一“式”到底，逆向思維中求厚度
——“長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)和面積的復(fù)習(xí)”教學(xué)實(shí)踐與思考

浙江省義烏市實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán) 李玉冰

“周長(zhǎng)與面積”是平面幾何圖形學(xué)習(xí)的重要部分。相較于數(shù)的認(rèn)知，“周長(zhǎng)與面積”知識(shí)較為抽象。部分學(xué)生無(wú)法有效區(qū)分周長(zhǎng)與面積，究其原因在于未明晰周長(zhǎng)與面積的本質(zhì)意義。教學(xué)時(shí)，學(xué)生容易進(jìn)入周長(zhǎng)與面積混淆的怪圈。因此，“長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)和面積的復(fù)習(xí)”教學(xué)需要以一種新穎的方式，簡(jiǎn)化學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)和面積的理解。一“式”到底，是以逆向思維的視角引領(lǐng)學(xué)生深入探索周長(zhǎng)與面積的本質(zhì)，通過(guò)拆解算式在周長(zhǎng)與面積中的內(nèi)涵，幫助學(xué)生深度構(gòu)建平面幾何意義，初步培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”的思想，為之后平行四邊形、梯形等平面幾何的學(xué)習(xí)做鋪墊。

一、一“式”到底，逆向思維中認(rèn)知差異

學(xué)生的思維能力培養(yǎng)并不是一蹴而就的。在平時(shí)的課堂教學(xué)中，教師要有目的、有計(jì)劃、有層次地實(shí)施，并且要遵循由淺到深、由易到難、由具體到抽象的原則，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中受到潛移默化的影響。筆者認(rèn)為，逆向思維的教學(xué)視角更需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境，以算式為載體，引領(lǐng)學(xué)生在課堂中尋得差異、認(rèn)知差異。

教學(xué)片段一：

師：（出示課件）同學(xué)們，看到“6×4=24”這個(gè)算式，你們想到了什么？我相信很多同學(xué)腦海中已經(jīng)浮現(xiàn)許多畫面，大家可以選擇其中的兩個(gè)畫在方格紙上，開(kāi)始行動(dòng)吧!

生1：我畫的是長(zhǎng)為6格、寬為4格的長(zhǎng)方形，算式代表長(zhǎng)方形的面積。

生2：可以在長(zhǎng)方形中添加斜線，更清楚地表示出面積。

生3：還可以標(biāo)注長(zhǎng)和寬的數(shù)據(jù)。

師：同學(xué)們的建議非常寶貴！這位同學(xué)的作品，老師不是太明白，誰(shuí)能給我解釋下呢？

生4：算式表達(dá)的是正方形的周長(zhǎng)，正方形有4條邊長(zhǎng)，每條邊長(zhǎng)為6。

師：非常好！可見(jiàn)算式“6×4=24”既可以表示周長(zhǎng)，又可以表示面積。那是否意味著周長(zhǎng)和面積是一樣的呢？

生1：不一樣。周長(zhǎng)表示外面的一圈，面積表示內(nèi)部大小。

生2：周長(zhǎng)是線的長(zhǎng)度，面積是面的大小。

師：只根據(jù)算式，我們還是很難區(qū)分的，有更好的方法快速識(shí)別二者之間的差異嗎？

生：可以在算式后面加單位。

師：這個(gè)想法非常好！加什么單位呢？

生：周長(zhǎng)加長(zhǎng)度單位，如厘米、分米、米等；面積加面積單位，如平方厘米、平方分米、平方米等。

師：所以，我們可以在24的后面加上周長(zhǎng)的單位，如cm；或加上面積的單位，如cm2。

師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，還能推出什么樣的信息？

生1：正方形的面積為6×6=36cm2。

生2：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為（6+4）×2=20cm。

周長(zhǎng)與面積的差異是線與面的差異，一“式”到底的數(shù)學(xué)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生將算式與長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)和面積相聯(lián)系，將周長(zhǎng)和面積的抽象意義剖析成具體的教學(xué)實(shí)例，幫助學(xué)生更高效地理解周長(zhǎng)與面積的本質(zhì)差異，以要求學(xué)生畫出兩種圖的教學(xué)設(shè)計(jì)，避免學(xué)生的想象力局限于長(zhǎng)方形的面積上，有效激發(fā)學(xué)生呈現(xiàn)多元化的發(fā)散思路表示算式的幾何意義。

二、一“式”到底，逆向思維中探索變化

教師在教學(xué)中，要以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，鼓勵(lì)學(xué)生從多種角度思考解決問(wèn)題的方法，引導(dǎo)學(xué)生在不同的思維中探索變化，將算式思維引入平面幾何中，在解決問(wèn)題的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生提煉和整理所涉及的解題策略和基本思想方法。

