一道與線段比有關的向量問題解法探索

摘 要：文章對一道與線段比有關的向量問題，從代數、幾何、物理意義的角度進行了解法探索，給出了基底法、面積法、杠桿法等八種方法，并對方法之間的關聯進行了探究.

關鍵詞：線段比；向量；面積法；杠桿法；關聯

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）34-0010-06

向量兼具代數和幾何的雙重特性，同時有著現實的物理意義.因此，在遇到有關問題時，我們可以從代數、幾何和物理模型三個方面進行解答.而不同的解答方式，會從不同角度去闡釋問題，并分析其之間的內在聯系性［1］.

4 幾點感悟

4.1 注重一題多解、多解歸一和優解選擇

一題多解和多解歸一緣于數學的多元表征性.所謂表征，是指可反復指代某一事物的任何符號或符號集.通常把事物的不同表征形式叫做該事物的多元表征.如果問題信息可以轉化為多種表征方式，且不同表征之間存在著實質性的聯系，那么我們就可以多角度地分析理解問題，從而達到一題多解和多解歸一.在本文中，向量可以從代數、平面幾何、解析幾何、物理意義等多個角度進行切入，切入后通過轉化，發現其本質的同一性，進而可以實現思維角度的多解歸一.當然，不同的解法書寫表達、思維難度、運算復雜度各不相同，在具體做題過程中，要做到合理選擇.如本文所述問題出現在選擇填空題中，杠桿法無疑是最快捷的方法［3］.

4.2 在解題中逐漸提升知識關聯的認知

鄭毓信先生提倡教學時，不是求全，重要的是求“聯”，這里的“聯”就是聯系、關聯.認知關聯包括知識關聯、研究路徑關聯、研究方法關聯.在解題過程中，教師需著眼認知關聯教學，將研究內容與已有認知經驗關聯，引導學生在發現與建立關聯中規劃研究路徑“延伸線”，在揭示與確認關聯中激活研究方法“銜接點”，在內化與完善關聯中形成數學知識“生長鏈”，從而提升學生的思維品質，發展學生的思維能力.在本文中，從基底法出發，到向量的參數方程法，實現了解題路徑的延伸.而面積法、定理法、杠桿法、奔馳定理法既實現了向量代數和幾何性質的銜接，又完成了知識的生長［4］.

4.3 適當積累高位知識

所謂高位知識，是指在學生知識體系之外，高于學生認知的知識，其包括高等數學的弱化、初等數學的升華、跨學科的融合等.高位知識并非深不可測，它只需學生在現有知識體系內，往前邁出一小步.如本文中的梅涅勞斯定理和塞瓦定理，只需要初中平面幾何知識就可理解.適當地積累高位知識，就能站在更高角度尋找路徑，貫穿各種“形似”“神似”的想法，發現某些數學必然的本質.如站在“面積法”的角度，就可以展望到本文中杠桿法和奔馳定理法，也可延伸到（梅涅勞斯、塞瓦）定理法，而定理法又可解釋平行線法和面積法.

參考文獻：

［1］ 吳梓帆，崔榮軍.高中數學培優筆記［M］.杭州：浙江大學出版社，2022.

［2］ 李逸珈，虞關壽.杠桿原理與平面向量問題［J］.中學生數學，2017（21）：7-8.

［3］ 趙珊珊，陳建華.多元表征 一題多解 深度學習［J］.高中數學教與學，2022（15）：5-8.

［4］ 劉春陽，錢德春.基于認知關聯教學 提升數學思維品質：以“角”的教學為例［J］.中國數學教育，2022（19）：50-56，64.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-05

作者簡介：唐宜鐘（1988.2-），男，陜西省漢中人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：陜西省教育科學“十四五”規劃2021年度課題“教材‘閱讀材料在數學學習中的滲透與引領策略研究”（項目編號：SGH21Y1194）