基于整體觀念視域下的單元復(fù)習(xí)教學(xué)探索
——以蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元復(fù)習(xí)教學(xué)為例

江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)新城小學(xué)怡康街分校 牛德芳

一、問題緣起：由一節(jié)課堂實踐引發(fā)的思考

一位教師執(zhí)教了四年級下學(xué)期“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的單元復(fù)習(xí)課，以下是這位教師的教學(xué)整體流程：

環(huán)節(jié)一：以復(fù)習(xí)單的形式，同伴交流，闡述“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的單元學(xué)習(xí)內(nèi)容。（教學(xué)目標(biāo)：學(xué)生在相互補充中復(fù)述了本單元的知識點，包括“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的筆算，積的變化規(guī)律，常見的數(shù)量關(guān)系。）

環(huán)節(jié)二：完成三道豎式題（其中一題為兩個乘數(shù)均末尾有0），核對答案，引導(dǎo)學(xué)生將三道題劃分成兩類。[教學(xué)目標(biāo)：復(fù)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法，將豎式計算分類（乘數(shù)末尾有0和無0）]。

環(huán)節(jié)三：

題組訓(xùn)練：

（1）250×8=2000，則25×8=？125×24=？

（2）☆×□=60，則☆×2×□=？☆×2×□×3=？（☆×3）÷（□÷10）=？

（3）根據(jù)長方形的寬與長的成倍變化，求長方形的面積。教學(xué)目標(biāo)：積的變化規(guī)律的綜合應(yīng)用。

環(huán)節(jié)四：復(fù)習(xí)數(shù)量關(guān)系，并通過學(xué)生自編的題目引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)量關(guān)系解決實際問題。

（“單價、數(shù)量、總價”的關(guān)系題目共3題，“速度、路程、時間”的關(guān)系題目共2題；教學(xué)目標(biāo)：用常見的數(shù)量關(guān)系解決實際問題。）

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這個單元的內(nèi)容主要有筆算三位數(shù)乘兩位數(shù)（乘數(shù)末尾有0和無0）、積的變化規(guī)律、常見的數(shù)量關(guān)系等。如果從教師的教學(xué)內(nèi)容和達(dá)成的教學(xué)目標(biāo)及本單元教材呈現(xiàn)的主要內(nèi)容來看，此教師已經(jīng)完成教學(xué)目標(biāo)。但是，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”是整數(shù)乘法的最后一個單元，在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中有著重要作用，教師在單元復(fù)習(xí)課時若只是停留在回顧、鞏固和應(yīng)用這三個環(huán)節(jié)上，那么價值和意義不大，而且只能讓學(xué)生的思維停留在低階層次。筆者認(rèn)為應(yīng)在整數(shù)乘法知識中尋找聯(lián)結(jié)點，構(gòu)建知識脈絡(luò)，基于整體視角，注重體系的建構(gòu)，重視拓展與應(yīng)用，助力結(jié)構(gòu)的完善和遷移。

二、叩問思考：對教材文本的解讀和對學(xué)情的把握

（一）弄清教材編排的特點，抓準(zhǔn)知識邏輯序列

通過梳理不同版本教材（蘇教版、人教版、北師大版和滬教版），筆者發(fā)現(xiàn)各版本教材對于整數(shù)乘法的編排均有不少相同之處。縱向來看，各版本教材中乘法運算的知識布局（無論口算、筆算、估算的計算方式還是實際問題的解決等）具有基于原有經(jīng)驗類比推理學(xué)習(xí)新知的意圖，而且是循序漸進(jìn)、自然延伸的；橫向?qū)Ρ龋叭粩?shù)乘兩位數(shù)”在各版本教材中均是整數(shù)乘法的最后一個階段。以蘇教版為例，小學(xué)階段整數(shù)乘法學(xué)習(xí)內(nèi)容的具體分布：二年級上學(xué)期，內(nèi)容為表內(nèi)乘法；三年級上學(xué)期，內(nèi)容為兩、三位數(shù)乘一位數(shù)；三年級下學(xué)期，內(nèi)容為兩位數(shù)乘兩位數(shù)；四年級下學(xué)期，內(nèi)容為三位數(shù)乘兩位數(shù)。

