基于遞歸圖和張量分解的故障可診斷性評價方法

呂佳朋, 史賢俊, 聶新華, 秦玉峰, 龍玉峰

(海軍航空大學，山東 煙臺 264001)

0 引言

開展裝備故障診斷作業對提高裝備的使用頻率、降低裝備維護保養費用具有顯著效果。目前對于故障診斷的研究工作主要集中在對故障診斷算法的改進和優化方面[1-2]，人們希望通過改進相關算法獲得更高的故障檢測率和故障隔離率，同時降低故障虛警及漏檢水平。但是，進行故障診斷需要裝備提供一定的信息，如果裝備是一個不能提供任何故障信息的“黑箱”的話，那么再優秀的算法也無法對裝備進行準確的診斷。換言之，只有當故障是能被診斷的，進行故障算法的改進才有意義。當采集到的信息能更真實反映故障的演化情況，能更多地被應用到故障診斷作業的開展中，才能降低故障診斷的難度，從根本上提高裝備的可診斷能力[3]。從這個角度看，研究裝備故障能否被診斷及診斷故障難度有多大，即對裝備進行可診斷性評價，是十分重要的。

目前針對可診斷性評價方面主要有3 種研究 思路：

1)基于定量模型的評價方式。這種方式將目標系統抽象成數學公式，用狀態空間、準靜態模型、差分方程、傳遞函數等表示實際的物理系 統[4-7]，而后利用奇偶關系、能觀能控等矩陣論或控制論的相關理論，對目標系統的可診斷性進行評價分析[8-10]。

2)基于定性模型的評價方式。這種方式普遍采用的方法是D 矩陣，D 矩陣是一種表征故障與測試之間關系的二值矩陣，通過D 矩陣可以清楚發現“哪些故障可以被診斷”等問題。該方法的總體思路是首先通過D 矩陣對故障的可檢測、不可檢測、可隔離、不可隔離的性質進行定性研究，而后通過定量計算的方法，對故障的可診斷性和整個系統的可診斷性進行量化計算。更進一步，在該評價方式的具體實現細節上，目前文獻主要有兩個不同方面：1)D 矩陣中元素表達多樣化，即將原來的二值化D 矩陣變為多值化矩陣，使得矩陣的內涵更豐富，Liu[11]使用整數代替原來D 矩陣中僅有0 元素和1 元素的情況，其中元素的符號表征故障對測試信號的增強或削弱作用，而元素的絕對值表示測試的時滯性。2)D 矩陣獲取方式多樣化，傳統的D矩陣是通過信號流圖或多信號模型獲得的，現在可以通過結構模型、SDG[11]、鍵合圖[12]等方法 獲得。

3)基于數據的評價方法。主要是利用歷史數據的統計規律進行可診斷性問題的評價[13-14]。例如采用主成分分析(PCA)方法將歷史數據分解成為主子空間和殘差子空間，在殘差子空間利用SPE 和T2兩種統計量來對故障可診斷性進行理論分析[15-16]。

但是在實際過程中，思路1 雖然具有很高的理論性，但是該思路所推導的前提是建立在正確獲得目標對象的數學表達式的基礎上，在現實情況中，數學表達式的建立是很困難的，并且還有未建模動態等因素的影響，這使得目前該方法的實際應用范圍大大受限，目前實際應用局限于動量輪[17]等裝備中的一些重要元器件，尚未看到有對整個系統級裝備進行研究的用例。思路2 中采用D 矩陣的方法來對可診斷性進行評價，D 矩陣的構建實質上僅僅考慮了裝備的結構因素，但如文獻[3]中所述，影響可診斷性的因素是多種多樣的，表明僅僅考慮其中的系統構型和配置因素顯然是不完備的，不足以支撐開展故障可診斷性評價工作。思路3 使用統計的方法，對于數據量的要求是十分巨大的，同時目前的文獻只局限于理論分析方面，尚未見到實際應用。

思路3 使用的是裝備的歷史數據來反映裝備的信息。這些信息給了我們啟發：在日常生活中，人們最常用的是通過傳感器來感知裝備的狀態。裝備的模型結構固然會對評價裝備可診斷性產生影響，但是傳感器的信號會為評價可診斷性帶來更多的信息，從信號中可以提取不同狀態下系統的典型特征，以典型特征的差異程度作為系統不同故障狀態的差異程度，可以使得裝備可診斷性的評價更加客觀。

基于上述想法，本文將信號引入到對系統可診斷性的評價，利用信號的特征作為各故障狀態的基本特征。而在特征的提取上，本文采用相空間重構和遞歸圖的方法，這是一種將一維信號二維化(圖形化)[18]的方法，可以借助模式識別的相關理論，對原信號中的混沌性等特征進行提取。最后通過張量分解的方法對特征的相異程度進行度量，作為可檢測性和可隔離性評估的依據。

