構(gòu)造偏移函數(shù)在“極值點(diǎn)偏移”問題中的應(yīng)用

王麗萍

(山東省淄博市高青縣第一中學(xué))

極值點(diǎn)偏移問題是高考命題的常考題型,此類問題題型豐富,方法靈活,是考查學(xué)生思維能力的重要載體,且常以壓軸題的形式出現(xiàn),因此也成為學(xué)生解題中的難點(diǎn)問題.極值點(diǎn)偏移問題的求解方法較多,常用的主要有構(gòu)造偏移函數(shù)、比值換元以及對(duì)數(shù)均值不等式等.本文通過分析極值點(diǎn)偏移問題的命題背景,重點(diǎn)歸納總結(jié)構(gòu)造偏移函數(shù)法的本質(zhì),并應(yīng)用其處理2022年高考全國(guó)卷導(dǎo)數(shù)壓軸題,以期幫助學(xué)生提升解題能力.

1 考題展示

題目(2022年全國(guó)甲卷理21)已知函數(shù)f(x)＝.

(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(2)證明:若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,則

x1x2＜1.

本題的命題背景就是極值點(diǎn)偏移,此類問題在近年高考中屢見不鮮,包括2021年高考全國(guó)Ⅰ卷第22題.下面從背景分析、通法研究、考題解答、問題變式這幾個(gè)視角對(duì)命題視角及解答方法進(jìn)行探究.

2 背景分析

設(shè)方程f(x)＝m的兩個(gè)根分別為x1,x2,函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為x0.

如果x1,x2的中點(diǎn)恰好為x0,即,這種情況我們稱極值點(diǎn)無偏移.此類函數(shù)在x＝x0兩側(cè),函數(shù)值變化快慢相同,常見的二次函數(shù)就是無極值點(diǎn)偏移類型的函數(shù).

以此為背景的問題我們稱為極值點(diǎn)偏移問題.

3 通法研究

通過對(duì)背景的分析,我們不難發(fā)現(xiàn)極值點(diǎn)偏移問題有如下幾個(gè)特征:存在x1,x2且x1≠x2,使得f(x1)＝f(x2);x＝x0是函數(shù)的極值點(diǎn),即函數(shù)增減區(qū)間的分界點(diǎn);要證明的是x1＋x2＞2x0,x1＋x2＜等.

對(duì)于證明x1＋x2＞2x0的情況,即2x0－x1＜x2,其中x1＜x0＜x2,所以x2與2x0－x1在同一單調(diào)區(qū)間(x0,＋∞)內(nèi),x2與2x0－x1的大小關(guān)系可通過f(x2)與f(2x0－x1)的大小關(guān)系來判斷.又因?yàn)閒(x1)＝f(x2),從而將問題轉(zhuǎn)化為判斷f(x1)與f(2x0－x1)的關(guān)系,而這兩個(gè)函數(shù)的變量均為x1,故可構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－f(2x0－x),利用該函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)一步判斷.

4 考題解答

下面利用構(gòu)造偏移函數(shù)法解答2022年全國(guó)甲卷理科第21題.

(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,＋∞),求導(dǎo)得

由f′(x)＝0,得x＝1,在(0,1)上,f′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減;在(1,＋∞)上,f′(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增,所以fmin(x)＝f(1)＝e＋1－a.

由f(x)≥0,得e＋1－a≥0,所以a≤e＋1,即a的取值范圍是(－∞,e＋1].

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,則由(1)可知e＋1－a＜0,a＞e＋1.

令0＜x1＜1＜x2,欲證x1x2＜1,即證.即證明.

又因?yàn)閒(x)在區(qū)間(1,＋∞)上單調(diào)遞增,所以只需證明,又f(x2)＝f(x1),所以只需證.

通過考題解答不難發(fā)現(xiàn)處理極值點(diǎn)偏移問題有幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié):1)求函數(shù)的極值點(diǎn);2)對(duì)所證結(jié)論進(jìn)行相應(yīng)變形;3)構(gòu)造偏移函數(shù),將雙變量問題統(tǒng)一為單變量問題,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

5 問題變式

2022年高考全國(guó)甲卷這道導(dǎo)數(shù)題,從命題形式上來看屬于比較規(guī)范的極值點(diǎn)偏移問題,而有些問題表面上看與極值點(diǎn)偏移類型不符,但通過等價(jià)變形,可轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移問題.

變式1已知函數(shù).

(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(2)證明:若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,則

x1x2＜2.

分析本題將第(2)問中x1x2＜1,改為x1x2＜2,2不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),不能機(jī)械地套用通法.如果x1x2＜1,則必有x1x2＜2,所以問題的解答仍從證明x1x2＜1入手.另外還有些題目將其中的極值點(diǎn)參數(shù)化,但解題所用的通法不變.

變式2已知函數(shù),若存在x1,x2且x1≠x2,使得f(x1)＝f(x2),證明:.

分析本題從所證的結(jié)論看,與極值點(diǎn)偏移類型不符,我們先來研究函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得即f′(1)＝0,當(dāng)x＞1時(shí),f′(x)＜0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x＜1 時(shí),f′(x)＞0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.因此,證明,即證,即證,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移問題.

變式3已知函數(shù),x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),且x1＜x2.

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

分析若本題第(2)問也按變式2的方法,先求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),但求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)無法求出,使解題陷入困境.

高考中的極值點(diǎn)偏移問題,雖然較為抽象,綜合性強(qiáng),問題的求解要求學(xué)生具有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力,但是只要我們能準(zhǔn)確識(shí)別條件、抓住轉(zhuǎn)化關(guān)鍵點(diǎn)、明確問題求解的通性通法,即可化難為易,輕松破解.

(完)