基于輻射能量分布函數(shù)的黑體輻射天地一致性理論推導(dǎo)

劉 健, 林嘉軒, 朱凌軒, 杜 君

(電磁散射重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200438)

0 引言

飛行器紅外輻射特性是影響飛行器可探測性的重要目標(biāo)特性之一。飛行器紅外輻射能量主要來源于蒙皮和發(fā)動機(jī)排氣系統(tǒng),其中蒙皮輻射能量主要集中在長波波段,發(fā)動機(jī)排氣系統(tǒng)輻射能量主要集中在中波波段[1]。隨著長波紅外探測技術(shù)的發(fā)展,飛行器蒙皮輻射特性越來越受到關(guān)注。現(xiàn)階段,國內(nèi)外研究人員對飛行器蒙皮輻射特性開展了大量的數(shù)值仿真和試驗(yàn)測試研究。MARTINEZ等[2]開發(fā)了大型商用飛機(jī)紅外特性計(jì)算代碼,使用該代碼計(jì)算了波音747-400客機(jī)的紅外特性,重點(diǎn)分析了機(jī)身蒙皮的輻射特性。為驗(yàn)證該代碼的正確性,COIRO 等[3]測量了波音737客機(jī)起降階段的紅外輻射特性。相比于測量客機(jī)高空巡航狀態(tài)下的輻射特性,測量起降階段的輻射特性相對容易,這也是COIRO 等測量客機(jī)起降階段的紅外輻射特性數(shù)據(jù)用于驗(yàn)?zāi)５囊粋€主要原因。然而,地面狀態(tài)畢竟不同于高空狀態(tài),尤其是地面溫度顯著高于高空溫度,直接在地面測得的目標(biāo)輻射特性必然不同于高空環(huán)境中的目標(biāo)輻射特性,即存在天地一致性問題。

如果通過數(shù)值仿真等手段獲得了高空飛行狀態(tài)下的飛行器蒙皮溫度分布,再在地面狀態(tài)下通過冷卻手段模擬高空環(huán)境蒙皮的低溫分布,對低溫蒙皮輻射特性進(jìn)行測量,可以獲得高空飛行狀態(tài)下的蒙皮輻射特性。這一試驗(yàn)方法似乎可行,但實(shí)際存在兩點(diǎn)不足:一是冷卻比加熱更難,在地面高溫環(huán)境中通過冷卻手段模擬高空飛行器蒙皮較低的溫度分布難度很大;二是地面背景溫度高于目標(biāo)溫度,背景輻射高于目標(biāo)輻射,在強(qiáng)背景中測量弱目標(biāo)的輻射特性,存在較大測量誤差。為解決上述問題,亟需開展地面靜態(tài)模擬測量高空低溫飛行器蒙皮輻射特性的天地一致性理論研究。

現(xiàn)階段,鮮有文獻(xiàn)涉及黑體輻射的天地一致性理論研究。目前,僅本文作者在早期針對黑體積分輻射強(qiáng)度開展過縮比理論和地面等效模擬測試研究。LIU 等[4]從控制方程出發(fā),理論推導(dǎo)得到了積分輻射強(qiáng)度與幾何縮比的數(shù)學(xué)關(guān)系,并進(jìn)行了平板試驗(yàn)驗(yàn)證。WANG 等[5]推導(dǎo)得出了積分輻射強(qiáng)度和幾何縮比、溫度、波段的數(shù)學(xué)關(guān)系,并用于指導(dǎo)飛行器蒙皮積分輻射試驗(yàn),但研究結(jié)論沒有涉及光譜輻射強(qiáng)度。在流體流動和對流換熱領(lǐng)域,通過對控制方程組進(jìn)行無量綱化處理,可以推導(dǎo)得出一系列無量綱系數(shù),構(gòu)建相似理論用于指導(dǎo)模擬試驗(yàn)測試。但在輻射換熱領(lǐng)域,由于控制方程中存在普朗克定律這類超越函數(shù)方程,無法通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到無量綱系數(shù),因此輻射換熱領(lǐng)域不存在相似理論。

針對地面靜態(tài)模擬測量高空低溫飛行器蒙皮輻射特性試驗(yàn)中存在的等效一致性問題,本文從普朗克定律出發(fā),通過引入黑體光譜輻射能量分布函數(shù)和黑體積分輻射能量分布函數(shù),理論推導(dǎo)得出黑體光譜輻射強(qiáng)度、積分輻射強(qiáng)度與溫度、波長的數(shù)學(xué)關(guān)系,并進(jìn)行理論自洽驗(yàn)證。該數(shù)學(xué)關(guān)系的推導(dǎo)是為了揭示低溫、長波波段輻射強(qiáng)度與高溫、短波波段輻射強(qiáng)度之間的內(nèi)在聯(lián)系,構(gòu)建黑體在高空和地面不同溫度下輻射一致性的理論基礎(chǔ)。基于該數(shù)學(xué)關(guān)系,可以通過在地面狀態(tài)下測量高溫短波波段的輻射強(qiáng)度,推算出目標(biāo)在高空低溫狀態(tài)下長波波段的輻射強(qiáng)度,以實(shí)現(xiàn)地面靜態(tài)環(huán)境下對高空環(huán)境下飛行器蒙皮輻射特性的等效模擬測量。

