基于“試誤論”的初中數學教學策略

劉章全

“試誤論”是美國著名心理學家桑代克提出的人類學習過程理論，他認為人類學習的過程就是一種漸進嘗試錯誤的過程，在學習中與知識無關的錯誤反應逐漸減少，正確的反應逐漸形成，最終，在不斷的出錯和嘗試中知識得以構建。在“冪的乘方”教學中，需要教師重點培養學生的運算能力，為學生數學建模等方面的發展奠定好基礎。教師采取“試誤論”教學思想，能使學生突破自身局限，有助于取得更好的教學效果。

一、加強學情分析，做好教學準備

“冪的乘方”是華師大版數學八年級上冊第12章中的內容，基于《義務教育數學課程標準（2022年版）》中提出的要求，教師要注重從整體上推進教學活動，促使學生獲得結構化的學習體驗。因此在“冪的乘方”教學中，教師應加強學情分析，明確教學目標和重點。

在之前的教學中，學生已經掌握了有理數乘方運算的意義、同底數冪的乘法等基礎知識，為學生學習這節課的內容奠定了基礎。學生有較強的好奇心和求知欲，喜歡探索未知的事物，也樂于自主展開探究，不喜歡“灌輸式”的教學手段。因此在這次的教學中，教師可以采取“試誤論”的教育思想，增強學生在教學中的自主性，促使學生在試誤、糾錯等學習過程中獲得學習能力上的提升，增強學生學習的成就感。基于對學情的認識，將教學目標設置為：

1.數學語言：學生可以通過觀察、歸納等學習活動，總結出“冪的乘方”的運算性質，能夠使用適合的語言符號來表示“冪的乘方”。

2.數學眼光：學生可以使用“冪的乘方”的相關知識靈活運算，并且能夠正確理解每一步運算的意義。

3.數學思維：學生可以經歷完整的“冪的乘方”的探索過程，正確理解冪的意義，在探索中實現從特殊到一般、從具體到抽象的思維過程，掌握探索數學知識的有效方法，提升學習能力。

此外，基于對學情的認識，在這節課的教學中，教師將教學重點設置為：學生可以正確理解“冪的乘方”的法則，并且靈活使用“冪的乘方”知識去解決生活中的簡單問題。由于學生的抽象思維、邏輯思維發展還存在一定限制，因此教學難點為：學生可以靈活使用“冪的乘方”知識去解決生活中的實際問題。如此，在這節課的教學中，教師需要基于“試誤論”思想，注重將“試誤論”滲透學生學習的整個過程中，引起學生對“冪的乘方”探索過程的思考，幫助學生在犯錯、糾錯中真正理解知識形成的過程，進而讓學生更好地突破學習難點，促進學生對知識的靈活運用。

二、創設試誤情境，激發學生的學習興趣

影響學生學習效果的因素有很多，興趣則是關鍵所在?！皟绲某朔健鄙婕暗闹R具有較強的抽象性和邏輯性，如果直接告訴學生結論，讓學生以大量運算的方式來獲得結論，則難以加深學生的印象。教師應創設試誤情境，引發學生對問題的思考。

基于教學內容的特點，教師采取如下方式來創設試誤情境。

教師提出問題：在之前的學習中，我們學習過整數加減乘除的知識，大家回憶一下，如果是兩個整數相乘，那么可以怎樣計算？乘法是什么意思？借助問題能夠有效激活學生的已有知識，促使學生回顧自己的學習經歷。

經過充分的交流、討論，學生獲得了以下認識：乘法實際上就是計算一個數的倍數，4×5就是計算4的5倍是多少，3×0.7就是計算3的0.7倍是多少；乘法實際上也是加法，將相應數量的某個數加在一起得到的結果就是乘法要計算的結果。

