抓住本質連續追問,引領學生深度思考
——以一堂高三試卷評講課為例

毛 閏 謝 強

(重慶市第八中學校)

學會深度思考不僅是學生自身需要具備的素質,同時也是教師在數學教學過程中的重要一環.筆者基于一堂高三試卷評講課,通過設置問題串,逐步引導學生學會思考,最終尋求路徑幫助學生學會運用數學思維實現對數學問題的深度思考.

1.問題引出

無論接受教育的人將來從事的工作是否與數學有關,數學學習的終極培養目標都可以描述為,會用數學的眼光觀察世界,會用數學的思維思考世界,會用數學的語言來表達世界.在本質上,這“三會”就是高中階段的數學學科核心素養,是超越具體數學內容的教學目標,所以如何引領學生深度思考,具有持續的數學思考力,將數學思考與數學知識有機融合起來,是數學教育者所面臨的重要問題.

教師是教的主體,教師應該引導學生自主探究發現知識,成為學生學習的組織者、合作者與幫助者;學生是學的主體,學生應該在教師的引領下,積極地探究、發現、掌握知識,構建新的認知結構.教學是教師和學生雙向互動的過程,在課堂中只有教師與學生共同探究學習,才能實現高效課堂.作為一名教師,筆者從學生實際和個性化差異出發,分別對高三年級部分學生問卷調查、訪談了解,最后通過分析,認為高三學生在學習上現存的一些困惑和困難.主要包括以下情況:對于基礎比較薄弱的同學,可能會出現上課想聽但聽不懂,課后想鞏固卻不知所措;對于基礎一般的同學,上課聽得懂但自己做題不知從何處下手,遇到難點卻不知所措,或者艱難理解參考答案直至放棄;對于基礎較好的同學,上課聽得懂,自己做題感覺也良好但仍會出錯,遇到難點知道如何思考卻浮于表面.

故筆者基于一堂高三試卷評講課,通過設置問題串,層層遞進,啟發學生如何思考并解決數學問題,逐步讓學生撥云見日,實現深度思考.

2.案例分析

筆者所在學校的某次周末檢測選用了2022年武漢市二調的12題,該題有一定難度,筆者所教授的班級雖然基礎較好但本題均分僅有1.58分,而且只有1人完整選出答案,有14位同學得0分.雖然本題難度較大,但是該題是一個非常經典的立體幾何綜合題目,加之本題對學生的直觀想象、數學抽象等核心素養有很強的滲透作用,所以筆者花了一節課的時間來評講此題.試題如下:三棱錐A-BCD各頂點均在表面積為20π的球體表面上,AB=CB=2,∠ABC=120°,∠BCD=90°,則

( )

A.若CD⊥AB,則CD=2

B.若CD=2,則CD⊥AB

通過與學生的交流,發現本題對于學生存在以下幾個難點:其一,不會畫圖;其二,圖畫出來后不知道D點的軌跡,即使有的同學知道D點的軌跡是一個圓,也仍然不知如何分析.基于以上兩點,筆者設計了以下問題串,連續追問,一步步引領學生抓住本質,實現深度思考,最終解決問題.

2.1審題——作圖識圖

問題1:結合題目信息,請問如何畫圖呢?

分析1:可以結合題目條件,先畫出草圖,同時結合條件修正圖形.

問題2:通過條件,結合草圖分析,哪些點或者量是確定的,哪些是動態的?

分析2:結合草圖發現,三角形ABC是確定的,三棱錐A-BCD的外接球O的半徑是確定的.因此,可以把球O看成一個定球,三角形ABC在球O中所處的位置也是相對固定的,故唯一的動點是D點.

問題3:思考哪個條件決定D點的位置?D點的位置如何確定?

分析3:考慮到∠BCD=90°這個條件沒有用上,再加上這是涉及到D點的“明示”的條件,故D點的位置由此條件確定,所以D點在過C點且垂直于BC的平面α上運動.另外一個涉及到D點的明示條件是“三棱錐A-BCD各頂點均在表面積為20π的球體表面上”,結合平面α截球得到的圖形為一個圓,所以可知D點的軌跡為一個圓(除去C點),記為圓M.

設計意圖:立體幾何的難點之一就是學生不會作圖和識圖,通過這三個問題層層遞進,引導學生從不知所措到漸明真相,從畏縮不前到敢于嘗試.對處理動態問題依托動靜結合,明確哪些量是變化的,哪些量是不變的,然后引導學生明白D點的軌跡,做到心中有圖,同時在這個過程中浸潤直觀想象、數學抽象等數學核心素養.

2.2破題——聯想整合

問題4:球心O到平面ABC與平面α的距離如何確定呢?

問題5:平面α與平面ABC有何關系?

分析5:如圖1,由于BC⊥平面α,BC?平面ABC,故平面α⊥平面ABC.

圖1

問題6:已知兩個平面垂直,最為重要的是去尋求什么呢?

分析6:兩個平面垂直,重要的是尋求其交線,然后利用面面垂直的性質定理解決問題.因為平面α⊥平面ABC,故兩個平面的交線CF是解決問題的關鍵.

問題7:當空間中不好研究D點的軌跡的變化規律時,如何更清晰地認知呢?