教學(xué)片段二：

師：看到“6×4-3×2=18”，同學(xué)們又能想到什么？

生1：長(zhǎng)為6、寬為4的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)剪掉3，寬減掉2。

生2：不對(duì)，應(yīng)該是在長(zhǎng)為6、寬為4的長(zhǎng)方形上剪掉一個(gè)面積為6的新圖形。

師：剪掉的新圖形可能是什么形狀呢？

生2：可能是“6×1”的長(zhǎng)方形，可能是“3×2”的長(zhǎng)方形。

生3：也可能是6個(gè)分開(kāi)的“1×1”的正方形。

師：（出示課件）老師準(zhǔn)備了“6×4”和“3×2”的長(zhǎng)方形，同學(xué)們來(lái)試著擺一擺。（巡視搜集有代表性的作品，呈現(xiàn)于黑板上）（見(jiàn)圖1）

圖1

師：黑板上呈現(xiàn)了許多創(chuàng)意作品，我們是不是可以將它們分分類，四人小組討論交流。

生1：依照小長(zhǎng)方形擺放的位置將作品分為橫、豎、斜三類。（見(jiàn)圖2）

圖2

生2：根據(jù)小長(zhǎng)方形在大長(zhǎng)方形上的位置將作品分為內(nèi)部和邊兩類。（見(jiàn)圖3）

圖3

生3：我覺(jué)得上一個(gè)分類還可以繼續(xù)細(xì)化，分為角、邊、內(nèi)部三類。（見(jiàn)圖4）

圖4

生4：根據(jù)新圖形周長(zhǎng)的變化，可將作品分為變和不變兩類。（見(jiàn)圖5）

圖5

生5：我認(rèn)為小長(zhǎng)方形在內(nèi)部時(shí)，周長(zhǎng)沒(méi)有發(fā)生變化。

師：看來(lái)，同學(xué)們對(duì)于剪掉后圖形的周長(zhǎng)到底有沒(méi)有變化存在分歧。我們留下三個(gè)圖形（見(jiàn)圖6），同學(xué)們可以畫一畫、算一算它們的周長(zhǎng)，小組交流后和老師分享下答案。

圖6

生1：我利用平移的方式，一眼就看出①號(hào)圖形周長(zhǎng)不變，還是20cm。②號(hào)圖形平移后多出左右兩條，周長(zhǎng)是20+2×2=24cm。③號(hào)圖形小長(zhǎng)方形在內(nèi)部，周長(zhǎng)也不變，也是20cm。

生2：我們組認(rèn)為③號(hào)圖形周長(zhǎng)變長(zhǎng)了，因?yàn)閮?nèi)部這塊被剪掉了，是露在空氣中的，我們要求周長(zhǎng)的圖形其實(shí)是那個(gè)像“回”字的紅色部分的圖形，內(nèi)部也算圖形的邊緣。

師：同學(xué)們都非常善于思考，③號(hào)圖形周長(zhǎng)與內(nèi)部畫圖形是有區(qū)別的，邊緣線明顯變多，周長(zhǎng)也會(huì)變大。除了周長(zhǎng)的變化，你們還有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生1：周長(zhǎng)不同，面積相同。

生2：角上剪，周長(zhǎng)不變；邊上剪、內(nèi)部剪，周長(zhǎng)變長(zhǎng)；內(nèi)部剪，周長(zhǎng)變最長(zhǎng)。

師：非常好！通過(guò)探索我們可以發(fā)現(xiàn)，面積相等的圖形，周長(zhǎng)未必相等。

教師以新算式為教學(xué)素材，將學(xué)生引至另一個(gè)獨(dú)特的視角，深入探究周長(zhǎng)與面積的知識(shí)本質(zhì)。通過(guò)自主實(shí)踐探索以及小組討論的教學(xué)形式，教師成功將學(xué)生從算式思維引入平面幾何認(rèn)識(shí)中，要求學(xué)生擺一擺、算一算、分一分，以強(qiáng)化對(duì)周長(zhǎng)和面積變化知識(shí)的理解。由于周長(zhǎng)和面積變化知識(shí)較為抽象，利用擺小長(zhǎng)方形的形式更清晰、直觀地呈現(xiàn)出新圖形周長(zhǎng)和面積的變化，學(xué)生也能深入理解算式背后深層的幾何含義。

三、一“式”到底，逆向思維中強(qiáng)化理解

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)來(lái)自學(xué)生的思考、質(zhì)疑，教師應(yīng)在課堂中引導(dǎo)學(xué)生不斷反思，帶著問(wèn)題去思考、去探究，去強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的理解，進(jìn)行多角度的觀察與聯(lián)想，從而找到更多的思維通道，促進(jìn)學(xué)生的思維生長(zhǎng)。