1 考慮信號的可診斷性數學化表達

文獻[3, 19]指出，可診斷性是系統故障能夠被準確地、有效地識別的程度。在目前的研究中，故障可診斷性包括可檢測性(detectability)和可隔離性(或可分離性)(isolability)[8,19-22]。

從上述定義中可以看出：1)可診斷性是裝備系統診斷能力的一個度量，它不同于故障診斷，故障診斷是對故障進行檢測、隔離的過程，而可診斷性是裝備系統的一個屬性，該屬性揭示了故障被檢測和隔離的難易程度；2)可診斷性作為裝備診斷能力的衡量，實質上衡量的是不同狀態之間的差異程度。

這里的差異程度在可檢測性的概念中是指故障發生后，系統能夠表現出與正常狀態有所差異的能力。在不考慮診斷手段以及診斷算法的條件下，故障狀態下信號所反映的特征和正常狀態下信號所反映出的特征差別越大，則說明故障被檢測的可能性越大，越容易被檢測出來，可檢測性越高。

同理，在可分離性的概念中，差異程度是指對于不同故障，系統所具有的不同表現形式的能力。在兩種不同的故障模式下，信號的特征差別越大，則兩種故障模式的區分性就越大，故障被混淆的可能性就越小。而針對某一種故障模式，同其他所有的故障模式差距都很大時，該故障在診斷時就可以很容易地和其他故障模式區別開來，即該故障的故障可隔離性很大。

可以定義故障的可檢測性：

式中：FDi表示故障模式fi的故障可檢測性；function1 為映射：

故障的可隔離性為

式中：FIij表示故障模式fi和故障模式fj的差異程度；FIi表示故障fi的可隔離性。

2 基于遞歸圖的故障信號圖形化表征及信號特征提取

一般的裝備信號經過一定的時間演化會表現出一種周期遞歸狀態。這種遞歸狀態揭示了系統(信號)回到特定動力學狀態的行為運動。Packed 等首次提出了利用重構非線性時間序列相空間重構的方法來研究這種周期遞歸的非線性動力學特征。Takens 從數學上證明了重構的相空間可以保留原系統的動力學特性，為基于相空間重構的遞歸圖的大規模應用提供了理論依據。

基于相空間重構的遞歸圖，通過二維平面內的黑白點對相空間中的狀態進行可視化，能夠揭示信號的遞歸規律，是一種很好的動力學主流形描述方法。本文將遞歸圖所表現出來的遞歸性作為不同信號所表現出來的基本特征。

根據嵌入維度和延遲時間，對時間長度為N的離散時間序列進行相空間重構，形成如下式所示的行dim列的重構像空間。

計算遞歸圖中遞歸值：

式中：ε為閾值，閾值的大小只能影響到遞歸圖中點的疏密程度，并不能改變圖的結構，在本文中，閾值選取為相空間中任意兩向量中距離最大值的10%；為Heaviside 函數。

通過式(7)，可以獲得一個 階的0-1 二值方陣R，按照“0 用白點表示，1 用黑點表示”的規則，將矩陣R繪制在坐標軸上即可得到遞歸圖。

遞歸圖點的疏密程度以及線結構能夠反映出原始信號的特征，在遞歸圖的基礎上，Marwan 提出了遞歸定量分析(RQA)的方法，該方法確定了遞歸圖中的遞歸率、確定性、層流性以及遞歸熵來描述原始信號的動態特性。由于該方法具備所需數據量少，抗噪聲能力強的特點，而成為一種非線性特征提取的方法，被應用到各種領域。

重構像空間4 種特征參數計算方法及物理含義如表1 所示。

表1 遞歸圖特征指標及物理含義Table 1 Characteristic index of the recursive graph and their definitions in physics

表1 中，lmin和lmax為對角線方向直線的最大、最小長度；vmin和vmax為垂直方向直線的最大、最小長度；p(l)和p(v)分別表示遞歸圖中對角線和垂直方向直線的長度分布，分別定義為

式中：Nl為對角線方向長度為l的直線的條數；Nv為垂直方向長度為v的直線的條數；為長度為的對角線方向以及垂直方向的直線的條數。

3 基于張量分解的可診斷性表示

在第1 節中針對裝備m種故障模式假設的基礎上，進一步假設裝備共有n個測試點，其集合表示為。注意到測試點是為了方便裝備測量信號而預留的電氣上的物理連接口，但這種物理接口和信號并不是一一對應的關系，即從一個物理測試點中可能測量多路信號。假設從測試點中共能測得種不同的信號，則測試點集合可以進一步表示為，這里表示第i個物理測試點的第j種信號和信號是一一對應的關系，部分文獻稱其為虛擬測試點。為敘述方便，在后續行文中若未加說明，則測試點是指虛擬測試點。

