多約束超螺旋滑模變結構制導律

周蒙, 錢惟賢, 任侃

(南京理工大學 電子工程與光電技術學院，江蘇 南京 210094)

0 引言

在現代戰爭中，導彈已經得到廣泛應用。導彈的任務是在末制導階段能夠以較小的脫靶量精確打擊目標；制導律的作用是為導彈自動駕駛儀提供制導指令。一些特殊種類的導彈不僅需要精確打擊目標，而且需要以期望的加速度、落點和落角度約束精確命中目標。滑模變結構控制在滑動模態中對干擾具備不變性，對參數變化也不敏感，因此廣泛應用在制導律設計中。國內外學者針對以上問題，研究了1 階滑模變結構制導律、2 階超螺旋滑模變結構制導律。

傳統的1 階滑模算法主要研究滑模函數和趨近律設計。滑模面包含線性滑模面、終端滑模面、積分滑模面[1]。線性滑模面在距離較遠情況下趨近速度較慢，而終端滑模面和積分滑模面的優勢可以在距離較近情況下快速收斂至原點。傳統的趨近律是基于符號切換函數，但符號函數會引起滑模系統的抖振，目前趨近律多采用飽和函數和雙曲正切切換函數設計趨近律[2]。2 階超螺旋算法相對于1 階滑模算法具有更高的收斂速度，因此得以廣泛應 用[3]。文獻[4]設計了一種基于雙螺旋算法的2 階滑模制導律，并基于地空導彈模型進行了算法推導，開展了仿真驗證。文獻[5]采用雙螺旋算法，結合終端滑模控制理論設計了帶有攻角約束的2 階滑模制導律，并通過仿真驗證了算法的有效性。文獻[6]針對高超聲速飛行器，采用超螺旋算法設計了一種自適應2 階滑模制導律，并利用二次型Lyapunov函數驗證了其穩定性，通過仿真實驗驗證了該算法具有更高的魯棒性。文獻[7]針對攔截高速機動目標時需要滿足以指定攻擊角命中目標的要求，采用超螺旋算法設計了一種2 階滑模制導律，仿真結果表明該算法具有較高的攔截性能和魯棒性。

以上研究所提出的滑模變結構算法并未解決控制受限的問題。控制受限是典型的非線性控制環節，會增加系統的超調、降低控制精度，嚴重時會引起系統的輸出發散[8]，因此控制受限因素有必要考慮。目前，針對控制受限問題，國內外已經出現了一些可以借鑒的成果，例如設計Anti-windup 抗飽和補償控制器[9-10]、應用Nussbaum 型增益技術[11-12]設計Auxiliary System輔助控制系統[13-16]。

文獻[9]針對控制飽和問題，提出了一種基于觀測器的新型Anti-windup 抗飽和補償控制器，通過仿真證明了該控制策略是一種非常有效的方法。文獻[10]考慮全狀態飽和的無人水面艦艇控制模型，設計一種Anti-windup 抗飽和補償器，實現了對受限的補償作用。文獻[11]為解決火箭炮位置伺服系統運行過程中所存在不確定非線性因素的影響，采用動態面濾波法，并結合自適應魯棒控制理論，設計了精確位置控制器，并進行了仿真驗證。文獻[12]為解決航天器安全接近問題，考慮存在外部擾動和輸入受限的情況，并基于滑模控制理論，設計了有限時間收斂的姿態控制器。文獻[13]針對具有輸入飽和輸出受限的純反饋非線性系統，設計了神經網絡自適應控制器，進行了穩定性證明和算法仿真驗證。文獻[14]引用有限時間收斂理論，結合滑模控制理論，研究了控制受限情況下的制導律設計問題，以動能攔截器攔截臨近空間高速機動目標為背景，進行了算法設計和仿真。文獻[15]采用羅德里格斯姿態參數，對剛性航天器姿態跟蹤動力學進行了描述，考慮模型不確定和輸入受限問題，設計了魯棒自適應狀態反饋受限控制器。文獻[16]針對無人機姿態控制問題，考慮了控制輸入飽和與狀態約束的情況，設計了動態輔助系統，控制系統可以在有限時間內穩定，且信號有界。文獻[17]為解決欠驅動船控制受限問題，采用動態輔助系統，結合反步法設計中的虛擬控制律，設計了控制算法，并進行了仿真驗證。受限輔助系統的主要思想為：在輔助系統設計過程中，將執行機構飽和輸出的誤差信號反饋到標準控制器中，從而消除輸入受限的非線性對系統的影響；在運動過程中，系統如果產生飽和，則會導致輔助系統作用，使飽和量的幅值發生衰減，直到控制量進入線性控制區域，從而輔助系統的輸出也隨之衰減為零。

