基于構造法的高中數學解題思路探索探述

呂成杰

(陜西省西安市西光中學 710043)

隨著新課程改革的不斷深入，在高中數學教學過程中需要提升學生的數學思維能力.因此，在數學解題教學過程中，需要發揮構造法的靈活性以及試探性等優勢，幫助學生構建完善的數學知識體系，拓展學生的創新思維，提高學生的解題效率和準確性.在研究中，需要從構造法的含義以及應用意義出發，通過例題分析，初步掌握構造法在高中數學解題中的應用技巧.同時要總結高中數學解題中構造法的應用策略，充分發揮構造法在數學解題中的積極作用.

1 構造法簡介

構造法指的是學生轉變思考問題的角度以及方式，在解決問題時避開數學障礙從而解決相關問題的方法.在我國高中數學教學過程中，構造法具有重要的應用價值，可以突破傳統數學教學中存在的問題，提高學生的解題效率，保證解題準確度.在傳統數學問題解答過程中，一般是利用正向思維對問題進行思考，而出題人會利用這種正向思維設置一些障礙.構造法解題主要是對相關障礙進行規避，但是在構造法應用過程中，學生需要具備基本的知識結構和洞察力.因此，對構造法的應用也有一定要求.

目前，在高中數學教學過程中對構造法進行應用的主要意義表現為：通過構造法的分析和引入，可以對高中數學問題進行全面講解，利用已知代替未知的解題思路解決在正向思維中無法解決的數學難題，從而有效提高學生的數學解題能力.構造法的有效應用可以大大提升學生的數學解題效率，對保證學生的解題準確度也有積極作用.

2 基于構造法的高中數學解題實例分析

2.1 構造函數例題分析

在高中數學教學過程中，函數以及方程是具有較強聯系的，也是學生在學習時的重點和難點.利用構造函數的方式對相關問題進行解決，可以開發學生的數學思維，提高學生的學習效率.函數問題是將數學問題中的常量以及變量進行聯系，所以可以通過構造函數，利用構造的函數形式對一些復雜問題進行簡單化處理，進而達到快速解決問題的目的.

例1解不等式(y2-2)3-y3+2y2-2y-4>0.

本題在求解時，主要是獲取y的范圍.根據不等式進行移項處理可以獲得(y2-2)3+2(y2-2)>y3+2y從而構造函數f(t)=t3+2t，則不等式轉變為f(y2-2)>f(y)，因為f(t)為增函數，所以y2-2>y，解得y<-1或y>2.

函數作為高中數學教學中重要的知識點之一，也是數學教學的難點.在具體的教學過程中學生除了要掌握相關的知識點之外，還要對解題方式進行全面分析.通過例1的解決可以看出，學生理解問題的本質是保證解題準確性的關鍵.利用構造函數的方法，既可以提高學生的解題水平，也可以拓展學生的解題思維.數學題型種類比較多，在利用構造函數法解題時，學生可能無法查找到最關鍵的信息.因此，一般解題過程會分為多個階段，在哪一個階段構造函數可以發揮最大作用，需要學生根據具體的習題進行深入分析.

2.2 構造方程例題分析

在解決與方程相關的問題時，可以根據題目中的數量關系以及具體的結構構建數學公式.對未知條件以及方程之間的關聯性進行充分考慮，并利用恒等式進行變相處理，可以使抽象的問題具象化.在利用構造方程的方法解決數學問題時，學生需要仔細觀察，深入分析構造方程的具體要點.有些數學問題可能本身與方程之間并沒有密切聯系，因此，學生需要對問題的具體內容進行分析并合理判斷，才能夠正確利用問題中的數量關系完成方程構造，之后再利用方程對數學問題進行有效解決.

例2已知(m-n)2-4(n-x)(x-m)=0，證明：m，n，x為等差數列.

在解題時，可以構造方程式(n-x)t2+(m-n)t+(x-m)=0，并且F(t)=(n-x)t2+(m-n)t+(x-m)，由已知可得F(1)=0， 又方程(n-x)t2+(m-n)t+(x-m)=0的判別式等于零，因此，該方程有兩個相等實數根，均為1.根據韋達定理，可以得m+n=2x，因此m，n，x為等差數列.

從例2中可以看出如果利用正常方式解題會導致解題難度增加，學生需要進行大量計算才能夠獲取結論.在這一過程中容易產生一些錯誤從而影響學生的解題效率和準確性.利用構造方程法解決這個問題，可以將結論作為已知條件進行深入分析，并將其與前一等式進行結合，從而簡化問題，輕松獲取最終的結論.

