一道斜面上物體的動力學問題解析與變式

董廷燦

(安徽省明光中學)

斜面上物體的動力學問題,一直是高中物理力學中的重難點,在高考和平時的考試中經常會涉及。本文通過一道典型例題,求解分析并加以變式,供各位老師和同學們參考。

【原題】一斜劈靜止于粗糙的水平地面上,在其斜面上放一滑塊m,若給m一個向下的初速度v0,則m正好保持勻速下滑。如圖1所示,現在m下滑的過程中再加上一個力,則以下說法正確的是

圖1

( )

A.在m上加一豎直向下的力F1,則m將保持勻速運動,M對地沒有摩擦力的作用

B.在m上加一個沿斜面向下的力F2,則m將做加速運動,M對地有水平向左的靜摩擦力的作用

C.在m上加一個水平向右的力F3,則m將做減速運動,在m停止前M對地有向右的靜摩擦力的作用

D.無論在m上加什么方向的力,在m停止前M對地都無靜摩擦力的作用

一、問題的解決

1.物體沿斜面勻速下滑的條件

當物體放在傾角為θ的斜面上剛好能勻速下滑,對其受力分析如圖2所示。

圖2

由平衡條件可得f=mgsinθ=μFN,FN=mgcosθ,解得μ=tanθ。

由上式可以得出:如果一個物體恰好可以在斜面上勻速下滑,那么減小或者增大物體的質量后物體照樣可以恰好在斜面上勻速下滑(見圖3),即物體能沿斜面下滑與物體的質量無關,只與物體和斜面間的動摩擦因數有關。

圖3 原來能沿斜面勻速下滑的物體上再輕放一個重物,仍勻速下滑

接下來繼續討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。對物塊和斜面系統受力分析如圖4所示。

圖4

由平衡條件得F地=(M+m)g,f地=0。

也可以直接對斜面(除去地面的摩擦力后)進行受力分析如圖5所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關系,從而確定f地的方向。

圖5

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ=tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地=0;地面對斜面的支持力F地=FNcosθ+fsinθ+Mg=(M+m)g。

2.給原來勻速下滑的物體施加一個豎直向下的力,物體仍能勻速下滑

給原來勻速下滑的物體施加一個豎直向下的力F1,對物體進行受力分析如圖6所示。

圖6

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=(mg+F1)cosθ

在沿著斜面方向上,得

f=μFN=(mg+F1)tanθcosθ=(mg+F1)sinθ

它恰好等于重力和力F1沿斜面向下的分力的合力,因此物體恰能沿斜面勻速下滑(見圖7)。

圖7 給原來能沿斜面勻速下滑的物體上施加一個豎直向下的力,仍勻速下滑

接下來繼續討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。對物塊和斜面系統受力分析如圖8所示。

圖8

由平衡條件得F地=F1+(M+m)g>(M+m)g,f地=0。

也可以直接對斜面(除去地面的摩擦力后)進行受力分析如圖9所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關系,從而確定f地的方向。

圖9

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ=tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地=0;地面對斜面的支持力F地=FNcosθ+fsinθ+Mg=F1+(M+m)g。

3.給原來勻速下滑的物體施加一個沿斜面向下的力,物體將勻加速下滑

給原來勻速下滑的物體施加一個沿斜面向下的力F2,對物體進行受力分析如圖10所示。

圖10

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=mgcosθ

結合摩擦力和正壓力的關系f=μFN

在沿著斜面方向上,由牛頓第二定律得

mgsinθ+F2-f=F2=ma

因此物體沿斜面勻加速下滑(見圖11)。

圖11 給原來能沿斜面勻速下滑的物體上施加一沿斜面向下的力,物體將勻加速下滑

因為斜面的受力情況沒有發生改變,所以與不加力F2的情況完全相同。即F地=(M+m)g,f地=0。

4.給原來勻速下滑的物體施加一個水平向右的力,物體將勻減速下滑

給原來勻速下滑的物體施加一個水平向右的力F3,對物體進行受力分析如圖12所示。

圖12

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=mgcosθ+F3sinθ

結合摩擦力和正壓力的關系

f=μFN=μ(mgcosθ+F3sinθ)

在沿著斜面方向上,由牛頓第二定律得

mgsinθ-F3cosθ-f=ma

圖13 給原來能沿斜面勻速下滑的物體上施加一水平向右的力,物體將勻減速下滑

接下來繼續討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。因為物塊和斜劈的運動狀態不一致,所以不建議選取整體作為參考系。對斜面(除去地面的摩擦力后)進行受力分析如圖14所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關系,從而確定f地的方向。