本文引用某導彈彈目相對運動模型，并轉化為標準2 階系統模型。基于連續滑模函數設計1 階滑模制導律，采用雙曲正切切換函數代替符號切換函數；基于改進的超螺旋算法設計2 階超螺旋滑模制導律(STG)；為解決加速度受限帶來的非線性問題，設計基于輔助系統的輔助制導律(ASG)，弱化飽和受限帶來的影響。理論分析和仿真結果驗證了所設計的制導律具有較高的制導精度；ASG 的設計能夠有效解決加速度受限的問題。

1 制導模型

將導彈和目標均視為質點，在慣性坐標系Oxy下建立圖1 所示彈目相對運動關系。圖1 中，q為彈目視線角，v為導彈的運動速度，θ為導彈的彈道傾角，am為導彈的加速度，M為導彈，T為目標。

圖1 彈目相對運動關系Fig. 1 Relative motion between a guided projectile and a target

設R為彈目相對距離，根據圖1 所示的運動關系，可以得到炮彈和目標的運動方程為

將式(1)的第2 個方程兩端求導，可得

根據導彈的飛行動力學方程，有

將am作為自動駕駛儀的制導指令，根據 式(2)和式(3)，可得

式中：

式中：umin< 0，umax> 0 為已知常數。

本文研究的導彈打擊固定目標，采用衛星和慣性組合導航，算法參數通過衛星和慣性制導的組合導航給出的位置和速度參數，結合目標位置參數，通過坐標關系計算獲得導彈和目標在導引坐標系內的視線角和角速度，進而求得導引律在導引周期的值。由于當前衛星和慣性制導的組合導航參數測量值精度高且輸出穩定，能夠滿足導引律和設計指標的要求。

2 滑模制導律設計

本文采用基于趨近律的方法設計1 階滑模制導律(OSMG)，采用改進的超螺旋算法設計 2 階OSMG，采用輔助系統理論設計ASG。設計步驟分為三步：

1)根據導彈式(5)彈目相對運動模型，設計線性滑模面，采用基于趨近律的方法設計 1 階OSMG，并給出Lyapunov 穩定性證明；

2)采用改進的超螺旋算法公式設計基于超螺旋算法的2 階OSMG，并構造Lyapunov 函數進行穩定性證明；

3)利用制導模型信息，采用輔助系統理論設計ASG，構造Lyapunov 函數證明所設計ASG 的漸進穩定性。

2.1 1 階OSMG 設計

設期望的彈目視線角為qc，視線角跟蹤誤差為e=qc-q。設計線性滑模面S1：

式中：c1為正實系數；為視線角跟蹤誤差1 階導數。式(7)求導，并將式(4)代入，可得

采用趨近律如下：

式中：μ1、μ2為制導律設計參數，μ1＞0，μ2＞ 0。

根據式(8)和式(9)可得1 階OSMG

構造如下Lyapunov 函數：

式(11)求導，可得

將式(11)代入式(12)，可得

2.2 2 階STG 設計

針對導彈標準2 階系統模型式(5)，選取如下滑模面S2：

式中：c2為設計參數，滿足c2＞ 0。將式(14)求導，可得

式(5)代入式(15)，可得

為解決系統固有的抖振，采用飽和函數代替符號切換函數，對文獻[19-20]所述的超螺旋算法進行改進，公式如下：

式中：k1、k2為制導律設計參數，滿足k1＞ 0，k2＞ 0 。

根據式(16)和式(17)，可得2 階STG：

針對超螺旋系統的穩定性借助Lyapunov 穩定性定理，需要選擇一個矩陣P構造出Lyapunov 函數。當該函數正定且其導數負定時，則說明該系統具備漸進穩定性。

設超螺旋系統的狀態變量X為

構建Lyapunov 二次型函數V2：

式中：所選擇的矩陣P為

在式(21)中，只要滿足k2＞ 0，矩陣P為正定矩陣，Lyapunov 函數V2為正定矩陣的二次型，則說明V2為正定二次型。超螺旋系統設計參數k1、如果滿足以下條件[21]：

則可以使Lyapunov 函數的導數負定。所設計的 式(18)2 階STG 滿足Lyapunov 穩定性。進一步說明該超螺旋系統的狀態變量X可以在有限時間到達滑模面以及其導數也能在有限時間內收斂至原點。制導律的攻擊角度受限問題還有待解決，因此需要進行ASG 的設計。

