運(yùn)用“待定系數(shù)法”求解多項(xiàng)式新定義考題

文／盛正才

新定義考題是近年來(lái)各地中考的高頻題型。本文選取一道與多項(xiàng)式有關(guān)的新定義考題，和大家談?wù)劇按ㄏ禂?shù)法”在解決這類(lèi)問(wèn)題中的作用。

例題對(duì)于代數(shù)式，不同的表達(dá)形式能表現(xiàn)出它的不同性質(zhì)。例如代數(shù)式A=x2-6x+11，若將其寫(xiě)成A=（x-3）2+2 的形式，就能看出該多項(xiàng)式有最小值是2；若將它寫(xiě)成A=（x-1）2-4（x-1）+6 的形式，就能與代數(shù)式B=x2-4x+6建立聯(lián)系。下面我們改變x的值，研究A、B兩個(gè)代數(shù)式取值的規(guī)律：

（1）表中※=____，■=____，☆=____。

（2）觀察表格可以發(fā)現(xiàn)：若x=m時(shí)，B=x2-4x+6=n，則x=m+1 時(shí)，A=（x-1）2-4（x-1）+6=x2-6x+11=n。我們把這種現(xiàn)象稱(chēng)為代數(shù)式A參照代數(shù)式B取值后移，此時(shí)后移值為1。

①若代數(shù)式C參照代數(shù)式B取值后移，相應(yīng)的后移值為2，求代數(shù)式C；

②已知代數(shù)式ax2-7x+2b參照代數(shù)式2x2-3x+c取值后移，求出a+2b-c的值。

【簡(jiǎn)答】（1）6，2，2。

（2）①C=（x-2）2-4（x-2）+6=x2-8x+18。

②設(shè)后移值為m。由題意知，a=2。

2（x-m）2-3（x-m）+c=2x2-7x+2b。

2x2+（-4m-3）x+2m2+3m+c=2x2-7x+2b。

解得m=1，2b-c=5。

∴a+2b-c=7。

【解后回顧】本例題的本質(zhì)是多項(xiàng)式的變形，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用待定系數(shù)法。現(xiàn)在來(lái)看這道新定義題的簡(jiǎn)化問(wèn)題。

【簡(jiǎn)化問(wèn)題】用（x+1）冪的形式表示多項(xiàng)式x2+4x-2。

【分析】可先設(shè)x2+4x-2=（x+1）2+p（x+1）+q，進(jìn)一步求p、q的值，有兩種不同的思路。

思路1：將（x+1）2+p（x+1）+q展開(kāi)，得x2+（2+p）x+p+q+1，將各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，可得到關(guān)于p、q的方程組。p+2=4，p+q+1=-2，解得p=2，q=-5，即x2+4x-2=（x+1）2+2（x+1）-5。

思路2：將x取特殊值0、-1，可得-2=1+p+q，-5=q，解得p=2，q=-5。

【變式】若x=m時(shí)，B=x2-4x+7=n，則x=m+2 時(shí)，A=x2-8x+19=n。我們把這種現(xiàn)象稱(chēng)為代數(shù)式A參照代數(shù)式B取值延后，此時(shí)延后值為2。

（1）若代數(shù)式D參照代數(shù)式B取值延后，相應(yīng)的延后值為1，請(qǐng)直接寫(xiě)出代數(shù)式D；

（2）已知代數(shù)式ax2-12x+b參照代數(shù)式2x2-4x+c取值延后，求c-b的值。

【簡(jiǎn)答】（1）∵代數(shù)式D參照代數(shù)式B取值延后，相應(yīng)的延后值為1，

∴D=（x-1）2-4（x-1）+7=x2-6x+12。

（2）2x2-12x+b=2（x-m）2-4（x-m）+c，

∴4+4m=12，解得m=2。

∴b=2m2+4m+c。

∴c-b=-16。