圖14

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ=tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地=0;地面對斜面的支持力F地=FNcosθ+fsinθ+Mg=(M+m)g+F3tanθ>(M+m)g。

【點評】通過以上討論可得:當物塊勻速下滑時,在物塊上施加不同方向的外力F,有可能會改變物塊的運動狀態;但在物塊向下運動的過程中,斜面的受力個數相同,即只受重力、物塊對斜面的壓力、物塊對斜面的摩擦力、地面的支持力,不受地面的摩擦力。故原題選AD。

二、問題的延伸

1.斜面上的物體在未加力F時勻加速下滑

未加力F時,且當物體沿斜面勻加速下滑時,突然加上如圖1所示的三種力時情況又如何呢?

(1)物體沿斜面勻加速下滑的條件

當物體放在傾角為θ的斜面上以加速度a勻加速下滑時,對其受力分析,由牛頓第二定律可得mgsinθ-μmgcosθ=ma,解得a=g(sinθ-μcosθ)>0;進一步得到μ

由上式可以得出:如果一個物體沿斜面方向勻加速下滑,那么減小或者增大物體的質量后,物體照樣以同樣的加速度沿斜面方向勻加速下滑(見圖15),即物體能沿斜面下滑與物體的質量無關,只與物體和斜面間的動摩擦因數有關。

圖15 原來能沿斜面勻加速下滑的物體上再輕放一個重物,仍能以相同加速度勻加速下滑

接下來繼續討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。先把物塊的加速度水平、豎直分解如圖16所示,再對物塊和斜面系統受力分析如圖17所示。

圖16

圖17

對系統由牛頓第二定律得

豎直方向上(M+m)g-F地=masinθ

解得F地=(M+m)g-masinθ

水平方向上f地=macosθ

也可以直接對斜面(除去地面的摩擦力后)進行受力分析如圖18所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關系,從而確定f地的方向。

圖18

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ

(2)給原來勻加速下滑的物體施加一個豎直向下的力,物體將以更大的加速度勻加速下滑

給原來勻加速下滑的物體施加一個豎直向下的力F1,對物體進行受力分析,由牛頓第二定律可得

(mg+F1)sinθ-f=ma′

FN-(mg+F1)cosθ=0

f=μFN

由上面三式解得

這說明物體的加速度與豎直向下施加的力F1有關,施力后物體的加速度將增大,與給物體增加質量不再等價。

接下來繼續討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。先把物塊的加速度水平、豎直分解如圖19所示,再對物塊和斜面系統受力分析如圖20所示。

圖19

圖20

對系統由牛頓第二定律得

豎直方向上(M+m)g+F1-F地=ma′sinθ,

解得F地=(M+m)g+F1-ma′sinθ

水平方向上f地=ma′cosθ

也可以直接對斜面(除去地面的摩擦力后)進行受力分析如圖21所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關系,從而確定f地的方向。

圖21

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ

(3)給原來勻加速下滑的物體施加一個沿斜面向下的力,物體將以更大的加速度勻加速下滑

給原來勻加速下滑的物體施加一個沿斜面向下的力F2,對物體進行受力分析,

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=mgcosθ

結合摩擦力和正壓力的關系f=μFN

在沿著斜面方向上,由牛頓第二定律得

mgsinθ+F2-f=ma′

由以上三式解得

這說明物體的加速度與沿斜面向下施加的力F2有關,施力后物體的加速度將增大。

因為斜面的受力情況沒有發生改變,所以與不加力F的情況完全相同,即F地=(M+m)g-masinθ<(M+m)g;f地=ma′cosθ,方向水平向左。

(4)給原來勻加速下滑的物體施加一個水平向右的力,物體可能沿斜面減速、勻速或者以更小的加速度勻加速下滑

給原來勻加速下滑的物體施加一個水平向右的力F3,對物體進行受力分析。

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=mgcosθ+F3sinθ

結合摩擦力和正壓力的關系

f=μFN=μ(mgcosθ+F3sinθ)

在沿著斜面方向上,由牛頓第二定律得

mgsinθ-F3cosθ-f=ma′

接下來繼續討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ

【點評】通過以上討論可得:當物塊勻加速下滑時,在物塊上施加不同方向的外力F,有可能會改變物塊的運動狀態;但在物塊向下運動的過程中,斜面的受力個數相同,即受重力、物塊對斜面的壓力、物塊對斜面的摩擦力、地面的支持力和地面的摩擦力;地面對斜面的摩擦力方向不變。

2.斜面上的物體在未加力F時勻減速下滑

未加力F,且當物體沿斜面勻減速下滑時,突然加上如圖1所示的三種力時情況又如何呢?