2.3 其他構造法的應用

在高中數學解題過程中，除了可以構造函數、構造方程之外，還可以從其他角度出發對構造法進行應用.

第一，構造圖形.在高中數學教學過程中，學生學到的知識大多數為理論知識，而加上圖形后，會使問題更加具象.在高中數學問題解決過程中，如果單純利用代數方式對數學問題進行理解和解決，比較片面和抽象，會導致解題難度增大，而且在代數法應用過程中，可能會受計算過程影響出現各種問題.教師若引導幫助學生將代數與幾何圖形進行有效聯系，構建出與學生學習能力相符的數學模型，能使學生更加直觀形象地理解數學知識，有助于學生在解答問題時理清解題思路，獲取解決問題的有效方法.

第二，構造復數.在數學課程中復數是從實數衍生出來的，在對一些比較復雜的實數問題進行解決時，學生可以利用構造復數的形式解決問題，有利于降低學習難度，并且可以大大縮短學生的解題時間.

3 高中數學解題中構造法的應用策略

3.1 構造法解題原則

在高中數學解題過程中，對構造法進行應用具有至關重要的意義.為了充分發揮構造法在高中數學解題中的應用價值，需要對構造法解題原則進行全面分析.學生對構造法進行應用時，可以更加直觀形象地獲取數學問題的本質，縮短學生的思考時間，提高學生的學習效果.在這一過程中教師必須發揮引導作用，幫助學生轉變解題思維，使學生能夠對解題方式和解題過程有更深入地理解.教師提出的問題需要與學生的學習水平一致，以學生為主，通過一些典型例題，幫助學生形成良好的思維習慣.這樣有利于學生獲取解決問題的方式.所以，教師在引導學生利用構造法解決問題時，需要對學生的整體學習水平進行全面把握，這樣才能夠保證構造法講解的有效性，使學生能夠正確理解構造法，提高學生學以致用的能力.為了使學生能夠構造出與問題相似的結構，還可以利用歸納、概括等方式幫助學生開展問題的分析和判斷，從而解決相應的問題.

3.2 基于等量關系的應用

在利用構造法解決高中數學問題時，需要對基于等量關系的應用進行深入分析.等量關系本身是構造法在高中數學問題解決過程中的重要基礎.在實際教學中，教師需要加強對學生的引導，確保學生在解題時可以根據已知條件利用相對的等量關系解決問題.例如學生在解決函數問題時，需要引導學生深入分析題目中蘊含的信息，了解自變量與因變量之間的具體聯系，構建函數關系式，從而解決相應的數學問題.而對高中學生來說，等量關系本身是方程、函數和數列等數學問題在學習過程中的基礎，學生必須掌握題目中不同的已知量和未知量的關系，才能夠解決問題.

例如在高中階段學習一元二次函數、方程和不等式時，教師可以對學生進行引導，出示以下典型例題：某工廠需要建造長方形無蓋儲水池，整個儲水池的容量為4800m3，深度為3米，如果池底每立方米的造價為130元/m2，池壁的造價為110元/m2.如何進行設計才能夠在最大程度上控制水池的總造價，確保總造價最低，最低為多少？

在解決這一數學問題時，需要對題目中涉及的已知量和未知量關系進行明確.可以利用總價=池底造價+池壁造價的原則構建方程式.在利用構造法解決數學問題時，等量關系是提高數學問題解決效率的關鍵.教師需要對學生進行引導，使學生能夠及時發現等量關系，從而培養學生利用構造法解決數學問題的能力，提高學生的數學核心素養.

3.3 激發學生的簡化思想

為了充分發揮構造法在高中數學解題過程中的積極作用，在構造法解題過程中，還要盡可能激發學生的簡化思想.構造法本身是簡單靈活的解題方法，但是很多學生在學習構造法時，并不能準確掌握什么時候用構造法或者利用構造法解決什么樣的問題，還有一些學生不能掌握構造法的具體應用技巧.因此，教師需要激發學生的簡化思維，使學生在解答數學習題時能夠以簡化的思想為基礎進行解題.這就需要教師引導學生突破常規，及時查找有效的解決方法簡化問題.所以在日常的知識講授過程中，教師要注重激發學生的簡化思想.

綜上所述，利用構造法對數學問題進行簡化是提高學生解題效率和解題準確性的重要方法.但是需要注意構造法并不是萬能的，在構造法講解過程中，教師要使學生明確構造法存在的局限性，對數學問題的本質進行科學把握，這樣學生才能夠合理利用構造法進行解題.在解題訓練時可以對常規方法和構造法進行綜合應用，在減少解題步驟，降低解題難度的同時，提高解題準確性.