借助類比推理 建構(gòu)乘法模型
——“三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”教學(xué)實踐與思考

安徽省合肥市南門小學(xué)森林城校區(qū) 冷 偉

安徽省合肥市廬陽區(qū)教研室 李玲玲

一、課前思考

（一）教學(xué)內(nèi)容分析

“三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”屬于數(shù)與代數(shù)板塊，是蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊第三單元第 1 課時的內(nèi)容。學(xué)習(xí)本內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)通過表內(nèi)乘法，兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)掌握了乘法豎式的結(jié)構(gòu)，理解了乘法的含義，基本具備用類比的方法推理出三位數(shù)乘兩位數(shù)算法的能力。很多教師認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的難度不大，因此對本節(jié)課的定位只停留在知識技能層面，要求學(xué)生運算時算得對、算得快即可。

既然學(xué)生已經(jīng)會了，那還要教什么？回歸教材可知，本單元是整數(shù)乘法的最后一個單元，教材后續(xù)不再呈現(xiàn)更多數(shù)位的乘法，但是學(xué)生對整數(shù)乘法的學(xué)習(xí)并未就此止步，我們要為學(xué)生以后自主探索多位數(shù)乘法搭建支架。因此，本節(jié)課不僅要幫助學(xué)生理解三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理并掌握其算法，還要讓學(xué)生對之前學(xué)習(xí)的乘法的計算方法做總結(jié)，溝通兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)，甚至多位數(shù)乘多位數(shù)，對多位數(shù)乘法的模型有一定的認(rèn)知。

深挖知識內(nèi)涵發(fā)現(xiàn)，乘法算理的本質(zhì)是計數(shù)單位的累加。只要抓住這一核心，不僅能建構(gòu)出多位數(shù)乘法的模型，還能打通整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法之間的隔斷墻。乘法模型從本質(zhì)上來說就是乘法的算理，我們把算理以乘法豎式的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出來，使算理更清晰、直觀，學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上總結(jié)出算法，自然建構(gòu)出乘法的模型。因此，本節(jié)課也是學(xué)生學(xué)習(xí)建立模型的關(guān)鍵課，學(xué)生可以在模型的建構(gòu)和應(yīng)用中發(fā)展模型意識。

（二）學(xué)生學(xué)情分析

通過對四年級兩個班學(xué)生的前測和訪談，筆者發(fā)現(xiàn)，75%的學(xué)生對于三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算能夠算對，35%的學(xué)生在乘數(shù)中間有0的乘法上存在問題，38%的學(xué)生在連續(xù)進(jìn)位的乘法上存在問題，76%的學(xué)生不理解乘法豎式的意義。因此，本節(jié)課對學(xué)生來說，掌握三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法并不難，難的是抽象概括出乘法算理的本質(zhì)，也就是計數(shù)單位的累加，而這是需要學(xué)生對之前學(xué)習(xí)的乘法進(jìn)行類比歸納后才能得到的。四年級學(xué)生的思維正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，為了讓每個學(xué)生都能理解算理，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從舊知類推到新知，搭建學(xué)習(xí)支架，使學(xué)生在理解算理的同時自主地生成算法。

（三）教學(xué)目標(biāo)設(shè)定

本節(jié)課的總體目標(biāo)應(yīng)以培養(yǎng)知識技能為明線（運算能力為主）、以滲透思想方法為暗線（推理意識為主），發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。具體目標(biāo)如下：

（1）遷移兩位數(shù)乘兩位數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，自主探索三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，理解算理，掌握算法，能正確計算，感悟整數(shù)乘法運算的一致性。

（2）在探索三位數(shù)乘兩位數(shù)及多位數(shù)乘多位數(shù)的計算方法的過程中，體會新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)展數(shù)感，培養(yǎng)運算能力、推理意識、模型意識。

