關于《復變函數與積分變換》中柯西
——古薩定理這節課的教學反思

王晴雯 岳陽銘

（安陽工學院，河南 安陽 455000）

一、課前準備內容及反思

為了這節課準備得更加充分，教師可以借助超星學習通等網絡教學平臺，提前將本節課所要學習的內容錄制成視頻，視頻需與本節課線下教學相符合，錄制視頻的時間20分鐘左右即可，不需要太長時間，將本節課的重難點給學生過一遍，將課上比較難懂的知識點通過這種方式讓學生提前預習，可以對線下實際教學提前做一些鋪墊與補充，學生也能標注出不太懂的地方，上課與老師進行討論，其實相當于通過查資料、學視頻的方式讓學生自主發現問題，帶著問題去聽課，學生對本節課的印象才會更深，理解得才會更加深刻，也能提高學生學習的積極性[1-2]。

二、教學過程分析及反思

1.問題引入

回顧1：復習上一節所舉的例題，被積函數f(z)=z2在z平面上處處解析，它沿連接起點與終點的任何路徑的積分值相同，也就是說該積分與路徑無關。另一被積函數f(z)=Im(z)在z平面上處處不解析，其積分值依賴于連接起點與終點的路徑。回顧2：積分，曲線C表示圓周：|z-z0|=r>0.其中被積函數在z平面上除去點z0外處處解析，但這個區域不是單連通區域。教學反思：

由于大多數學生對數學并不是很感興趣，復變理論性比較強，為了提高學生學習的積極性在新知講解前設置了這樣兩道問題，幫助學生復習上節課所做的積分習題的同時，讓學生發現問題，產生學習的動力，從而引入新知。不足之處是，在探討這兩個問題積分與路徑無關是與函數解析性有關的時候，可以讓學生自己在練習本上用C-R方程去計算出兩個函數的解析性，從而發現解析函數和積分與路徑無關這樣的關聯，否則教師如果自己直接告訴學生因為這個函數是解析的，所以這個積分與路徑無關，學生沒有自己的探索經歷，接受起來可能會比較被動，這樣即幫助學生復習了第二章的知識，也讓學生知道了數學內容之間是相互聯系的，更加強調重點公式的重要性。并且在學生用C-R方程計算函數解析性的時候可以用學習通隨機點名提問的方式，讓學生說出結果，然后引導學生找出函數解析性與積分路徑無關的關系，這樣既解決了問題，也能與學生實現互動，采用鼓勵式的教學方式，對學生之前的學習的知識掌握情況進行肯定或者鼓勵，既幫助學生復習了之前的知識，也讓學生也更加對今后的學習充滿信心[3-4]。

2.柯西-古薩定理及推導和教學反思

定理3.2（柯西-古薩定理） 若函數f（z）是單連通域D內的解析函數，則f（z）沿D內任一條閉曲線C的積分為零，即

證明：

假設函數f（z）=u+iv在單連通域D內處處解析，f’（z）在D內連續，由第二章2.3節中的（2.9）式知u，v對x，y的偏導數在D內連續.設z=x+iy，C為D內任一條簡單閉曲線.則由（3.5）式，有

記G為C所圍區域，由格林（Green）公式有

由于f(z)=u+iv在D內解析，所以u、v在D內處處都滿足柯西-黎曼方程，即

因此

從而

教學反思：

由圖1可以看出，絲瓜絡纖維的有維管束粉末：白色。經組織離析后觀察，纖維成束或單個散在，壁木化，胞腔極小，兩端斜尖，常斷裂，直徑約17～40 μm。

帶著問題，開門見山引入概念，和學生在師生互動中共同完成概念的推導和學習。首先，對于柯西——古薩這樣的數學定理建議教師可以用自己的語言表達出來，加以舉例或者配圖進行解釋，能讓學生更直白地了解定理重難點，達到深入淺出的教學效果。其次，由于現在教學技術的突飛猛進，使用多媒體已經成為教師的首選，因為多媒體課件色彩豐富，比較生動，簡單明了，可以清晰地表達數學概念、公式或者一些圖像等，但是作為數學課，反思自己的教學過程，有些同學不喜歡公式的推導，只喜歡記住定理和應用，覺得會做題就好，不想知其所以然，所以用課件進行公式的講解學生們抬頭率很低，但是這種注重結果不注重過程的學習態度是不提倡的，所以在柯西——古薩定理這方面推導過程教師還是盡量通過板書進行，這樣一步一步地通過教師的粉筆牽引學生的思路，有利于吸引學生的眼球，因為在書寫的過程中也能夠及時補充知識點并與學生進行互動[5-7]。比如說柯西——古薩定理證明過程中需要用到高數中的格林公式，此時的學生已經有一定的高數基礎，教師就可以提問學生還記不記得格林公式，將格林公式帶入復積分應該如何表達，這一過程可以讓學生到黑板上進行，教師進行點評或者糾錯，學生能夠參與到新知的探索過程中，不是一味地被動地接受新知，從而讓學生對概念和公式有更深刻的體會，讓學生體會到復變不是那么煩瑣和困難，也是可以自行經過努力解決的。在公式講解的過程中經常還有一個問題就是有些同學已經忘記格林公式是什么了，只記得這個名字，為了讓學生更好地參與到教學過程中，配合教學活動，建議講這節課之前讓學生帶著高數書到課堂上來，講到概念用到這個公式的時候讓學生像查字典一樣進行翻閱查找，告訴學生忘記是很正常的，及時復習就可以了，要給予鼓勵式教學，給學生以信心，讓學生感受到復變函數與高等數學聯系密切，并建議學生自己可以在課下抽時間復習與之相關聯的高數知識，這樣有利于復變函數的理解和學習[8-9]。

