實時性改進LTV-MPC的車輛穩定性控制研究

曾兆楓,焦恒超,晉 靜,舒紅宇

(重慶大學 機械與運載工程學院, 重慶 400044)

車輛穩定性控制是車輛主動安全控制技術中的重要部分,可以通過主動前輪轉向(active front-wheel steering,AFS)和直接橫擺力矩控制(direct yaw-moment control,DYC)來實現[1-3]。分布式電動汽車具有傳動鏈短且各輪單獨可控等優勢,為車輛穩定性控制系統執行器的靈活快速響應提供了硬件基礎,目前已經引起了學者們的廣泛關注[4-5],但更多的控制自由度卻使控制器計算負擔進一步增加,這對控制系統算法的實時性提出了更大的挑戰。

車輛穩定性控制系統是一個高自由度非線性約束系統,對實時性有很高的要求。MPC能夠處理多目標優化、多約束問題[6],在結構更為靈活的分布式電動汽車控制系統上體現出了更大的優勢,其前饋—反饋的結構特點,能夠基于系統狀態對未來一段時間內的系統狀態進行預測,并且采用滾動時域優化的方法,能及時校正控制過程中出現的各種復雜情況。然而MPC需要不斷地在線求解優化問題,控制器計算負擔較大,特別是傳統非線性模型預測控制(NMPC)求解過程復雜、實時性差[7],故將其應用于車輛穩定性控制系統需要對實時性加以改進。文獻[8]采用車輛二自由度模型,并用2條直線來擬合非線性輪胎模型的線性區與飽和區來設計MPC控制器,該方法雖然簡化了系統模型,但輪胎模型誤差較大,控制效果不佳。文獻[9]則是在保留輪胎非線性特性的同時對輪胎力進行形式上的局部線性化,提出一種基于非線性車輛模型的LTV-MPC方法。文獻[10]在文獻[9]的基礎上加以改進,提高了輪胎力的局部線性化精度,但沒有對其實時性加以改進,反而增加了控制器的計算負擔。文獻[11]引入微分平坦度(differential flatness)條件,將問題轉換為可以很好表現系統非線性特性的Brunovsky標準型,以改善常規方法中線性化過程的誤差積累,有效降低了系統的計算負擔。文獻[12]在算法上對MPC進行了改進,將非線性規劃問題轉化為代數方程組進行求解,有效提高了系統實時性,為優化算法提供了一種新的思路。文獻[13]則采用分層控制的思路,上層控制器計算理想橫擺力矩與理想質心側偏角,將力矩分配交給下層處理,分層結構能減少上層控制器的輸出變量個數,簡化計算過程。綜上所述,基于MPC的車輛穩定性控制系統還存在預測精度和控制實時性的問題,還有待進一步改進和完善。

本文以分布式電動汽車為研究對象,采用分層控制策略,在LTV-MPC算法的基礎上進行實時性改進,提出一種實時性橫向穩定控制算法。不同于罰函數法的無約束化過程,本文將不等式約束體現在目標函數的懲罰項中,構造隨系統狀態變化而變化的時變權重矩陣來實現目標函數求解形式上的“無約束”化,從而參照無約束問題的求解過程對其進行直接求解,此方法可以省去復雜的迭代尋優過程,進一步提高控制系統的實時性。最后通過Carsim與Simulink聯合仿真實驗驗證所提出的控制算法的有效性。

1 車輛動力學模型

本文重點研究車輛在轉彎工況下的橫向穩定性,故忽略車輛的側傾運動、俯仰運動以及垂向運動,選用考慮到輪胎非線性特性的整車非線性2自由度模型來描述車輛的動力學特性,如圖1所示。以簡化模型來表征系統動力特征是提高實時性的有效措施之一。

考慮到前輪轉角δf較小,近似認為cosδf=1,車輛的側向和橫擺運動的動力學方程表示為:

(1)

式中:m為整車質量;vx為車輛縱向速度;β為質心側偏角;ωr為車輛橫擺角速度;Fyf和Fyr分別為車輛前軸和后軸所受的側向力;Iz為整車繞Z軸的轉動慣量;a和b分別為車輛質心至前、后軸的距離;ΔM為由4個車輪縱向力差所產生的附加橫擺力矩,為:

ΔM=c(Fx2-Fx1)+d(Fx4-Fx3)