1 光譜輻射強(qiáng)度天地一致性理論推導(dǎo)

高空飛行狀態(tài)下,飛行器蒙皮大部分區(qū)域溫度與環(huán)境溫度相當(dāng),由于氣動加熱和發(fā)動機(jī)熱源等因素影響,整個飛行器表面的蒙皮溫度是不均勻的。典型飛行器高空巡航狀態(tài)下蒙皮溫度分布如圖1所示。然而,若飛行器表面的蒙皮可以劃分成若干個網(wǎng)格,且網(wǎng)格劃分得足夠小的話,那么每個網(wǎng)格中的溫度(T1～T6)可以認(rèn)為是均勻的。

圖1 典型飛行器高空巡航狀態(tài)下蒙皮溫度分布示意圖

以蒙皮上任意一個網(wǎng)格微元為研究對象,假設(shè)該網(wǎng)格微元溫度為T,發(fā)射率為1,面積為A,同時其輻射特性滿足朗伯余弦定律,則該蒙皮微元的光譜輻射強(qiáng)度可以由普朗克定律計(jì)算得到[6]。其表達(dá)式為

式中:Ib,T,λ為溫度為T、面積為A的黑體在波長λ上的光譜輻射強(qiáng)度;c1為第一輻射常數(shù),其值為3.741 5×108W·μm4/m2;c2為第二輻射常數(shù),其值為1.438 79×104μm·K。

將式(1)對波長λ求偏導(dǎo)數(shù),并令導(dǎo)數(shù)等于零,可得

式中:λm為光譜輻射強(qiáng)度峰值對應(yīng)的波長。

將λmT作為一個變量,可以采用逐次逼近的數(shù)值算法求解,得到λmT=2 898.8μm·K。將該值帶入式(1)中,可以計(jì)算得到該蒙皮微元的峰值光譜輻射強(qiáng)度

式中:c3為常數(shù),其值為1.286 2×10-11W/(m2·μm·K5)。

定義黑體光譜輻射能量分布函數(shù)為溫度T的黑體在波長λ上的光譜輻射強(qiáng)度與峰值輻射強(qiáng)度的比值,即

將式(1)和式(5)帶入式(6),可以將黑體光譜輻射能量分布函數(shù)轉(zhuǎn)換為以λT為變量的函數(shù),即

分析式(7)可以發(fā)現(xiàn),黑體光譜輻射能量分布函數(shù)是關(guān)于λT的函數(shù),只要保證波長和溫度的積不變,即可保證黑體光譜輻射能量分布函數(shù)值不變,而不需要保證波長和溫度均不變。

基于黑體光譜輻射能量分布函數(shù)這一特點(diǎn),假設(shè)有兩個面積相同的黑體,黑體1的溫度為T,黑體2的溫度為黑體1的溫度的n倍,即nT。黑體1在波長λ1上的光譜輻射強(qiáng)度Ib,T,λ1與黑體2在波長λ2上的光譜輻射強(qiáng)度Ib,nT,λ2之比可表示為

式中:Ib,T,λm1表示溫度為T的黑體在波長λm1上的峰值光譜輻射強(qiáng)度;Ib,nT,λm2表示溫度為nT的黑體在波長λm2上的峰值光譜輻射強(qiáng)度。

如果保證兩個黑體的溫度和波長乘積相同,即λ1T=λ2nT,則有

那么,式(8)可以變換為

式(11)給出了波長和溫度乘積保持不變時,黑體在不同波長上的光譜輻射強(qiáng)度與波長、溫度的關(guān)系。該關(guān)系表明:溫度為T的黑體在波長λ上的光譜輻射強(qiáng)度等于溫度為nT的黑體在波長λ/n上的光譜輻射強(qiáng)度的(1/n)5。該數(shù)學(xué)關(guān)系構(gòu)成了黑體光譜輻射強(qiáng)度天地一致性理論。基于該理論,可以通過測量地面高溫環(huán)境下的黑體短波光譜輻射強(qiáng)度,推算出高空低溫環(huán)境下的黑體長波光譜輻射強(qiáng)度。

2 積分輻射強(qiáng)度天地一致性理論推導(dǎo)

仍然以圖1中飛行器蒙皮上任意一個網(wǎng)格微元為研究對象,設(shè)該網(wǎng)格微元溫度為T,發(fā)射率為1,面積為A。該網(wǎng)格微元在波長λ1～λ2范圍內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度[7]Ib,T,λ1～λ2可以通過對光譜輻射強(qiáng)度在該波長范圍內(nèi)積分得到,有

根據(jù)斯蒂芬-玻耳茲曼定律,對光譜輻射強(qiáng)度在波長0～∞范圍內(nèi)積分,可以得到該微元在全波長范圍內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度