（3）在自主遷移的過程中，積累數(shù)學(xué)思考經(jīng)驗，體會數(shù)學(xué)探索的樂趣。

（四）教學(xué)重難點

教學(xué)重點：理解三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，掌握其算法，能正確計算。

教學(xué)難點：概括乘法算理的本質(zhì)，建構(gòu)整數(shù)乘法的模型。

二、課堂實踐

（一）理解算理

1.復(fù)習(xí)舊知

師（出示情境圖）：從圖中你能獲得哪些數(shù)學(xué)信息？

生1：月星小區(qū)有16幢多層樓，平均每幢樓住28戶；16幢高層樓，平均每幢樓住128戶。

師：你能提出哪些可以用乘法計算的問題？

生2：月星小區(qū)多層樓一共住了多少戶？高層樓一共住了多少戶？

師：我們先解決第一個問題。你打算用怎樣的數(shù)量關(guān)系解決這個問題？

生3：每幢樓的住戶數(shù)×幢數(shù)=總的住戶數(shù)。

師：怎么列算式？（板書：28×16=）

（生獨立計算，師指名上臺板演）

生4：先算6乘28得168，再算10乘28得280，最后把它們加起來是448。

師：結(jié)合情境說說每一步求的是什么。

生5：先求6幢樓的住戶數(shù)，再求10幢樓的住戶數(shù)，最后求16幢樓的住戶數(shù)。

師：為什么一個8寫在個位上，另一個8寫在十位上？

生6：個位上的6表示6個一，乘28得168個一；十位上的1表示1個十，乘28得28個十。

師：也就是把誰進(jìn)行了拆分？

生7：把16拆分成了10和6，分別和28相乘，再把乘得的結(jié)果相加。

（課件出示長方形分割的過程，見圖1）

圖1 長方形的分割圖

師：誰能完整地說一說兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法？

生8：先用第二個乘數(shù)個位上的數(shù)乘第一個乘數(shù)，表示幾個一。再用第二個乘數(shù)十位上的數(shù)乘第一個乘數(shù)，表示幾個十，然后把兩次乘得的數(shù)加起來。（每次乘得的積末尾和誰對齊？）用哪個數(shù)位上的數(shù)去乘，乘得的積的末位就寫在哪一位上。

師：看來同學(xué)們不僅掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，還明白了方法背后的道理。我們剛才用舊知識解決了第一個問題，那第二個問題怎么解決呢？

【思考】在學(xué)生計算完28×16以后，教師提出了三個關(guān)鍵性問題：“你是怎么算的？”“你能結(jié)合情境說說每一步求的是什么嗎？”“為什么一個8寫在個位上，另一個8寫在十位上？”每次乘得的積末尾寫在哪個數(shù)位上，是學(xué)生理解豎式計算算理的關(guān)鍵。通過這三個關(guān)鍵性問題，從兩個層次讓學(xué)生理解算理。同時，借助多媒體呈現(xiàn)長方形分割的過程，使學(xué)生體會拆分的意義。

2.探究新知

出示題目：月星小區(qū)高層樓一共住了多少戶？可以怎樣列式？ （板書：128×16=）

師：這道算式和我們之前學(xué)習(xí)過的算式有什么不同？

生1：這是三位數(shù)乘兩位數(shù)。（揭題）

師：你打算怎么算？

生2：把16拆分成10和6，分別和128相乘，再相加。

師：結(jié)合情境說說，每一步求的是什么？兩次乘得的積末尾和誰對齊呢？（見圖2）

圖2 三位數(shù)乘兩位數(shù)

【思考】在探究新知時，用三個關(guān)鍵性問題引導(dǎo)學(xué)生層層深入，長方形的分割圖將橫式和豎式計算相呼應(yīng)。

（二）概括算法

師：同學(xué)們，兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘兩位數(shù)在計算方法上有什么相同點呢？誰能完整地說一說？（動畫演示乘的過程，見圖3）

圖3 乘法模型

師：現(xiàn)在你們能完整地說出三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法了嗎？同桌之間相互說一說。

（生交流）

【思考】這里類比的活動設(shè)計不僅為學(xué)生概括算法做支撐，同時也為突破本節(jié)課的難點做準(zhǔn)備。因為“抽象概括出整數(shù)乘法算理的本質(zhì)”是本節(jié)課的教學(xué)難點，這一結(jié)論是否由學(xué)生自己領(lǐng)悟后得出，是能否突破難點的關(guān)鍵。這里的類比就是讓學(xué)生初步關(guān)聯(lián)新舊知識，初次提煉乘法本質(zhì)。

（三）鞏固提升

練一練。學(xué)生獨立完成，出示兩組作品，組織匯報。（見圖4）

圖4 練一練1

師：第①題你是怎么算的？有什么要提醒同學(xué)們的？

生1：數(shù)位對齊。

師：第②題錯在哪里？為什么錯了？你有什么好方法？

生2：巧妙地標(biāo)出小小的進(jìn)位符號。

師：第③題和前面的乘數(shù)有什么不同？對于中間有0的乘法計算，要注意什么？

生3：0不要漏乘。

師：同學(xué)們，我們知道了三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，可是在計算時依然會出錯，這說明它不簡單。還要注意什么？

