線性代數教學的探索與實踐

段中雨 孔彥玲

河南開封科技傳媒學院經濟學院 河南開封 475000

線性代數是理工科院校的一門公共必修課，是大一新生接觸的第一門代數類課程。有關線性代數的教學改革不斷推進，將線性代數教學改革成果融入教學實踐活動中，已在各高校相繼展開，教學改革成果不斷涌出。其中已發表的線性代數教學改革相關的研究論文中既有具體內容的教學改革討論[1-2]，也有對線性代數教學改革整體布局的研究[3-4]，還有著眼于哲學在線性代數中的引領作用的研究[5]。本文結合線性代數各章節內容以及代數學發展史，從教學實踐出發給出了線性代數教學改革中幾點思考和方向。

1 線性代數教學改革方向分析

線性代數作為自然科學類的一門基礎課程，是一門應用比較廣泛的課程，其理論和方法普遍應用于數學的各個分支，也是計算機科學、物理學、經濟學等學科不可或缺的基礎。因此，掌握和運用線性代數理論知識，對于理解其他數學分支，學習其他課程都是大有裨益的。但是，線性代數內容抽象、對學生的邏輯思維能力有一定的要求、不同章節之間有著密切的聯系，對于剛接觸線性代數課程的大一新生來說，難度較大。此外，進行教學改革既需要考慮課時多少，又要考慮學生接受程度，改革過程切忌生搬硬套，而應采取與時俱進的方法，達到“潤物細無聲”的效果，要想達到此種效果，教學改革任重而道遠。

線性代數課程有著豐富的內容，若能結合人才培養目標，積極挖掘線性代數知識點、線性代數發展史、線性代數原理背后蘊含的思想方法，把代數史、代數思想方法巧妙融入日常教學中，以知識內容為導向，課堂講授為著力點，并將其與課堂教學合理融為一體，則能起到“1+1>2”的效果。這樣既增加了課堂的吸引力，又潛移默化地培養了數學情懷，使學生感受數學之美，增強學習興趣。

首先，線性代數教學改革必須以實際效果為目標。并且，教學改革目標要定位準確，以線性代數教學大綱為基礎，進而不斷發掘代數思想方法，以代數史為主線，逐步形成各個章節協調配合、循序漸進最終達成線性代數課程培養目標。其次，要落實教學改革效果，通過不同的班級對比，以及成績、活躍度、課堂參與度等多個方面來評估教學改革的效果，建立切實有效的評估體系。最終不斷改進教學方法，以期達到線性代數課程教學目標。

2 教學改革的探索與實踐

2.1 發掘代數故事

學習數學課程，無論是專業數學還是公共數學，對于代數學歷史背景的了解是必要的，只有扎根于過去，才能培育出新的成果。然而，通常課程所介紹的僅僅是一些數學成就、數學片段，而沒有提及概念內容的目的，定理結論是如何探索得到的，以及數學知識是如何在生活中運用來改善我們的日常生活的。因此，在學習理論知識的過程中，應當系統地介紹學科發展脈絡，講解線性代數發展史，包括線性代數的起源、最初的研究對象，直到現代的發展方向。在這個過程中，可以用課前五分鐘，從代數史出發，按照代數學發展順序提供一個“課前講史平臺”，不僅使代數史與課程的內容彼此聯系，更能把線性代數課程與數學思想的發展聯系起來。讓學生體悟數學家克服艱難困苦，探索未知領域，最終經歷漫長艱苦的道路，開發新的理論過程，而不僅僅是淹沒在漫天的公式、命題和定理之中。在講到特定的概念，如行列式、向量組等重要概念時，則可以進一步展開說明這些概念的由來。此外，還可以布置課下任務，讓學生親身參與，了解數學家在科學和哲學思想的演進中的推動作用，了解他們對現代數學所產生的重要成果，進而培養數學情感。

借助代數史的發展，一方面可以講解清楚數學概念的由來，了解其產生的歷史背景。比如，在講解行列式時，可以介紹行列式的起源是17世紀，德國數學家萊布尼茨在求解方程組時，發現總是出現一些數相乘再相加或相減的情況，便想要通過簡單的數學符號來表示這一現象，于是行列式應運而生。隨后又經過克萊姆、貝祖、范德蒙德、拉普拉斯等數學家的研究，行列式既自成體系，又在方程組的求解等實際問題中發揮著巨大的作用。這樣，借助線性代數發展史，既講清楚了行列式的由來，又點明了行列式的本質是數。這樣讓學生在了解線性代數發展的基礎上，更好地理解線性代數概念的本質。