整數(shù)乘法的知識分散于二至四年級，并且緊密相連。到了五六年級，整數(shù)乘法的知識是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的重要基礎(chǔ)，學(xué)生不僅要掌握整數(shù)乘法的知識內(nèi)容，還要學(xué)會靈活運用這些知識解決問題。所以，對于“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的復(fù)習(xí)課教學(xué)，教師不能只著眼于知識鞏固，而應(yīng)貫穿知識的整體性，幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識體系。

（二）了解學(xué)生現(xiàn)行認(rèn)知起點，準(zhǔn)確定位教學(xué)重點

為了充分了解學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知基礎(chǔ)，精準(zhǔn)把握學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，筆者對學(xué)校四年級4個班的所有學(xué)生進(jìn)行了一個前測調(diào)研（有關(guān)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這個單元），發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)情有如下特點：

1.知識梳理呈現(xiàn)單一，不成系統(tǒng)

學(xué)生對此單元的知識整理主要分為三類：第一類是對知識的再次摘抄型，即將所學(xué)知識進(jìn)行搬運，重新摘抄；第二類是邏輯紊亂型，即將所學(xué)知識謄抄下來，沒有邏輯性；第三類是明晰個性型，即知識整理有獨特的方式，反映出個性化和創(chuàng)造性，但是缺乏關(guān)聯(lián)和融通。學(xué)生對此單元的知識認(rèn)識是零散的、淺顯化的，尚未形成知識鏈。因此，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的復(fù)習(xí)課應(yīng)該幫助學(xué)生深刻理解其本質(zhì)內(nèi)涵，梳理知識體系，動態(tài)理解知識的本質(zhì)屬性。

2.知識應(yīng)用能力較弱，不夠靈活

學(xué)生對此單元的基礎(chǔ)題目掌握較好，而且能夠關(guān)注易錯點；但是對于融合性和拓展性較強(qiáng)的題目，學(xué)生的靈活運用能力和分析問題的能力較低，綜合能力相對較弱。因此，復(fù)習(xí)課應(yīng)該幫助學(xué)生打開思路，創(chuàng)設(shè)更多應(yīng)用知識的學(xué)習(xí)機(jī)會，提高學(xué)生綜合運用知識的能力。

三、統(tǒng)整籌劃：重設(shè)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”復(fù)習(xí)課的目標(biāo)視角

面對教材文本和編排，是否應(yīng)該關(guān)注相關(guān)知識的前沿后伸和類比遷移？面對學(xué)生的學(xué)情，教師教學(xué)時是否要在單元復(fù)習(xí)課上重拾這個單元每課時已經(jīng)多次鞏固的知識點？這節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)視角應(yīng)該落在何處呢？基于上述對教材的剖析和對學(xué)生學(xué)情的定位，筆者認(rèn)為“三位數(shù)乘兩位數(shù)”復(fù)習(xí)課的目標(biāo)視角應(yīng)該重設(shè)，并思考如下：

（一）目標(biāo)視角一：兩種模型的建構(gòu)

1.整數(shù)乘法筆算模型的建構(gòu)

從兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，到兩位數(shù)乘兩位數(shù)，再到三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算學(xué)習(xí)，是類比推理的過程，是自然延伸的合理過程。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生應(yīng)該能夠抽象出三位數(shù)乘三位數(shù)、四位數(shù)乘四位數(shù)筆算的模型結(jié)構(gòu)并能總結(jié)出算法，那么，多位數(shù)乘多位數(shù)的筆算方法也就明晰了。由此來看，整數(shù)乘法筆算模型的建構(gòu)可以培養(yǎng)學(xué)生從整體上把握筆算乘法的內(nèi)涵，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.數(shù)量關(guān)系相關(guān)的通用模型建構(gòu)