經過以上分析，學生對乘法的本質有了深刻的認識。教師繼續提問：有一個正方體的棱長是a3，那么這個正方體的體積是多少？

針對上述問題，教師給予學生充足的時間來分析。學生利用正方體體積計算公式，給出一個計算式子：（a3）3，同時也遇到一個問題：這個式子應該如何計算？

在引起學生質疑之后，教師應給予學生時間思考：剛剛我們回憶了乘法的概念，大家認為應該如何來計算這個式子？

學生思考后，教師應對學生的觀點進行歸納總結，發現學生存在如下認識：有的學生認為這個式子的計算結果是a9，需要底數不變，指數和對應的數字相乘；有的學生認為最終的結果是3a27；認為需要底數相加，指數相乘，也就是（a+a+a）3×3×3，有的學生得到的結論是a6，認為在這個式子的計算中，應該底數不變，指數3和對應的數字相加，也就是3+3=6，因此結果是a6……

在學生說出自己的各種想法之后，教師給學生展示正確的結果：a9，并使學生對中間的推導過程產生好奇心，為學生開展深入探究奠定好基礎。

三、借助試誤手段，傳授基礎知識

在學生產生了錯誤之后，教師應及時引導學生使用多種方式來探索自己錯誤的原因，讓學生正確認識自己的問題。教師要為學生提供試誤手段上的支持，幫助學生展開深入的探索。在“冪的乘方”教學中，學生由于認知有限，在運算方式上會出現較多錯誤的理解，教師應將危機轉化為教育契機，引導學生展開深入探索?；趯W情的了解，教師采取了如下手段引導學生去試誤。

針對學生提出的各種（a3）3結論，教師提出問題：大家給出了各種可能的運算結果，那么如何來驗證自己的想法呢？教師通過提問引導學生結合自身的學習經驗，針對此問題，可以用具體的數字來代替式子中的字母a，看看自己的猜想和真實的結果是否一致。

在學生產生了正確的驗證思路之后，教師應給予學生足夠的時間來進行思考、驗證，讓他們去發現自己的猜想為何會出現錯誤。有的學生認為這個式子的最終結果是a9，從這一猜想出發，學生使用計算器將數字2代入，發現自己的猜想是正確的。有的學生認為正確的結果是a6，同樣通過代入數字的方式，證明了這一猜想是錯誤的，卻不能理解為什么這個結果是錯誤的。

通過代入數字的方式，學生認識到正確的結果是a9，同時引出新的問題：在計算（a3）3這個式子時，是不是要保持底數不變，指數相乘？為了讓學生正確理解其中的原理，教師將學生分成幾個小組，讓學生試著對這個式子進行變形，嘗試用變形的方式鍛煉學生的計算思維。

通過觀察（a3）3這個式子，學生可以結合過去的學習經驗，將這個式子轉化為a3×a3×a3，而在之前的學習中，學生已經掌握了同底數冪的乘法，因此可以對這個式子進行進一步的轉化。首先，計算出a3×a3，可得結果是a （3+3），因此這個式子就可以轉化為a6×a3，繼續運用同底數冪的乘法知識，則可以得到最終的結果是a9，從而讓學生在一步步的推理中得到這個式子的正確結果。

四、開展試誤探究，全面構建內容

在“冪的乘方”教學中，經過上述探究，學生可以認識到如何使用問題拆解的方式來解決問題，但是還沒有建立起關于“冪的乘方”的完整認識。對此，教師可以采取試誤探究的方式，引導學生全面構建內容，加深學生的印象。

教師引導學生總結探索經歷，讓學生說說應當如何計算“冪的乘方”。經過前面的分析，學生認為（a3）3=a9，因此可以得到（an）m=amn，也就是在“冪的乘方”運算過程中，底數保持不變，指數相乘。

對于學生總結的結論，教師繼續提出問題：大家推導出的這一法則是否適用于所有的情況？教師給學生一定的時間，讓學生對問題進行深入的思考。部分學生認為這一法則適合所有的情況，有的學生則表示了質疑。如此，引起了學生新一輪的探索，促使學生展開試錯、糾錯。

