懸臂梁失穩(wěn)時(shí)撓度的非線性近似解

胡志程 羅月娥 王學(xué)文

摘 要：《材料力學(xué)》教材在分析受壓桿件的穩(wěn)定性問題時(shí)通常采用線性化的撓曲線近似微分方程和近似的邊界條件，此方法會(huì)導(dǎo)致壓桿失穩(wěn)時(shí)撓度不能確定的問題。文中以懸臂梁為例分析了導(dǎo)致此問題的原因，然后采用更準(zhǔn)確的邊界條件，求解了包含非線性項(xiàng)的撓曲線近似微分方程。這樣不僅可以得到懸臂梁失穩(wěn)時(shí)的臨界壓力，還可以確定壓桿的撓度、轉(zhuǎn)角，以及軸向位移。

關(guān)鍵詞：懸臂梁;撓曲線微分方程;撓度;轉(zhuǎn)角

中圖分類號(hào)：O343 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：20959699（2023）06000603

在工程結(jié)構(gòu)中，桿件必須滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性要求，才能正常工作。就細(xì)長(zhǎng)受壓桿件而言，穩(wěn)定性問題更加值得關(guān)注。因?yàn)樵诎l(fā)生強(qiáng)度失效之前，壓桿可能已經(jīng)失去其原有的平衡狀態(tài)，產(chǎn)生顯著的彎曲變形，從而失去正常的工作能力[1]。1744年，歐拉研究了軸向受壓桿件的穩(wěn)定性問題，建立了壓桿失穩(wěn)變形的撓曲線微分方程，并給出了其解析解[2]。但是，歐拉給出的解析解用到了橢圓積分，求解過程比較復(fù)雜，因此在教材中沒有介紹此方法。

一般《材料力學(xué)》教材都是采用小角度近似的方法，將撓曲線曲率表達(dá)式中的非線性項(xiàng)略去，從而得到撓曲線的線性近似微分方程。雖然通過求解該方程可以確定臨界壓力，但是不能確定壓桿在各個(gè)位置的撓度。因此，對(duì)壓桿進(jìn)行穩(wěn)定性校核時(shí)，只能對(duì)軸向壓力進(jìn)行校核，無法對(duì)桿件的變形進(jìn)行校核。關(guān)于如何確定撓度這個(gè)問題，已有不少學(xué)者做出了探討。張仲毅[34]分析了細(xì)長(zhǎng)桿件失穩(wěn)變形時(shí)撓度不確定的原因，并給出了兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿最大撓度的一階近似解。陳家駿[5]修正了教材中給出的邊界條件，通過求解撓曲線的線性近似微分方程得到了最大撓度，但是表達(dá)式中的轉(zhuǎn)角仍然無法得到。劉榮剛等[6]使用嚴(yán)格的邊界條件重新定義了理想彈性壓桿的臨界力，同時(shí)也給出了兩端鉸支壓桿的最大撓度。

上 述文獻(xiàn)中都是以兩端鉸支的彈性壓桿為分析對(duì)象，但在工程結(jié)構(gòu)中存在大量的懸臂梁壓桿。例如，千斤頂螺桿就是一個(gè)受壓桿件，可以視為一端固定、另一端自由的懸臂梁。因此，本文以懸臂梁為例來分析壓桿的穩(wěn)定性問題。首先通過介紹教科書中解決壓桿穩(wěn)定性問題的方法，分析撓度不能確定的原因;然后給出包含非線性項(xiàng)的撓曲線微分方程，并采用更精確的邊界條件求解此方程，從而得到壓桿失穩(wěn)時(shí)的臨界壓力、撓度、轉(zhuǎn)角，以及壓桿的軸向位移。文中的分析有助于進(jìn)一步深入理解細(xì)長(zhǎng)壓桿的穩(wěn)定性問題。

1 失穩(wěn)撓度不確定問題的分析

下面以懸臂梁為例，簡(jiǎn)要給出教材中分析壓桿失穩(wěn)的方法，然后分析該方法不能給出曲線撓度的原因。

圖1是教材給出的懸臂梁壓桿發(fā)生失穩(wěn)時(shí)的計(jì)算簡(jiǎn)圖[1]。最初，桿的軸線為直線，長(zhǎng)度為l ，壓力F 平行于軸線施加在桿的自由端。當(dāng)右端作用的壓力達(dá)到臨界壓力Fcr 時(shí)，壓桿發(fā)生微彎變形，并能夠在此狀態(tài)下保持平衡，此時(shí)最大的撓度在自由端，記為δ 。

3 總結(jié)

文中以懸臂梁受壓桿件為例，分析了其穩(wěn)定性問題。基于教科書中介紹的方法分析該問題時(shí)發(fā)現(xiàn)壓桿的撓度不能確定，原因在于：（1）采用了線性近似的撓曲線微分方程;（2）采用的邊界條件不夠精確。針對(duì)這兩個(gè)原因，首先保留撓曲線微分方程中的一階非線性項(xiàng)，然后在求解時(shí)考慮壓桿在彎曲時(shí)會(huì)產(chǎn)生橫向位移，因此給出了精確的邊界條件。通過求解此非線性方程，不僅可以得到懸臂梁在失穩(wěn)時(shí)的臨界壓力，還可以得到撓度、轉(zhuǎn)角，以及壓桿的軸向位移。通過比較，可以看出文中得到的一階非線性近似解具有較高的精確度。讀者也可以自行利用該方法分析其它約束條件下的壓桿穩(wěn)定性問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉鴻文.材料力學(xué)I[M].第6版.北京：高等教育出版社，2017：304311.

[2]納什W A.材料力學(xué)[M].趙志剛，譯.北京：科學(xué)出版社，2002：267268.

[3]張仲毅.細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界撓度確定性的簡(jiǎn)單解釋[J].力學(xué)與實(shí)踐，1992，14（5）：6062.

[4]張仲毅.臨界壓力下壓桿撓度的分析討論[J].力學(xué)與實(shí)踐，1995（4）：7374.

[5]陳家駿.關(guān)于細(xì)長(zhǎng)壓桿穩(wěn)定性問題的討論[J].力學(xué)與實(shí)踐，1997，19（5）：6567.

[6]劉榮剛，邊文鳳，李素超，等.理性彈性壓桿臨界撓度的確定[J].力學(xué)與實(shí)踐，2020，42（4）：508510.

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