“單價、數(shù)量、總價”和“速度、路程、時間”兩個數(shù)量關(guān)系知識點是小學(xué)階段唯一被作為一個課時單獨教學(xué)的。兩個數(shù)量關(guān)系之間雖說沒有必然的聯(lián)系，但有共通之處：其一是兩個數(shù)量關(guān)系均隱含著函數(shù)關(guān)系，一個量不變，第二個量的變化會引起第三個量的變化；其二是這兩類數(shù)量關(guān)系是乘法意義下的常見數(shù)量關(guān)系，若拓展延伸，可以進(jìn)一步豐富此類型的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建成為“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”這樣的乘法意義下的數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)模型。

（二）目標(biāo)視角二：多元表征對整數(shù)乘法筆算的關(guān)聯(lián)理解

在整數(shù)乘法筆算的學(xué)習(xí)過程中，雖然乘數(shù)的數(shù)位不一樣（兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)或三位數(shù)乘兩位數(shù)等），但是，學(xué)生均可以結(jié)合直觀表征（如小棒圖、方格圖和長方形圖，以及點狀圖、面積圖和抽象圖等），借助乘法分配律來理解豎式意義，最后形成數(shù)學(xué)化的形式表示，達(dá)成從直觀運算向算法運算的過渡。復(fù)習(xí)課時，教師可以抓住多元表征在不同類型整數(shù)乘法筆算的使用，關(guān)聯(lián)共同點，提升學(xué)生的思維能力。

（三）目標(biāo)視角三：計算形式的融合及靈活使用

正確運算、理解算理、方法合理是運算能力的核心要素。運算方式的學(xué)習(xí)是為了解決生活場景中遇到的不同問題，學(xué)生在碰到不同的情境時應(yīng)該會選擇口算、估算、筆算等合理的計算方式進(jìn)行計算。所以，本節(jié)復(fù)習(xí)課的站位不應(yīng)該只處于筆算，而應(yīng)該拓展至不同的計算形式，這樣才能讓學(xué)生在提升計算能力的同時，還能有直面思考和擇優(yōu)的機(jī)會。

（四）目標(biāo)視角四：“積的變化規(guī)律”融合于計算和應(yīng)用

作為“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這個單元中的一課時，“積的變化規(guī)律”在復(fù)習(xí)課中的目標(biāo)應(yīng)是關(guān)聯(lián)于本單元的其他知識點。筆者認(rèn)為可以關(guān)注兩點：一是要緊扣豎式計算來總結(jié)積的變化規(guī)律；二是要將其滲透在數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用中。

四、重組實踐：“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元復(fù)習(xí)教學(xué)路徑

基于以上教學(xué)目標(biāo)的重設(shè)，筆者從結(jié)構(gòu)化的視角出發(fā)，對此單元復(fù)習(xí)教學(xué)進(jìn)行復(fù)盤和重組，開展“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的課堂實踐，形成了此類復(fù)習(xí)課教學(xué)的可行性路徑。

（一）縱向梳理：凸顯模型思想的生成，促進(jìn)知識結(jié)構(gòu)的重建

1.整數(shù)乘法筆算模型的建構(gòu)

“豎式”算法是解決計算問題的方法，反映的是人們求簡的思路，以及對其具有的“規(guī)定”特征的理解。學(xué)生回顧兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘兩位數(shù)的知識，打通其關(guān)聯(lián)性，抽象出三位數(shù)乘三位數(shù)和四位數(shù)乘三位數(shù)的模型圖，并梳理出算法。（如圖1）學(xué)生在類比中經(jīng)歷了學(xué)習(xí)的過程，對于整數(shù)乘法的算法和算理會更加明朗，也能從整體上理解筆算的本質(zhì)。

圖1

2.乘法意義下的通用模型建構(gòu)

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這個單元中的兩個重要數(shù)量關(guān)系為“單價、數(shù)量和總價”“速度、時間和路程”，這兩個數(shù)量關(guān)系其實能夠構(gòu)建出相同的結(jié)構(gòu)體系。課上，教師可以讓學(xué)生在解決問題的過程中感受兩種數(shù)量之間的關(guān)系，并有層次地建構(gòu)出乘法意義下的與數(shù)量關(guān)系相關(guān)的通用模型結(jié)構(gòu)，將“速度”“單價”整合為“每份數(shù)”，將“數(shù)量”和“時間”整合為“份數(shù)”，將“總價”和“路程”整合為“總量”，那么，兩種數(shù)量關(guān)系其實就可以轉(zhuǎn)化為“每份數(shù)、份數(shù)和總量”之間的關(guān)系，學(xué)生在復(fù)習(xí)的過程中就有一個更深入的理解。