(2)

式中:c和d分別為前后輪輪距的1/2;Fxi(i=1,2,3,4)表示輪胎所受縱向力,下標1～4分別對應左前輪、右前輪、左后輪和右后輪。

圖1 整車2自由度模型示意圖

在極端工況下輪胎力處于非線性區,側向力接近飽和極限,車輛可能出現失穩的情況。若選用線性二自由度模型中的線性輪胎模型來設計控制器則不能表征輪胎的非線性特性,導致計算所得輪胎力與實際輪胎力誤差很大,控制效果不佳。故本文選用可以準確反映輪胎非線性力學特征的魔術輪胎公式,并考慮到路面附著系數對輪胎力的影響,側向力為:

Fy=μDsin(Carctan(Bα-E(Bα-arctan(Bα))))

(3)

式中:α為輪胎側偏角;B為剛度因子;C為形狀因子;D為峰值因子;E為曲率因子。本文參考文獻[9]來設置仿真模型的魔術輪胎參數,ai(i=0,1,2,3,4,5,6),取值如表1所示。

表1 魔術輪胎公式相關參數

前后輪縱向力Fzf、Fzr表示為:

(4)

前后輪側偏角αf、αr表示為:

(5)

2 基于LTV-MPC的實時性改進控制器

本文設計的控制器采用分層控制策略,并重點對上層MPC算法進行實時性改進研究,上層邏輯結構如圖2所示。分層式控制器將ΔM和δf作為上層控制器的優化目標,之后將上層預測得到的最優控制序列傳遞給下層,下層進一步將力矩優化分配到各執行器[14]。整體式控制器則直接以各執行器的執行量作為優化目標,輸出參數較多,控制器計算負擔較大[15]。故選用分層控制結構可以有效減少上層MPC控制器的輸出變量個數,降低控制器的計算負擔,有助于提高系統實時性。

圖2 上層控制器邏輯結構框圖

2.1 參考模型

本文選用質心側偏角和橫擺角速度作為評價車輛橫向穩定性的指標[16],質心側偏角可以反映車輛跟蹤軌跡的能力,橫擺角速度則可以反映車輛穩定行駛的能力。參考模型以駕駛員方向盤轉角信號和車輛狀態為輸入,推算出質心側偏角和橫擺角速度的期望值,參考模型如下[17-18]:

(6)

(7)

2.2 LTV-MPC控制器

魔術輪胎公式雖然能夠很好地反映輪胎模型的非線性特性、更好地跟蹤實際的輪胎力,但其形式復雜,若直接用于設計控制器算法設計,則不能得到矩陣形式的狀態方程,導致控制器過于復雜、計算時間長、實時性較差。想要將非線性輪胎模型應用于實時性更好的LTV-MPC控制器,需要對輪胎力進行線性化。本文在魔術輪胎模型的基礎上,針對輪胎側向力采用一種局部線性化的方式[19],在保留輪胎模型非線性特性的同時將其轉化為一種線性表達形式,線性化側向力方程如下:

(8)

圖3 輪胎力局部線性化原理

(9)

(10)

(11)

式中,各矩陣如下:

取離散時間步長為Ts,采用單步歐拉法對式(11)其進行離散化處理得到:

(12)

式中:

Δx(k)=x(k)-x(k-1)

Δu(k)=u(k)-u(k-1)

Δd(k)=d(k)-d(k-1)

Ak=TsA+I,Bk,u=TsBu,Bk,d=TsBd

根據系統當前觀測狀態來預測系統未來一段時間內的狀態是MPC的基本思想,設定預測時域Hp小于控制時域Hc,且控制時域外的控制輸入保持不變,即:

全面原則是指網絡監測系統對網絡信息數據的抓取要盡量全覆蓋，全面監測門戶網站、博客、論壇、微博等網絡載體，不遺漏重要的輿情數據。準確原則是指網絡監測系統能夠對龐雜的數據進行精確分析，將最有價值的輿情數據篩選出來，進行分類展示，凸顯關鍵輿情信息。及時原則是指網絡監測系統能夠第一時間抓取到網絡數據，第一時間對數據進行分析，第一時間呈現給用戶，及時發出預警信號。穩定原則是指網絡監測系統要采用先進算法，模塊組合合理有效，程序運行順暢，系統易于擴展，數據處理平穩可靠。