生4：耐心細(xì)致、及時檢查，養(yǎng)成計算的好習(xí)慣。

師：我們再用三位數(shù)乘兩位數(shù)解決一道實際問題，你打算按怎樣的數(shù)量關(guān)系來解決問題？

【思考】精選“練一練”中三道豎式進(jìn)行練習(xí)。選擇學(xué)生作品進(jìn)行展示，出示正確和錯誤的豎式對比，讓學(xué)生當(dāng)小老師介紹自己的計算過程。充分利用學(xué)生的“錯誤”資源，引發(fā)學(xué)生深入思考。學(xué)生發(fā)現(xiàn)進(jìn)位符號要巧妙地標(biāo)上，0不能漏乘，要養(yǎng)成計算的好習(xí)慣。

（四）提煉本質(zhì)

師：同學(xué)們，回顧整個學(xué)習(xí)過程，我們是怎樣得出三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法的？

生1：借助舊知兩位數(shù)乘兩位數(shù)類比推理得到的。

師：這是我們小學(xué)階段最后一次學(xué)習(xí)整數(shù)乘法，以后不學(xué)了。你知道是為什么嗎？

生2：因為方法是相通的，都可以進(jìn)行類推。

師：看來類比推理是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好方法。只要掌握了這個方法你就能自主探究多位數(shù)乘多位數(shù)了。計數(shù)單位的累加就是乘法的本質(zhì)。只要抓住這一核心，你就能揭開小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法的奧秘。

【思考】通過拓展延伸，將學(xué)生的思維引向深處，讓類比推理的方法得以遷移，乘法本質(zhì)的提煉水到渠成。

三、課后反思

新課標(biāo)指出，要注重創(chuàng)設(shè)真實情境，促進(jìn)學(xué)生積極探究，經(jīng)歷數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)表達(dá)、概括歸納、遷移運用等學(xué)習(xí)過程。基于以上理念，筆者設(shè)計出以下學(xué)習(xí)路徑：理解算理→概括算法→鞏固提升→提煉本質(zhì)。具體可采用以下方法實現(xiàn)目標(biāo)。

（一）通過復(fù)習(xí)舊知，喚醒學(xué)習(xí)經(jīng)驗

計算三位數(shù)乘兩位數(shù)，其實是把它轉(zhuǎn)化成三位數(shù)乘一位數(shù)，再借助兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式疊加經(jīng)驗解決的。因此，課前復(fù)習(xí)舊知、喚醒學(xué)習(xí)經(jīng)驗很有必要。那復(fù)習(xí)哪些知識？復(fù)習(xí)到什么程度呢？筆者在第一輪磨課時，創(chuàng)設(shè)了求多層樓、高層樓住戶數(shù)的情境，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)128×6、28×16，但學(xué)生在說算法時呈現(xiàn)出點對點的碎片化表達(dá)，這樣的表達(dá)制約了學(xué)生對算理的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識。因此在之后的教學(xué)中，筆者只保留了求多層樓住戶數(shù)的情境，以喚醒學(xué)生兩位數(shù)乘兩位數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

（二）借助幾何直觀，探究算理算法

借助幾何直觀為學(xué)生搭建腳手架。長方形的分割圖與橫式和豎式相呼應(yīng)，能讓學(xué)生體會拆分的意義。乘法模型把數(shù)抽象成小方格，多媒體演示乘的過程，可以讓學(xué)生從動畫中清晰直觀地看出乘的順序、積的定位、每步表示的意義。有了直觀的乘法模型，學(xué)生能輕松完整地歸納算法。同時，可以以此發(fā)展學(xué)生的模型意識，模型意識的建立將為學(xué)生后續(xù)進(jìn)行規(guī)律探究和解決實際問題打下堅實的基礎(chǔ)。

（三）采用“雙主體”策略，培養(yǎng)深刻性思維

以上的教學(xué)設(shè)計順勢而為，采用“雙主體”策略（教師問題引導(dǎo)、學(xué)生自主探究），設(shè)置關(guān)鍵性問題引導(dǎo)學(xué)生層層深入，發(fā)掘知識內(nèi)涵，提煉乘法本質(zhì)，培養(yǎng)深度思維。拓展延伸，引導(dǎo)學(xué)生對新舊知識進(jìn)行關(guān)聯(lián)，建構(gòu)知識體系，拓寬學(xué)生思維的廣度。設(shè)計富有層次的探究活動，讓學(xué)生體會從舊知類推到新知，讓類比推理的方法深入人心，借助幾何直觀突破難點，提升學(xué)生思維的高度，進(jìn)而提升運算能力、推理意識、模型意識，發(fā)展核心素養(yǎng)。

筆者在整個教學(xué)過程中，在簡單的知識中發(fā)掘內(nèi)涵本質(zhì)，滲透思想方法。在教學(xué)中利用合適的載體，目的是提高和加強學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和思考問題的深刻性，合適的載體是提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率的關(guān)鍵因素，也是減負(fù)增效提質(zhì)的根本路徑。