3.例題講解和教學反思

教學反思：

4.變式訓練和教學反思

教學反思：雖然課件比較直觀方便，但是為了有更好的教學效果，通過本人的實際課堂效果對比，個人覺得利用超星學習通的學習平臺，將這兩道變式訓練發放給學生，這樣可以讓每一位學生都參與到教學過程中，學生將自己的答題過程拍照上傳到平臺，教師可以快速瀏覽提交學生的答題情況，并給予打分，作為課堂表現獎勵，記入平時成績中，這樣可以提高學生的參與度和學生學習的積極性。需要注意的是，這種讓學生參與并且打分的習題難度不宜太大，學生做不對也得不到正反饋，導致學生學習的熱情降低，反而適得其反。在學生答題的時候教師要注意學情，走下講臺，親近學生，觀察學生的學習狀況，對于分心，玩手機或者睡覺的學生給予提醒，對于有問題的同學進行一對一輔導和解答[11]。并且教師打分的時候要注重答題過程，不能只注重結果，要讓學生們了解思路是最重要的，結果是其次的，否則對于一些結果算錯但是過程沒問題的同學也會覺得有些失望，會消耗掉自己上進的熱情。可以將出現問題的學生的答題過程進行投屏，讓同學們進行點評，糾錯，這樣能激發學生們的探索精神，增強課堂的活力，將寫得好的同學的答案可以利用學習通發放給大家，讓大家在課后可以隨時隨地地向優秀同學學習，改進自己的方式和方法，這種碎片化學習，也是當代大學生比較喜歡的一種學習方式。

5.課后小結

5.1 通過本節課的學習，掌握柯西——古薩定理

若函數f(z)是單連通域D內的解析函數，則f(z)沿D內任一條閉曲線C的積分為零，即

5.2 注意定理成立的條件

5.2.1 單連通區域

5.2.2 注意不能反過來用

教學反思：

將本節課學習的知識進行總結，幫助學生梳理本節課的重點難點，為下節課的學習做出鋪墊。首先，在總結完知識點后，為了豐富學生的課后學習活動，其實可以再次利用學習通網絡平臺向學生發放拓展練習，比如可以加入慕課視頻讓學生對本節課的學習再次回顧，結合學生們的生活習慣，利用碎片化的時間可以對所學知識加深印象，因為網絡視頻更加直觀生動，就像學習強國一樣，給學生發放課后視頻學習，同學們利用閑暇時間不知不覺就被熏陶了，這種潛移默化的影響也對學生學習數學很有幫助。其次，對于那些學習成績很好，心有余力的學生，教師也可以利用學習通平臺，布置一些課后拓展題目，讓學生進行挑戰，如果下節課有時間的話，可以讓他同學們進行展示，即肯定了學生的學習成果，也對別的同學也是一種激勵和引導[12]。

結語

在復變函數的教學過程中，同學們經常會覺得這門課重理論輕應用，他們的專業知識似乎與復變有些脫離，這是學生普遍反映的情況。因為數學教師的學科研究背景可能比較單一，偏重數學理論，對于工科知識了解不多，所以授課教師應該多與學生所在專業教師進行學習和探討，將學生經常遇到的專業型的問題與復變課程聯系起來，構造出數學模型，布置一些與學生專業領域相關的應用型問題。同時結合不同工科學生的專業，在復變課堂上增加符合學生專業知識的內容，達到活學活用的教學效果。在復變的教學過程中，為了實現現在社會所需要的應用型人才，一定要慢慢改變教學方式，線上+線下雙管齊下，各種模式相互結合，并與現代化技術與板書相結合，講課要注意節奏，詳略得當，不斷地對自己實際的課堂教學進行反思，創造輕松愉悅的教學氛圍。