教學(xué)片段三：

師：（出示課件）我們來(lái)玩連一連的小游戲。看一看哪些圖形可以用“6×4+3×2=30”來(lái)解決。（見(jiàn)圖7）

圖7

生1：5種圖形都可以用“6×4+3×2=30”這一算式計(jì)算。圖形A、C、E計(jì)算的是面積，圖形C需要利用平移將右上角的小長(zhǎng)方形移到左邊，圖形B、D計(jì)算的是周長(zhǎng)。

生2：如果可以平移，圖形B還可用“6×4+3×2=30”這一算式計(jì)算面積。

師：對(duì)比圖形A、C、E，你們有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生1：面積相同，圖形A、C的周長(zhǎng)相同，圖形E的周長(zhǎng)最長(zhǎng)。

生2：面積相同時(shí)，周長(zhǎng)不一定相同。

師：對(duì)比圖形B、D，你們又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生1：“凹”和“凸”這兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)都可以用“6×4+3×2=30”這個(gè)算式來(lái)計(jì)算。

生2：周長(zhǎng)相同時(shí)，面積不一定相同。

教學(xué)片段四：

師：想象一下，老師給你一條繩子，圍成什么圖形時(shí)，面積最大？

生：正方形。

（播放動(dòng)態(tài)視頻）

師：看完后，你學(xué)到了什么？

生：圓的面積最大。

師：有沒(méi)有前提？

生：在周長(zhǎng)相等的情況下，圓的面積最大。

師：在周長(zhǎng)相等的情況下，或許還存在一個(gè)比正方形面積更大的圖形等著我們?nèi)パ芯俊５搅昙?jí)的時(shí)候，老師陪你們一起研究這個(gè)圖形的周長(zhǎng)和面積！

強(qiáng)化知識(shí)理解是對(duì)“周長(zhǎng)不同，面積相同”知識(shí)的拓展延伸。新的算式教學(xué)形式，對(duì)學(xué)生逆向思維提出了新要求。學(xué)生需要套用之前的探究方法，在多變的圖形中尋求周長(zhǎng)和面積的意義，總結(jié)出新的結(jié)論知識(shí)，并靈活應(yīng)用新知識(shí)。同時(shí)，繩子圍面積的教學(xué)案例，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)相同，面積不同”的新知理解，并引導(dǎo)學(xué)生拓展認(rèn)知：在周長(zhǎng)相等的情況下，圓的面積是最大的。教師巧妙應(yīng)用視頻的動(dòng)態(tài)性特點(diǎn)，在活躍教學(xué)氣氛的同時(shí)，引發(fā)學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)和面積相關(guān)知識(shí)的深入思考。

四、結(jié)語(yǔ)

算式的選取不是憑空而生的，而是基于長(zhǎng)方形、正方形面積和周長(zhǎng)的特殊性之上的。一“式”到底的教學(xué)形式，始終聚焦長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)與面積，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)中探尋周長(zhǎng)、面積的意義。與常規(guī)教學(xué)不同的是，一“式”到底并未重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)面積公式的意義，而是利用算式的特殊性，要求學(xué)生逆向思維構(gòu)建算式與幾何圖形的意義，引導(dǎo)學(xué)生從逆向思維中認(rèn)知平面幾何的奧妙。

“算式”與“圖形”的結(jié)合，是一種創(chuàng)新的教學(xué)形式，打破教師對(duì)平面幾何教學(xué)的固有認(rèn)知，讓學(xué)生在“數(shù)”與“形”中感知數(shù)學(xué)知識(shí)。一“式”到底的教學(xué)實(shí)踐，本質(zhì)在于培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，具象化周長(zhǎng)與面積的抽象意義。教學(xué)中，對(duì)于三個(gè)不同的數(shù)學(xué)算式，教師從認(rèn)知差異、探索變化、強(qiáng)化理解等三個(gè)不同的視角一步步引導(dǎo)學(xué)生探究周長(zhǎng)和面積的深層內(nèi)涵，由簡(jiǎn)至繁，促使學(xué)生在畫一畫、擺一擺、算一算中進(jìn)一步加深對(duì)周長(zhǎng)與面積的理解。一“式”到底的教學(xué)，給予學(xué)生一定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)啟迪，啟迪學(xué)生在平面幾何的認(rèn)知中利用數(shù)簡(jiǎn)化知識(shí)理解。

一“式”到底教學(xué)的最大亮點(diǎn)在于用最少的學(xué)習(xí)素材上出有厚度的課堂，鍛煉學(xué)生的逆向?qū)W習(xí)思維，巧妙抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)。