借助代數史的發展，另一個方面是介紹中國傳統數學成就和中國古代數學思想，讓學生感受中華民族先賢的璀璨思想，理解中國人民勤勞勇敢，開拓創新的拼搏精神，進而提升民族自信、文化自信。中國作為四大文明古國之一，在文化科學的多個方面取得了開創性的成果，其中數學成就占據著重要的地位，如用尺規畫出各種幾何圖形、用幻方培養數理邏輯、發現勾股定理、求解不定方程等，對世界數學發展產生了深遠的影響，這些都可以在線性代數課程教學中反映出來。比如在學習線性方程組時，可以用《九章算術》中記載的問題融入教學設計，進而引入消元法。以此為切入點，介紹方程組的求解，同時也指出，中國的《九章算術》中就已經出現方程組的求解方法，這是已知的世界上最早的求解方程組的方法，在代數學早期歷史上占有重要地位，而且《九章算術》在公元1世紀左右就提出了正負數的概念和正負數的運算法則，給出了一些二次方程的解法。讓學生從《九章算術》中感受中華民族先賢的獨特智慧和探索精神，進而增強文化自信以及民族自豪感。

此外，還可以介紹數學家的生平事跡，可以從個人鉆研，學而不厭，開拓創新以及合作交流等方面入手，借助樸素的世界觀方法論等，幫助學生培養基礎而深刻的數學素養。

2.2 借用代數思想和方法

數學是人類從古至今傳承而來的智慧結晶，而代數學則是其中的精髓之一，數學中的巨大成就背后蘊含著深刻的思想方法。線性代數中也蘊含著豐富的辯證法，如特殊與一般、對立與統一、現象與本質、理論與實踐等。在線性代數課堂中展現數學內在邏輯，揭示數學定理的本質，不僅有利于學生掌握科學的方法、感受數學之美，而且能夠提高學生的思辨能力?？茖W的思想方法是數學的靈魂，以此作為改革點能夠把理論知識和數學思想方法進行有效結合，既提高了學生對于線性代數課程的理解，又加強了學生對世界的認識以及三觀的塑造。因此，通過線性代數課程的學習，引導學生掌握知識背后蘊藏的思想方法是非常有意義的。

2.2.1 從特殊到一般的思想

在定義行列式時，首先給出的是二階、三階的行列式，只是通過計算的角度給出了行列式的初印象，進而介紹一般的n階行列式，這種從特殊到一般的思想，在線性代數的學習中時常用到。其一般步驟為從客觀具體的現象出發，抓住主要特征，進而抽象出數學概念，總結出一般規律，最終通過科學的方法證明，得到定理、結論等。這種思想滲透在線性代數的方方面面。比如，在方程組的求解中，也是從一個特殊的方程組求解出發，進而總結出科學的方法——消元法，最后應用于一般方程組的求解。啟發學生，探索問題可以從特殊情況出發，進而得到一般的真理。

2.2.2 對立統一的思想

在向量組的線性相關性章節中，首先定義了向量組線性相關的概念，接著立即給出了向量組線性無關的概念，并指出向量組要么線性相關要么線性無關，兩者之間是非此即彼的關系。以此為切入點，分析線性代數中很多概念都存在對立統一的關系，它們彼此之間既相互排斥、相互獨立，又相互依存、相互聯系，并且在一定的條件下又可以相互轉化。正是這種對立面之間的統一和斗爭推動著學科的不斷發展和進步，以此，鼓勵學生要站在“對立統一”的辯證角度來看待問題。

2.2.3 現象與本質

在二次型的學習中，最主要的問題是判別二次型的正定性。因此，需要借助多種方法化二次型為標準形。這個過程就采用了透過事物現象來研究問題本質的思想方法。無論是配方法，還是正交變換法都實現了化繁為簡，找出了問題的本質，把握事物的本質之后，一切正定性的判別問題就迎刃而解。啟發學生在解決問題時，把握核心部分，忽略次要部分，把問題轉化為相對簡潔的形式，進而解決問題。