Δu(k+Hc+i)=0,

i=0,1,…,k+Hp-Hc

(13)

基于該假設,可求得預測時域內系統的預測輸出:

Y(k+1|k)=SxΔx(k)+SuΔU(k)+

SdΔd(k)+Syy(k)

(14)

式中,k+1|k表示在k時刻對k+1時刻的預測,各矩陣如下:

2.3 實時性改進目標函數設計

構造目標函數時不僅要考慮到控制器對目標輸出的跟蹤效果,還需要考慮到控制量的波動以及系統的約束限制。通常將約束優化問題轉化為QP問題來進行求解,目標函數可表示為:

(15)

minJ(x(k),u(k))

s.t.δf min<δf<δf max

ΔMmin<ΔM<ΔMmax

(16)

(17)

目標函數(15)改寫為:

J=ρTρ

(18)

將式(14)代入式(17)可得:

(19)

其中:

(20)

進而,待求解的無約束優化問題可簡化為:

(21)

z*=(ATA)-1ATb

(22)

即k時刻的最優控制序列為:

(23)

通過式(23)即可直接求解無約束問題最優解,省去了繁瑣的迭代尋優過程,僅需對式中參數進行實施更新便可直接求得最優控制序列,具有很好的實時性。但對于車輛控制系統來說,約束條件是必須要考慮的因素。傳統罰函數法是在目標函數后邊加上一項約束條件相關的懲罰項,從而將約束問題轉換為無約束問題, 針對本文優化問題,則是在目標函數(15)后邊加一項關于u(k)的懲罰項。罰函數法雖然能將約束問題轉化為無約束問題,但所得到的新目標函數不能轉換為類似式(23)所示的解析式,復雜的求解過程依然面臨實時性問題。

本文受無約束優化問題求解過程的啟發,構造一種能體現系統約束的時變權重矩陣對控制量增量進行懲罰約束,核心思想是通過對控制量增量的約束來實現對控制量的約束,這樣即可在不破壞目標函數結構形式的情況下實現優化求解形式上的無約束化,新的目標函數形式如式(24)所示,式中ΓU為關于控制量的時變函數。在整車控制過程中,控制器響應頻率高,短時間來看系統狀態是漸變的,故本文設置了一個控制量的約束帶,將控制過程中控制量所在的區域分為約束區和無約束區,如圖4所示。

圖4 改進算法原理示意圖

當控制量處于無約束區時,認為控制量短時間內不超過實際約束極限,此時不需要對系統加以約束條件限制,Γu不起作用。控制量一旦進入約束區Γu便開始起作用,如圖4中的t1時刻。依據在未來時刻施加相同的控制量增量的情況下,當前時刻的控制量越接近系統約束極限,未來時刻的控制量就越容易超過系統約束的基本思想,從約束下界us開始到約束上界ue,應對Δu的限制力度逐漸增大,且在約束上界處達到最大,如圖中t2時刻。當控制量欲超過ue時,Γu對Δu的懲罰限制維持在最大值,使得u不超過約束上界,直到u有下降的趨勢,在圖中t3時刻控制量再次進入無約束區。在極限工況下,此方法求解的并不是問題的最優解,而是犧牲一部分控制精度來提高系統運算速度,得到一個次優解。但因為MPC滾動優化的特性,控制系統會對車輛狀態不斷地進行優化調整,在整個控制過程中出現一部分次優解依然能夠保證控制系統具有一個良好的控制效果。

(24)

在k時刻對系統k+1時刻進行預測時,ΓU應該為U(k+1)的函數,但考慮到U(k+1)=U(k)+ΔU(k),在k時刻,U(k)為已知量,ΔU(k)目標函數最優解,故ΓU本質上是關于ΔU(k)的函數。但在k時刻ΔU(k)是未知量,不能對目標函數式(24)進行簡化直接求解。為解決此問題,本文采用U(k+1)的估計值來構造ΓU。鑒于在求解k時刻的優化控制序列ΔU(k)時,k-1時刻的優化控制序列來ΔU(k-1)是已知量,故設想采用ΔU(k-1)來預測ΔU(k),因此本文設置實驗對此設想進行檢驗。因為MPC在控制過程中每一時刻只將控制序列的第一項施加于系統,所以重點對優化結果中控制序列的第一項進行觀察。k時刻施加的控制量Δu(k+1|k)對應k-1時刻控制序列中的第二項Δu(k+1|k-1),若兩者變化趨勢相近且對應數值差異不大,便可將Δu(k+1|k-1)作為Δu(k+1|k)的預測值。利用Carsim與Simulink聯合仿真平臺進行實驗,設置在平坦路面上,對方向盤進行120°正弦轉角輸入,在無加速無制動的情況下,分別以初速72 km/h,路面附著系數0.8(工況1)、初速72 km/h,路面附著系數0.4(工況2)2種工況對控制過程中的Δu(k+1|k)與Δu(k+1|k-1)進行觀察,觀察結果如圖5(a)、(b)、(c)、(d)所示。