分析7:如圖2,抽象出D點的軌跡,將空間立體幾何問題轉化為平面幾何問題,同理也可以用類似的方法認知圓E所在平面的線與交線CF的關系,如圖3,抽象出圓E.

圖2

圖3

問題8:球心O到M的距離是多少?圓M的半徑為多少?

設計意圖:學生雖然知道了D點的軌跡,但是仍然不知如何分析,主要原因在于對空間圖形認知還不夠清晰,所以需要學生將需要研究的空間立體幾何對象抽象為平面幾何,把立體幾何與平面幾何結合起來,學生就能夠非常清晰地認知到D點的變化對整個問題的影響,從而破解此題.

2.3解題——細致嚴謹

問題9:CD的長度如何變化?CD=2有幾種情況?

問題10:如何研究AD的長度?能否求其長度的取值范圍呢?

問題11:三棱錐A-BCD的體積如何研究?其體積有無最小值呢?

設計意圖:徹底理清D點的軌跡變化后,就需要細致嚴謹地解決題中的數學問題,結合題意從選項出發將本題給學生解釋清楚.

2.4深思——深挖細究

問題12:除了用上述辦法外,還有沒有其他解法呢?

問題13:題中條件能否精簡,或加強一下?這樣變化后對D點的運動軌跡有何影響?你還可以提出哪些問題?如何解答?

設計意圖:本題除了從幾何角度認知外,不難發現還可以從代數角度來認知,所以可以建立空間直角坐標系來解決,引導學生學會思考一題是否有多解.同時提出一些更有難度的問題,也引領學生自己探索提出問題,培養學生發現問題、提出問題、解決問題的能力,從而進一步引領學生深度思考.只不過問題13相對刁鉆,需要花費時間較多,所以布置成作業讓學生課后探究,然后將比較好的問題及解決方案在班級展示.

2.5遷移——變式訓練

設計意圖:結合試題出現的問題和思考角度,筆者選擇一些經典的高考題作為課堂變式訓練,方便學生舉一反三,將所學進一步鞏固提升.

3.反思總結

3.1聯系條件,緊扣問題

結合數學家波利亞的《怎樣解題》,啟發筆者講解過程中注意引導學生“四問”:問題是什么?條件是什么?怎么樣把問題與條件聯系起來?還有哪些條件沒有用?

這個做法雖然看似簡單,但是對于思考數學問題,我們不難看出一些通性通法,筆者認為學生遇到數學問題不知如何思考,或者知道一點點但途中會“卡殼”,出現這些問題最根本的原因在于學生沒有掌握思考數學問題的法門,所以教師在課堂中應該關注如何引領學生學會思考數學問題.首先,要讓學生時刻牢記要解決什么樣的數學問題,題中告訴了哪些條件?聯系問題對條件進行翻譯,同時思考解決這些問題等價轉化為思考什么問題?同時還要提醒學生如果“卡殼”時,要習慣性地再想想是否還有條件沒有用上?如果條件都用完了,再引導學生思考是否還有條件轉化得不夠充分.

3.2連續追問,抓住本質

對于思考數學問題,在條件翻譯清楚之后,如果不搞清楚是用什么樣的理論依據來解決這個問題的,那么我們解決這個問題的思路就是模糊的.即使僥幸把問題解決對了,但對于培養自己的數學思考力的作用非常微小,所以就容易出現一種情況,學生上課感覺聽懂了但是自己做題時還是要出錯,考試時感覺非常好但實際成績略顯尷尬,而且學生自身沒有意識到問題根源所在,將錯題簡單的歸因于粗心.實際上錯誤的原因不只是粗心這么簡單,而是學生在做題時根本沒有考慮解決這個數學問題的理論依據或數學原理是什么.

因此,對于教師而言,如何引導學生養成深度思考的習慣,就需要要求學生“知其然,知其所以然,何以知其所以然”,故在課堂中,教師應該充分調動學生的主觀能動性,激發起學生的好奇心以及學生對真理執著深入探尋的品質,這就需要教師引導學生思考數學問題時不能想當然地認為怎么處理就隨意為之,而是需要思考解決這個數學問題應該立足于什么樣的理論依據?這個理論依據蘊含哪些內容?用這個理論依據需要滿足什么條件?根據題中這些條件用這個理論依據可不可行?

3.3破繭成蝶,深度思考

通過以上分析,我們引導學生從題目的條件和問題設置出發,步步為營,深度挖掘題目背后所蘊含的數學原理和數學思想,從而進一步對某一類型的題目進行挖掘,達到舉一反三的學習效果.同時我們也要積極引導學生進行深度思考,進一步將題目吃透,將數學問題和數學原理、數學思想融會貫通,進行知識遷移,獲得具有普遍意義上的一類數學問題的解答路徑.

總體來說,引領學生進行深度思考,需要教師引領學生面臨數學問題時有這樣的思維:

一是敢于思考和發問,題為什么要這樣設問,能不能問其他問題;為什么要這樣解答,還有沒有其他解法;

二是進一步發散思維,進行知識與方法的遷移,這種解法能不能解決多種問題,或者對于這一類問題是不是均有效;

三是進一步深度思考,并學會逆向思考,為什么要告訴這些條件,條件能否加強或者進一步精簡.能否將問題或者條件放開,將問題或結論做一般化推廣?思考其逆命題——問題和條件互換是否依然成立?