2.2.4 理論與實踐相結合的思想

各門科學都是以現實為基礎，又都反映著現實，線性代數也不例外。線性代數課程理論性較強，學生經常遇到學習抽象理論和實際應用相矛盾的情況，應注意理論與實踐相結合的思想。在掌握線性代數理論知識的基礎上，可以用理論知識與自身學科相結合來解決一些實際問題。例如，矩陣的特征值在實際中的應用。矩陣的特征值和特征向量不僅在研究矩陣對角化中起著關鍵作用，而且在量子力學、經濟學、化學等領域有著重要的影響。例如，在經濟學中研究進出口總額與國內生產總值、總消費、存儲量之間的關系時，在數據處理時，采用主成分估計就是基于特征值與特征向量理論[6]。啟發學生要把理論知識應用到實踐中去，注重理論與實踐相結合。

線性代數注重數學理論的探究，具有諸多樸素的辯證法思想，注重一般規律。只有讓學生對線性代數的思辨性有了深刻的認識，才能夠擺脫模糊不清的、約定俗成的部分，進而對線性代數有簡明清晰的可靠的理解。通過線性代數中蘊含的思想方法，可以從思辨能力、科學精神、創新思維等方面入手，引導學生分析問題時，要多方面觀察，尋找解決問題的可能性和可行性。

2.3 采取“線上+線下”教學模式

隨著信息技術的飛速發展，現階段的學習需要線上線下相結合的學習情景，線上學習時學生之間、師生之間缺乏面對面交流。學生有更多的時間接觸網絡信息，而大學生思想不夠成熟，易被錯誤信息誘導。部分學生作息混亂，對封閉式管理產生抵觸情緒，這些情況對線性代數日常教學工作提出了新的挑戰。線性代數課程的講授應把握當下形勢，改變單純的課堂講授的教學方式，而教學改革，也應該采取靈活的方式，借助便捷的互聯網環境，設計出切實可行的“線上+線下”的教學模式，為單調的理論課程增加人文關懷，引導學生調節自身情緒。首先，在發揮線下課堂主陣地外，也要把握課外師生交流這一教學改革的重要戰場，針對“線上+線下”混合式教學的特點，需要加強師生之間的交流溝通，教師可以通過調查問卷、投票等多種形式進行互動，了解學生對教學改革方式的認可程度。其次，還應建立課前挖掘教學方法、課堂潛移默化傳播代數思想、課后進階鞏固理論知識的三位一體的教學改革體系。同時，要合理運用共享資源，可以借助雨課堂、超星學習平臺等學習APP，發布電子教案、課件、教學視頻，以此來進行教學互動[7]。這樣既可以讓學生獲得專業知識，又把代數思想、社會主義核心價值觀、中華優秀傳統文化等內容傳遞給了學生，進而提升這些社會主義未來接班人的思想水平和視野。這種采用傳統講授與信息化教學相結合的教學方式來設計課堂教學，就建立起了一種課前、課中、課后全方位的教學新模式。在探索線性代數教學改革多元化教學方法中，將價值引領與知識傳授相融合，依托線性代數在線課程建設網絡平臺，充分發揮網絡平臺的強大功能和作用，同時借助學習APP平臺數據，分析學生課堂學習情況，及時接收教學改革成果，量化教學改革效果。

通過“線上+線下”的教學模式，不僅順應課堂理論教學與互聯網融合的時代環境，而且增加了教學吸引力，加強了師生良性互動，進一步拓展了線性代數課程的影響力。

結語

線性代數教學改革任重道遠，在線性代數課程內容中融入代數史和代數思想方法，仍然需要不斷地在潤物細無聲中實現價值引領。通過以上這些探索和實踐，在線性代數課程教學內容設計、教學方法選取、教學實踐展開等環節將改革方法融入實際教學，在這個過程中要注重實際的教學效果，而不是形式。教學改革應以課堂、課程為起點，激發學生學習興趣，培養數學思維，最終達到“立德樹人”的目的。如何把線性代數教學改革做得更好，仍需要不斷優化教學布局，完善課程體系，進行切實有效的探索和實踐。