(25)

(26)

(27)

圖5 不同工況下控制增量曲線

3 仿真分析

為了驗證本文提出的實時性改進MPC控制器的有效性,采用Carsim與Simulink聯合仿真平臺搭建模型對其進行仿真驗證。設置初始車速為72 km/h、方向盤如圖6所示施加120°正弦轉角輸入、純滑移,分別在路面附著系數為0.8和0.4的2種路面上進行實驗,并設置LTV-MPC控制器作為對照。車輛參數如表2所示,控制器參數如表3所示。

圖6 方向盤轉角輸入

表2 車輛參數

表3 控制器參數

在本文中,設置-0.3 rad<δf<0.3 rad、-2 000 N·m<ΔM<2 000 N·m作為LTV-MPC控制器的系統約束以及改進算法的軟約束邊界。圖7為高路面附著系數(u=0.8)工況下控制器的響應曲線,圖8為低路面附著系數(u=0.4)工況下控制器的響應曲線。其中圖7(a)和圖8(a)為橫擺角速度響應曲線,圖7(b)和圖8(b)為質心側偏角響應曲線。從圖中可以看出,在控制效果方面,本文提出的改進算法在高低附著系數工況下對橫擺角速度都有很好的跟蹤效果。雖然在控制過程中改進算法相較于LTV-MPC波動較大,但也能很好地跟蹤期望值,控制效果良好。實際質心側偏角與期望值有一定的差異,高路面附著系數下差異較小,低路面附著系數下差異較大。在控制算法中,目標函數權重系數是影響控制效果的關鍵,而橫擺角與質心側偏角存在著一定的耦合關系,在嚴格跟蹤橫擺角速度的同時會對質心側偏角有一定的制約,導致質心側偏角與目標值存在一定的差異,如文獻[10]中的LTI-MPC控制器是以犧牲橫擺角速度的跟蹤性能為代價,使得質心側偏角與期望值的變化差異最小。

圖7 高路面附著系數控制器響應

圖8 低路面附著系數控制器響應

本文以保證車輛穩定行駛的橫擺角速度作為跟蹤重點來設置權重系數,故相比于橫擺角速度,質心側偏角與期望值的差異較大,但其變化趨勢與期望值一致,并且大部分時刻其實際值小于期望值,實際行駛路徑不會與理想路徑產生太大的偏差,即在實際控制過程中能保證車輛穩定運行。

為驗證改進算法的實時性改進效果,對控制器單次預測運算時間進行對比,仿真實驗軟硬件配置如表4所示。圖9為改進MPC與LTV-MPC控制器在每一個采樣時刻進行單次預測的計算時間對比,可以看出采用QP迭代尋優的LTV-MPC控制器計算時間在0.02～0.034 s浮動,而采用解析求解的改進MPC計算時間基本穩定在 0.004 5 s。與LTV-MPC控制器相比,本文提出的改進MPC控制器計算速度提高了4.5～7.5倍,并且計算時間波動較小,有效改善了控制系統的實時性。

表4 仿真軟硬件配置

圖9 控制器計算時間曲線

4 結論

基于MPC車輛穩定性控制系統的實時性,在LTV-MPC的基礎上,在考慮系統的非線性特性前提下,進一步提出了通過時變權重矩陣實現了約束優化問題形式上的無約束化的方法。基于Carsim與Simulink聯合仿真試驗和分析,驗證了該算法可以顯著節省計算時間,與LTV-MPC控制器進行對比,求解速度可提高4.5～7.5倍,有效地改進了控制算法的實時性。該方法還有待通過實車實驗和車載控制器驗證其實際效果。