圖1 矩陣SD示意圖Fig. 1 SDmatrix

從圖1 中可以看出，該矩陣的行代表了裝備不同故障模式下通過測點測到的所有信號。

對于矩陣SD中任意一個信號，均可以通過第2節所示的方法，通過遞歸圖和遞歸定量分析計算出該信號的特征。所有向量的特征可以構成一個特征張量，將特征張量按照模態1展開，得到

式中：m+1 表示裝備故障模式數目(包含裝備正常狀態)；表示所有測試點的數量(即信號的種類數)；k表示通過遞歸圖所提取的特征的數量。需要說明的是，式(10)中張量的展開從0 開始計算，是為了與前述 表征正常狀態的下標相對應。張量的含義及其展開示意圖如圖2 所示。

根據第1 節的描述，可診斷性實質上是對不同狀態下信號特征差異性大小的度量，則通過 圖2 所示的張量分解過程，可診斷性的評價問題轉變為特征張量中任意兩個2 階張量的差異性度量的問題。

圖2 特征張量X 及展開示意圖Fig. 2 Feature tensorX and its expansion

Ahmad Borzou 等[24]提出一種相關性系數的方法來度量兩個2 階張量的差異性，該方法對數據的大小具有較高的魯棒性，同時能夠消除低樣本數據中的相關性高估問題，因此得到廣泛 應用。

定義張量D為式(10)中任意兩個2 階張量的內積，即

對張量D進行分解：

式中：tr(·)表示跡運算；J表示D的維數；E表示J階單位矩陣。

將式(12)進行拆分：

式中：A1、A2、B1、B2為將A和B按照式(12)和式(13)進行分解得到的分量，A=X(:,:,i) ,X(:,:,i)，B=X(:,:,j) ,X(:,:,j)。

將式(14)中的3 個指標取幾何平均值，作為相似衡量的最終結果。

式(15)描述的實際上是 2 階張量X(:,:,i)和X(:,:,j)之間的相似性，即故障模式fi和故障模式fj之間的相似性，而根據第1 節的論述，可診斷性實質上是對差異性的描述，狀態間的差異性越大，則可診斷性越大。由此對式(15)進行變形，得：

式(16)是對2 階張量 X (:,:,i)和 X (:,:,j)差異性的度量，即狀態fi或fj的差異性。當fi或fj中任意一個狀態對應正常狀態時，則式(16)表達的是故障可檢測性，即式(1)的內涵，當fi或fj中對應的是任意兩種故障模式時，則式(16)表達的是式(2)的內涵，進一步，可通過式(4)求得故障模式i的可隔離性。

4 算法流程設計及實現

按照第2 節和第3 節的原理，本文所提出的一種基于遞歸圖和張量分解的故障可診斷性評價算法流程如下：

步驟1信號提取。對裝備各狀態下各測點信號進行提取，按照圖1 所示構成矩陣SD。

步驟2故障信號的圖形化表示。對SD矩陣中的任意一路信號，構建遞歸圖；

步驟2.1：信號離散化，同時確定各信號的參數嵌入維度dim和延遲時間 ；

步驟2.2：根據嵌入維度和延遲時間，通過 式(5)對原信號進行相空間重構；

步驟2.3：在重構的相空間中，按照式(6)和式(7)確定遞歸值，并根據閾值的大小繪制遞 歸圖。

步驟3特征提取。針對任意一張遞歸圖，按照表1 所述，進行特征值的計算和提取。

步驟4可診斷性評價。

步驟4.1：將所有的信號進行特征提取，則可以構成特征張量X；

步驟4.2：將特征張量X按照模態1 展開，即可得裝備不同狀態下所對應的張量；

步驟4.3：對于任意由特征張量X展開的兩個張量，按照按照式(11)~式(15)進行張量相似性度量；

步驟4.4：根據步驟4.3 的結果，按照式(16)對裝備的可診斷性進行估計。

該算法的示意圖如圖3 所示。

圖3 算法流程示意圖Fig. 3 Flowchart of the algorithm

5 仿真實驗

本文選取一模擬電路來進行仿真，該電路包含運放子電路、濾波子電路、三極管子電路，能充分展現模擬電路中一般故障情況，故用此電路說明本文故障可診斷性評價方法的有效性和優越性。

5.1 實驗說明

該模擬電路的電路圖如圖4 所示，其中電路電源為正弦交流電源。電路共設置4 個測試點，每個測試點輸出一路電壓信號。實驗電路模擬的故障如表2 所示。

圖4 電路圖Fig. 4 Circuit diagram

表2 典型故障模式Table 2 Typical fault modes

使用Multisim 軟件按照表2 所示的模式對電路故障進行仿真，仿真電路圖如圖5 所示，并收集相關信號，對電路系統的可診斷性進行評價。

圖5 電路仿真圖Fig. 5 Simulated circuit diagram

本文選用兩種方法對電路系統的可診斷性進行評價，一種是本文方法(以下簡稱A 方法)，另一種是目前生產實踐中最常用的D 矩陣方法(以下簡稱B 方法，其具體步驟可參見文獻[17, 25])進行對比說明。