教師展示式子：（-xy3z2）3。在了解了式子之后，學生嘗試結合自己所學的知識，采取適合的方式來解決問題。有的學生采取了驗證“冪的乘方”過程中所使用的方法，將這個式子寫成了（-xy3z2）×（-xy3z2）×（-xy3z2），接著再使用分布的方式解決問題，逐步得到最終的結論。有的學生嘗試直接按照推導出的規則來解決問題，也就是按照（an）m=amn的思路，將這個式子寫成（-1）3×（x）3×（y3）3×（z2）3，快速解決了問題。

教師選擇部分學生上講臺介紹自己的解題過程及結果，要求講臺下的學生認真傾聽，如發現講臺上的學生在運算中存在錯誤，要提出改進的方式。

最后，教師引導學生歸納總結探究的過程，讓學生認識到（an）m=amn這一結論適用于所有“冪的乘方”，促使學生建立全面的認識，學會按照從特殊到一般的思路來探索數學問題。

五、設計試誤作業，優化學生的課后體驗

作業是課堂教學的延伸，能夠幫助學生檢驗學習成果。教師通過對學生認知規律的了解，給學生布置試誤作業，促使學生發現自己在認知上的不足，進而強化學生的學習能力。所以，在“冪的乘方”教學中，學生在解題時容易出現以下問題：一是難以從整體角度使用“冪的乘方”運算規則；二是學生在運算過程中經常會出現態度不端正、思維不嚴謹等問題。針對學生的這些問題，教師提供了以下課后訓練。

1.計算式子：（p-q）3×［（q-p）3］2

借助課后作業，能讓學生在解題的過程中形成良好的整體意識，學會從整體上分析“冪的乘方”的運算過程。學生通過仔細觀察式子可以發現，兩個底數是互為相反數的，因此通過改變兩個底數中的一個底數的符號，就可以將這個問題轉化為同底數冪的運算，進而使用更簡便的方式來解題。

2.假設2n+3m-7=0，那么是否能求出5n×6m的值？

初中生對知識的遷移能力較弱，無法較好地將零散的信息整合在一起。在這個問題中，則需要學生將兩個看似不關聯的信息整合在一起，促使學生發現自己在認知框架搭建上的不足，探索使用“冪的乘方”知識靈活解題的有效方法。

在學生完成作業之后，教師可以組織學生開展成果交流展示活動，重點將學生產生的錯誤整合在一起，引導學生討論產生錯誤的原因、糾正錯誤的方法，促使學生在糾錯中掌握解題的方法，提升學生解題的水平。在這個過程中，教師應鼓勵學生大膽質疑，鼓勵學生說出真實想法，利用開放的討論氛圍暴露出學生在認知上的問題。

六、培養學生的反思意識，增強學生的試誤意識

教師應加強對學生反思意識的培養，有助于調動學生的學習積極性，讓學生感受到不斷解決自己錯誤的樂趣，增強試誤意識。

在“冪的乘方”歸納總結環節，教師可以組織學生展開交流討論，并思考如下問題。

1.在這次教學中，你學到了哪些知識？

2.在剛開始探索“冪的乘方”知識時，你認為應該如何解決？你的想法是正確的嗎？為什么會出現錯誤？正確解題的方法是什么？

3.在掌握了“冪的乘方”基本知識之后，在運用知識解題時，你是否出現了錯誤？為什么還會出現錯誤？現在你又有哪些新的認識？

認知是一個不斷完善的過程，學生應對自己在學習中產生的問題進行深入的分析，進而形成良好的糾錯意識。同時，教師也應注重從學習態度、學習表現等角度來評價學生，要培養學生的反思意識，增強學生的糾錯意識。

在初中數學教學中采取“試誤論”的教育思想，有助于增強學生在教學中的自主性，強化學生的學習能力，實現對學生核心素養的有效培養。因此教師應加強對學情的分析，了解學生的認知規律，進而基于學生的數學學習需要選擇適合的教學手段，引導學生暴露出自己的錯誤并探索解題的方法，促進學生的深度學習。

（作者單位：福建省泉州市安溪恒興中學）

編輯：趙文靜