（二）聚焦重點：重視多元表征的關(guān)聯(lián)運用，加深對知識本質(zhì)的理解

筆算屬于程序性知識，學(xué)生對筆算的學(xué)習(xí)是形成經(jīng)驗的過程。為了讓學(xué)生理解筆算過程中每一步的意義，教師通常會采用直觀表征的形式強(qiáng)化學(xué)生對意義的理解。在小學(xué)階段每一次整數(shù)乘法筆算學(xué)習(xí)的過程中，教師均將多元表征融入其中，但是究其本質(zhì)，每次學(xué)習(xí)中使用的多元表征都有相關(guān)聯(lián)的地方。如圖2所示（其實每種類型的筆算還可以用點子圖、小棒圖等來進(jìn)行表征，本表格僅以長方形圖的面積來表征）：

圖2

運算能力是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要成分之一，也是學(xué)生理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)過程中不可或缺的關(guān)鍵能力之一。培養(yǎng)學(xué)生運算能力的重點在于理解算理，核心在于根據(jù)不同的問題情境靈活地選擇不同的計算方式。“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這個單元的重點內(nèi)容雖然為筆算，但是，如果把這節(jié)復(fù)習(xí)課提升為整數(shù)乘法復(fù)習(xí)的階層，教學(xué)內(nèi)容就不能局限于筆算了，而是應(yīng)該將其與口算和估算相結(jié)合，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)運算的不同視域，讓學(xué)生在思辨中選擇合適的運算方式。舉個簡單的例子，如圖3所示：

圖3

（三）變式選擇：關(guān)注計算形式的融合，提升學(xué)生運算能力

此題不需要豎式計算算出答案，可以通過估算（判斷積的末尾和根據(jù)積的范圍進(jìn)行判斷），得出正確答案是中間的豎式。

（四）綜合應(yīng)用：完善積的變化規(guī)律認(rèn)識，實現(xiàn)從聯(lián)結(jié)到拓展的思維結(jié)構(gòu)化

積的變化規(guī)律需要合理而有效地使用，才能發(fā)揮其作用。筆者認(rèn)為可以將其歸結(jié)為兩大部分來使用：一種是計算；一種是在解決問題中找尋變量和不變量的函數(shù)關(guān)系。復(fù)習(xí)課時，教師可以幫助學(xué)生提煉出不同的筆算模型，讓學(xué)生加深積的變化規(guī)律在此種情況下使用的印象。

另外，在本單元乘法意義模型下兩種數(shù)量關(guān)系的使用中，若把這種類型的數(shù)量關(guān)系變換成函數(shù)關(guān)系，那么，當(dāng)?shù)谝粋€量不變、第二個量成倍變化時，第三個量也隨之成倍變化，其實，這種變化就可以用積的變化規(guī)律來解釋。由此來看，積的變化規(guī)律除了在常見的運算中使用外，在乘法意義下的數(shù)量關(guān)系中也經(jīng)常被靈活使用。

總的來說，基于整體的“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元復(fù)習(xí)課，應(yīng)該由點到面、由面到體，給予學(xué)生知識學(xué)習(xí)的立體高位，整體把握整數(shù)乘法（包括筆算、口算和估算）的靈活使用；強(qiáng)化整數(shù)乘法筆算的知識屬性以及關(guān)聯(lián)，形成乘法豎式的模型；找尋數(shù)量關(guān)系中的融通之處，建構(gòu)出乘法意義下的數(shù)量關(guān)系模型；探索積的變化規(guī)律的使用范圍，重視在“算”中的使用，也在數(shù)量關(guān)系中尋找變與不變之處，提升學(xué)生的函數(shù)思想意識。