項D暫不考慮，外力項F=0，則式(7)可以簡化為

(8)

將簡化后的動能T和勢能V代入式(8)可以得到如下表達式

(9)

式中，

(10)

(11)

通過求解質量矩陣M和剛度矩陣K所組成的行列式

|K-(2πf)2M|=0

(12)

得到8個特征頻率值fi。為識別所求特征頻率是否為工作模態頻率，通過逆推法將每個特征頻率fi代入圖5所示的流程進行驗證。

圖5 工作模態頻率識別流程Fig.5 The identification process of the operation mode frequency

基于上述頻率分析建模路線，同理可以針對性地建立八質量MEMS陀螺其他平面模態的頻率理論計算模型。靠近八質量MEMS陀螺工作模態的主要平面模態有：(a)轉動模態，(b)第一類平動模態，(c)第二類平動模態，(d)全徑向差分運動模態，其對應的模態形狀以及三角形質量塊的運動方式如圖6所示。這4種平面模態被稱為工作模態的干擾模態，在設計過程需要拉開工作模態頻率與干擾模態頻率的頻差，避免模態之間的耦合。

(a) 轉動模態

(b) 第一類平動模態

(c) 第二類平動模態

(d) 全徑向差分運動模態圖6 八質量MEMS陀螺的平面干擾模態Fig.6 The in-plane disturbing modes of eight-mass MEMS gyroscope

3 八質量MEMS陀螺模態頻率分析模型的有效性評估

基于文獻[14]所提供的八質量MEMS陀螺的初始參數對所建的模態頻率分析模型進行有效性驗證，參數數據如表1所示，表中徑向解耦梁的剛度、周向解耦梁的剛度和連接梁的剛度可以通過圖7中對應梁的尺寸參數理論計算獲取[15]。

表1 八質量MEMS陀螺初始參數Tab.1 The initial parameters of eight-mass MEMS gyroscope

(a) 徑向解耦梁的結構參數

(b) 周向解耦梁的結構參數

(c) 連接梁的結構參數圖7 梁的尺寸參數(單位：μm)Fig.7 The size parameters of the beams (unit：μm)

基于表1中的數據，采用所建立數學模型計算出八質量MEMS陀螺的工作模態頻率以及平面模態頻率。同時為驗證結果的可靠性，對八質量MEMS陀螺進行有限元建模仿真計算，表2列出了理論計算頻率與有限元仿真計算頻率的結果。經過對比，理論計算出的工作頻率與仿真計算的頻率偏差為12.8%，對于其他平面模態，頻率偏差在13.6%以內，說明該模態頻率分析數學模型可以得到較為準確的計算結果。

表2 理論計算頻率與有限元仿真計算頻率的結果Tab.2 The frequency calculation results of theory and FEM

4 結 論

本文采用拉格朗日動力學方程針對性地建立了一個分析八質量MEMS陀螺的工作模態頻率的解析模型，并將理論計算結果與有限元仿真結果進行對比，發現理論計算出的工作頻率與仿真計算的頻率偏差為12.8%，對于其他平面模態，頻率偏差在13.6%以內，證明了所建數學模型的可靠性。在八質量MEMS陀螺的研究設計中，該數學模型能降低多次迭代所耗費的時間，為準確快速獲得工作模態目標頻率奠定了基礎。