5.2 實驗結果

1) A 方法

通過A 方法計算得到的各個狀態之間的可差異性如表3 所示。

表3 各狀態之間差異性Table 3 Difference between states

進一步可以得出各個故障的可檢測性和可隔離性分別如表4、表5 所示。

表4 故障可檢測性Table 4 Fault detectability

表5 故障可隔離性Table 5 Fault isolability

通過表3，可以首先得出定性的結論：所有的故障都可以被檢測和診斷。但是不同故障檢測的難易程度有所差異。通過表4 可知，在表2 所示的所有故障模式中，故障可隔離性能從易到難為：f3＞f2＞f1＞f4。

2)B 方法

根據如圖3 所示的電路圖，可以得出相關D矩陣，如表6 所示。

表6 電路圖D 矩陣Table 6 D matrix of the circuit diagram

通過表6 可以得到：

1)可檢測故障：f3,f2,f1,f4；

2)不可檢測故障：?；

3)可分離故障：?；

4)不可分離故障：{f1,f2} , {f3,f4} 。

根據上述分析可以得出故障及系統的可診斷性度量指標分別如表7、表8 所示。

表7 各故障的可診斷性度量指標Table 7 Diagnosability index of faults

表8 系統可診斷性度量指標Table 8 Diagnosability index of the system

5.3 實驗結果分析

從表3~表7 的結果中看出，兩種方法均認為 4 種故障模式可以被檢測，不需要后期再添加相應的測試接口。但不同的是：B 方法認為存在故障對{f1,f2}和{f3,f4}是不能分離的，即原系統若需要進一步對兩對故障對進行診斷，則需要增加額外的測試；而A 方法認為現有的測點足夠將故障分離開來，同時還給出了4 種故障隔離的難易程度。

5.3.1 關于不可分離故障對的分析討論

故障對{f3,f4}是關于電容C1的故障模式，在本電路中，電容C1和電阻R4構成一個濾波電路，可以對相關噪聲進行濾除，當 被擊穿時，實質上是處于短路狀態，此時測點3 和測點4 不會檢測到信號，而當C1發生泄露，濾波電路的功能會受到影響，但此時依然會有信號通過。表明在兩種故障模式下，通過測點3 和測點4 信號可以對故障{f3,f4}進行區分。兩種故障模式下測點3 的信號如圖6 所示。

圖6 故障模式f3、f4情況下測點3 信號波形Fig. 6 Test point 3 signal under fault modef3andf4

從圖4 中可以看出，當電容C1發生短路故障時，測點3 幾乎檢測不到信號，僅能測試到噪聲，而當電容發生漏電事故時，測點3 仍能檢測到信號波形。

故障對{f1,f2}是關于運放電路的故障模式，在本電路中，電阻R1和R3以及運算放大器OP1構成同向運算放大電路，電阻R1和R3的開路故障，導致的測點2 的信號如圖7 所示。

從圖7 中可以看出，故障模式f2使得運放OP1無法正常工作，導致輸出波形已經完全失真，從信號的角度看，故障f1和f2是完全可分的。

由此可見，如果只考慮裝備的結構，即僅僅從故障是否對測點信號產生影響的角度看，則有的故障是無法被隔離的；如果考慮信號，則實質上不光考慮了故障是否對測點產生了影響，還考慮了產生的什么樣的影響，使得用于故障診斷的信息大大豐富，更有利于說明故障的可診斷性。

5.3.2 關于故障可隔離度的分析

A 方法給出了4 種故障模式的可隔離性大小，通過前述分析可知，故障2 和故障3 分別導致運放OP1和濾波電路完全喪失作用，使得測點2 和測點3的信號發生嚴重畸變，因此該兩種故障是最為容易隔離的故障，而故障1 和故障4 僅僅使得放大器和濾波電路的性能發生變化，故障具有一定的可隔離性。說明A 方法得到的最終故障隔離的難易程度的排序具有一定的可觀性。

6 結論

為了評估裝備的可診斷性，本文提出了一種基于遞歸圖和張量分解的評價方法。之前傳統的可診斷性評價方法僅僅圍繞裝備的結構信息展開，本文在此基礎上，同時考慮了測試點的信號信息，來對故障能否被檢測以及故障檢測的難易程度等問題進行了更科學具體的評價。實驗結果表明，本文的方法能正確反映故障的可檢測性，同時對于故障隔離性能夠進行客觀的量化評價。這種量化的評價結果，為后續工作中使用優化方式進行測試點的選擇和優化配置打下了基礎。