2.3 考慮加速度受限的制導律設計

參照文獻[22-23]中的輔助控制器設計方法，利用式(5)模型信息，設計如下ASG，弱化控制限制對制導律的影響。ASG 狀態變量為F，可表示為

由式(23)可知 ASG 的運行分如下兩種 情況：

1)滑模變結構制導律運行正常，沒有超過限制，式(23)表示的ASG 不作用；

2)滑模變結構制導律超過了約束限制，制導律會生成誤差量Δu，則滑模變結構制導律進入超限設定，ASG 運行解算，將滑模變結構制導律限制在設置的限制值范圍。

為證明本文所設計的ASG 的穩定性，構造如下的Lyapunov 函數：

根據式(24)可得

將式(23)代入式(25)，可得

綜合上述3 種制導律，2 階STG 收斂速度比 1 階OSMG 快，2 階超螺旋滑模控制將傳統滑模控制中存在的高頻率切換式由W轉移到，從而使得高頻率的切換項不再影響W，避免了滑模變結構制導律輸出信號出現高頻率的振蕩現象，從而獲得更好的制導品質。因此將2 階STGu2和ASGF結合形成包含多約束的滑模變結構制導律：

設V為表示多約束OSMG 對應系統狀態方程的Lyapunov 函數，令V=V2+V3，由于V2和V3的倒數負定，則V的導數也為負定，表示多約束OSMG 對應系統狀態方程滿足Lyapunov 穩定性。

3 仿真分析

基于式(5)彈目相對運動模型進行 1 階OSMG、2 階STG 和ASG 的仿真。設定導彈的飛行速度v為350 m/s，加速度am閾值設為[-5g，5g]，選取初始條件為：導彈飛行高度3 000 m，目標在地面 2 000 m 處，制導律狀態變量m，q0=arctan(3/2)×π/180°，初始彈道傾角θ0=-15 °。

為驗證2 階雙螺旋算法STG 和ASG 的優勢，設置仿真方案如下：方案1，OSMG；方案2，STG；方案3，STG+ASG。

制導律設計參數選取結果如下：

1)OSMG 設計參數：c1=0.1，μ1=10，μ2=5，μ3=2，qc=-80°；

2)STG 設計參數：c2=0.1，k1=4，k2=10；

3)ASG 設計參數：c3=5，be=2，σ=0.1。

本節通過制導算法仿真，結果如下：圖2 為導彈加速度；圖3 為滑模面誤差；圖4 為滑模面函數的1 階導數；圖5 為導彈彈道曲線；圖6 為導彈的彈道傾角曲線；圖7 為視線角速度；圖8 為ASG的輸入輸出變量。

圖2 導彈加速度Fig. 2 Accelerated speed of the guided projectile

通過制導律1、2 和3 的仿真，圖3 和圖4 說明所設計的制導律均能夠使得滑模面誤差和1 階導數收斂至原點；圖5 說明本文所設計的制導律均能夠使導彈精確打擊2 000 m 處的目標，落點精度均小于1 m；圖6 說明所涉及的制導律均可以使導彈在接近目標時達到-80°彈道傾角，1 階OSMG 落角 偏差為2°，2 階STG 落角偏差為2.6°，均滿足落角要求；圖7 說明制導能夠使導彈保持較小的視線角速度；圖8 說明所設計的ASG 在發生加速度飽和時候開始動作，保證較小的加速度。

圖3 滑模面誤差Fig. 3 Sliding-mode surface error

圖4 滑模函數的1 階導數Fig. 4 Derivative of the sliding-mode surface

圖5 導彈彈道曲線Fig. 5 Trajectory of the guided projectile

圖6 導彈彈道傾角Fig. 6 Trajectory obliquity of the guided projectile

圖7 導彈視線角速度Fig. 7 Line-of-sight velocity of the guided projectile

圖8 輔助系統的輸入和輸出變量Fig. 8 Input and output variables of the auxiliary system

對比設置的3 種仿真方案，制導律性能概括為如下兩點：

1)對比制導律1 和制導律2 的仿真結果，可以發現，如圖3 和圖4 所示，1 階OSMG 在仿真開始9 s 達到收斂，而2 階STG 在仿真開始7 s 就達到收斂，說明STG 能夠提高收斂速度。

2)對比制導律2 和制導律3，通過圖1 可以看出，在仿真開始發生加速度飽和時，ASG 開始作用，減小了加速度指令，并且能夠在同樣的時間內打中目標。

4 結論

本文將彈目相對運動方程轉化為標準的2 階系統模型，方便OSMG 推導設計。基于雙曲正切切換函數，采用線性滑模面設計基于趨近律的1 階OSMG。采用改進的超螺旋算法進行2 階OSMG設計，有效地縮短了滑模狀態變量的收斂時間。通過構造Lyapunov 函數分別對1 階和2 階OSMG 進行穩定性證明。在此基礎上，采用輔助系統理論設計ASG，弱化加速度受限對制導系統的影響，并進行制導律的對比仿真。仿真結果表明，本文提出的自適應STG 能夠在更短的時間內收斂，具備較高的制導精度，滿足落點和落角要求；設計的ASG 在加速度受限的情況下也能夠以期望的落角和落點精確命中目標，滿足制導系統要求。