式中:σ=π4c1/(15c2)為斯蒂芬-玻耳茲曼常數(shù),取值為5.669 7×10-8W/(m2·K)。

定義黑體積分輻射能量分布函數(shù)F(λT)為溫度T的黑體在波長0～λ范圍內(nèi)積分輻射強(qiáng)度與全波長范圍內(nèi)積分輻射強(qiáng)度的比值,即

分析式(14)可以發(fā)現(xiàn),黑體積分輻射能量分布函數(shù)是關(guān)于λT的函數(shù),只要保證波長和溫度的積不變,即可保證黑體積分輻射能量分布函數(shù)值不變,而不需要保證波長和溫度均不變。

基于黑體積分輻射能量分布函數(shù)這一特點(diǎn),假設(shè)有兩個面積相同的黑體,黑體1的溫度為T,黑體2的溫度為nT。黑體1在波長λ1～λ2范圍內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度Ib,T,λ1～λ2與黑體2在波長λ3～λ4范圍內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度Ib,nT,λ3～λ4之比可表示為

如果保證兩個黑體的溫度和對應(yīng)的波長范圍乘積相同,即λ1T=λ3nT、λ2T=λ4nT,則有

那么,式(15)可以變換為

式(20)給出了波長和溫度乘積保持不變時,黑體在不同波長范圍內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度與波長、溫度的關(guān)系。該關(guān)系表明,溫度為T的黑體在波長λ1～λ2范圍內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度等于溫度為nT的黑體在波長λ1/n～λ2/n范圍內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度的(1/n)4。該數(shù)學(xué)關(guān)系構(gòu)成了黑體積分輻射強(qiáng)度天地一致性理論。基于該理論,可以通過測量地面高溫環(huán)境下的黑體短波波段的積分輻射強(qiáng)度,推算出高空低溫環(huán)境下的黑體長波波段的積分輻射強(qiáng)度。

3 理論自洽驗(yàn)證

積分輻射強(qiáng)度是在一定波長范圍內(nèi)對光譜輻射強(qiáng)度進(jìn)行波長積分計(jì)算得到的。基于該定義,積分輻射強(qiáng)度和光譜輻射強(qiáng)度間的關(guān)系可以表示為

對式(21)等號右邊項(xiàng)進(jìn)行離散,將波長λ1～λ2范圍均勻離散為m個窄波段,分別計(jì)算每個窄波段內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度,并對m個窄波段內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度求和,式(21)可改寫為

式中:Δλ=(λ2-λ1)/m為離散的窄波段波長寬度。

式(11)給出了在波長和溫度乘積保持不變時,黑體光譜輻射強(qiáng)度與波長、溫度的關(guān)系。將式(11)帶入式(22),將式(22)等號右邊項(xiàng)中溫度為T、波長λ1～λ2范圍內(nèi)的光譜輻射強(qiáng)度Ib,T,λ1～λ2,轉(zhuǎn)換為溫度為nT、波長λ1/n～λ2/n范圍內(nèi)的光譜輻射強(qiáng)度Ib,nT,λ1/n～λ2/n,可以得到

上述理論自洽驗(yàn)證過程從積分輻射強(qiáng)度和光譜輻射強(qiáng)度的物理定義出發(fā),通過引入黑體光譜輻射強(qiáng)度與溫度、波長的數(shù)學(xué)關(guān)系,即式(11),數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出黑體積分輻射強(qiáng)度與溫度、波長的數(shù)學(xué)關(guān)系,即式(20),從理論自洽角度驗(yàn)證了黑體輻射天地一致性理論的正確性。

4 結(jié)論

本文在數(shù)學(xué)上構(gòu)建了黑體光譜輻射能量分布函數(shù)和黑體積分輻射能量分布函數(shù),并將其引入黑體輻射天地一致性問題研究中,推導(dǎo)得出了黑體輻射強(qiáng)度與溫度、波長的數(shù)學(xué)關(guān)系。在理論上,基于黑體輻射強(qiáng)度與溫度、波長的數(shù)學(xué)關(guān)系,構(gòu)建了黑體在高空和地面不同溫度下的輻射強(qiáng)度一致性理論。在方法上,基于黑體輻射天地一致性理論,提出了地面靜態(tài)模擬測量高空低溫飛行器蒙皮輻射特性的試驗(yàn)方法。

本文通過引入光譜輻射能量分布函數(shù)和積分輻射能量分布函數(shù),理論推導(dǎo)得出了黑體輻射能量與溫度、波長的關(guān)系,并進(jìn)行理論自洽驗(yàn)證。提出了在地面狀態(tài)下測量高空飛行器低溫蒙皮輻射特性的天地一致性理論,得到如下研究結(jié)論:

a) 溫度為T的黑體在波長λ上的光譜輻射強(qiáng)度等于溫度為nT的黑體在波長λ/n上的光譜輻射強(qiáng)度的(1/n)5;

b) 溫度為T的黑體在波長λ1～λ2范圍內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度等于溫度為nT的黑體在波長λ1/n～λ2/n范圍內(nèi)積分輻射強(qiáng)度的(1/n)4;

c) 基于黑體輻射天地一致性理論,可以通過測量地面高溫環(huán)境下黑體的短波輻射特性,根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系推算出高空低溫環(huán)境下黑體的長波輻射特性。