(1)物體沿斜面勻減速下滑的條件

當物體放在傾角為θ的斜面上以加速度a勻減速下滑時,對其受力分析,由牛頓第二定律可得μmgcosθ-mgsinθ=ma,解得a=g(μcosθ-sinθ)>0;進一步得到μ>tanθ。

由上式可以得出:如果一個物體沿斜面方向勻減速下滑,那么減小或者增大物體的質量后,物體照樣以同樣的加速度沿斜面方向勻減速下滑(見圖22),即物體能沿斜面下滑與物體的質量無關,只與物體和斜面間的動摩擦因數有關。

圖22 原來能沿斜面勻減速下滑的物體上再輕放一個重物,仍能以相同加速度勻減速下滑

接下來繼續討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。先把物塊的加速度沿水平、豎直方向分解如圖23所示,再對物塊和斜面系統受力分析如圖24所示。

圖23

圖24

對系統由牛頓第二定律得

豎直方向上F地-(M+m)g=masinθ,

解得F地=(M+m)g+masinθ

水平方向上f地=macosθ

也可以直接對斜面(除去地面的摩擦力后)進行受力分析如圖25所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關系,從而確定f地的方向。

圖25

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ>tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地≠0且方向水平向右。

(2)給原來勻減速下滑的物體施加一個豎直向下的力,物體將以更大的加速度勻減速下滑

給原來勻減速下滑的物體施加一個豎直向下的力F1,對物體進行受力分析,由牛頓第二定律可得

f-(mg+F1)sinθ=ma′

FN-(mg+F1)cosθ=0

f=μFN

由上面三式解得

這說明物體的加速度與豎直向下施加的力F1有關,施力后物體的加速度將增大,與給物體增加質量不再等價。

接下來繼續討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。先把物塊的加速度水平、豎直分解如圖26所示,再對物塊和斜面系統受力分析如圖27所示。

圖26

圖27

對系統由牛頓第二定律得

豎直方向上F地-(M+m)g-F1=ma′sinθ,

解得F地=(M+m)g+F1+ma′sinθ

水平方向上f地=ma′cosθ

也可以直接對斜面(除去地面的摩擦力后)進行受力分析如圖28所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關系,從而確定f地的方向。

圖28

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ>tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地≠0且方向水平向右。

(3)給原來勻減速下滑的物體施加一個沿斜面向下的力,物體可能沿斜面加速、勻速或者以更小的加速度勻減速下滑

給原來勻減速下滑的物體施加一個沿斜面向下的力F2,對物體進行受力分析,由牛頓第二定律得

μmgcosθ-mgsinθ-F2=ma′

因為斜面的受力情況沒有發生改變,所以與不加力F的情況完全相同,即F地=(M+m)g+masinθ>(M+m)g;f地=macosθ,方向水平向右。

(4)給原來勻減速下滑的物體施加一個水平向右的力,物體將以更大的加速度勻減速下滑

給原來勻減速下滑的物體施加一個水平向右的力F3,對物體進行受力分析。

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=mgcosθ+F3sinθ

結合摩擦力和正壓力的關系

f=μFN=μ(mgcosθ+F3sinθ)

在沿著斜面方向上,由牛頓第二定律得

F3cosθ+f-mgsinθ=ma′

解得

這說明物體的加速度與水平向右施加的力F3有關,施力后物體的加速度將增大。

接下來繼續討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。

【解析】因為fcosθ=μFNcosθ>tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地≠0且方向水平向右;地面對斜面的支持力F地=FNcosθ+fsinθ+Mg。

【點評】通過以上討論可得:當物塊勻減速下滑時,在物塊上施加不同方向的外力F,有可能會改變物塊的運動狀態;但在物塊向下運動的過程中,斜面的受力個數相同,即受重力、物塊對斜面的壓力、物塊對斜面的摩擦力、地面的支持力和地面的摩擦力;地面對斜面的摩擦力方向不變。

三、另辟蹊徑

若只需定性判斷地面對斜面體的摩擦力方向,則可通過摩擦角的角度去分析。

1.什么是摩擦角

當物體處于滑動的臨界狀態時,靜摩擦力Ff達到最大值Fm,此時支持力FN與最大靜摩擦力(或滑動摩擦力)Fm的合力FR稱為接觸面對物體的全反力,FR方向與FN方向的夾角φ稱為摩擦角。

2.利用摩擦角解決斜面定性分析問題

圖29

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圖31

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圖34