“動態(tài)圓”模型在磁場中的應(yīng)用題型突破

孫德成

(山東省威海市文登區(qū)教育教學(xué)研究中心)

帶電粒子在磁場中的運(yùn)動問題是高考命題中常涉及的一種情境,其中的“動態(tài)圓”模型在磁場中的應(yīng)用題型對考生的空間想象能力、幾何作圖能力要求較高。為了培育學(xué)生的空間想象能力和幾何作圖能力,化難為易,本文通過歸類分析,將解決這類問題的思維方法進(jìn)行類比整合、深度剖析,以完善高中學(xué)生物理儲備,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣,提升學(xué)生運(yùn)用幾何知識解決實(shí)際問題的能力,從而培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探究的物理學(xué)科素養(yǎng)。

解決“動態(tài)圓”模型在磁場中的應(yīng)用題型可歸結(jié)為三種方法:放縮圓法、平移圓法、旋轉(zhuǎn)圓法。本文精選例題和遷移訓(xùn)練,分別對這三種方法加以闡述。

一、放縮圓法

【例1】如圖1所示,A、B為水平放置的足夠長的平行板,板間距離為d=1.0×10-2m,A板上有一電子源P,Q點(diǎn)在P點(diǎn)正上方B板上,在紙面內(nèi)從P點(diǎn)向Q點(diǎn)發(fā)射速度在0～3.2×107m/s范圍內(nèi)的電子。若垂直紙面內(nèi)加一勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度B=9.1×10-3T,已知電子質(zhì)量m=9.1×10-31kg,電子電荷量q=1.6×10-19C,不計(jì)電子重力和電子間的相互作用力,且電子打到板上均被吸收,并轉(zhuǎn)移到大地,求電子擊在A、B兩板上的范圍。

圖1

【解析】本例題中電子的速度方向一定,速度大小變化,所以在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡圓的半徑由零逐漸變大,所有軌跡圓的圓心在同一條直線上,將半徑放縮作出軌跡圓示意圖如圖2所示

圖2

求得rmax=2d=2×10-2m

電子恰好未擊中B板時(shí)半徑為

r=d=1×10-2m

電子打在A板上的范圍是圖中的PH段

PH=2d=2×10-2m

電子打在B板上的范圍是MN段

【思維點(diǎn)撥】采用“放縮圓法”解題的適用條件是:帶電粒子的速度方向一定,速度大小不同;軌跡圓的圓心特點(diǎn)是:所有圓心共線。界定方法是:以入射點(diǎn)為定點(diǎn),圓心位于過入射點(diǎn)的直線上,將半徑放縮作軌跡圓,從而探索出臨界條件,這種方法稱為“放縮圓法”。

【遷移訓(xùn)練1】如圖3所示,在POQ區(qū)域內(nèi)分布有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場,磁場方向垂直于紙面向里,有一束正離子流(不計(jì)重力),沿紙面垂直于磁場邊界OQ方向從A點(diǎn)垂直邊界射入磁場,已知OA=d,∠POQ=45°,離子的質(zhì)量為m、帶電荷量為q、要使離子不從OP邊射出,離子進(jìn)入磁場的速度最大不能超過多少?

圖3

【解析】該題中的帶電粒子滿足“放縮圓法”解題的適用條件:帶電粒子的速度方向一定,速度大小不同,軌跡圓的圓心共線,因此可以采用“放縮圓法”求解該題。

利用“放縮圓法”作出不同半徑的圓,如圖4所示,離子進(jìn)入磁場的速度最大時(shí)對應(yīng)的臨界狀態(tài)是:在磁場中做圓周運(yùn)動的軌跡圓剛好與PO邊相切。

圖4

二、旋轉(zhuǎn)圓法

【例2】如圖5所示,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場垂直于紙面向里,PQ為該磁場的右邊界線,磁場中有一點(diǎn)O到PQ的距離為r?，F(xiàn)從O點(diǎn)以同一速率將相同的帶負(fù)電粒子向紙面內(nèi)各個(gè)不同的方向射出,它們均做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動,求帶電粒子打在邊界PQ上的范圍(粒子的重力不計(jì))。

圖5

【解析】本例題中帶電粒子的速度大小不變,所以在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑不變;入射點(diǎn)固定,速度方向改變,所以做圓周運(yùn)動的軌跡圓的圓心共圓,通過做旋轉(zhuǎn)圓[如圖6(PQ右側(cè)有磁場)、圖7(滿足題意PQ右側(cè)沒有磁場)],找到兩個(gè)臨界位置(如圖8),進(jìn)而獲得帶電粒子打在邊界PQ上的范圍(如圖8)。

圖6

圖7

圖8

圖8中M、N是兩個(gè)臨界點(diǎn)

OM=2r,∠OMN=30°

【思維點(diǎn)撥】采用“旋轉(zhuǎn)圓法”解題的適用條件是:帶電粒子的速度大小一定,速度方向不斷改變,帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡圓的半徑不變,圓心在同一個(gè)圓周上。界定方法是:根據(jù)帶電粒子的速度大小求出半徑大小,以該半徑為圓的半徑、以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)從而探索粒子的臨界條件,這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓法”。

( )

圖9

A

B

C

D

【答案】A

【解析】該題中的帶電粒子滿足“旋轉(zhuǎn)圓法”解題的適用條件:帶電粒子的速度大小一定,速度方向不斷改變,帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡圓的半徑不變,圓心在同一個(gè)圓周上,所以以R為半徑、以入射點(diǎn)為圓心將圓進(jìn)行旋轉(zhuǎn)如圖10所示。

圖10

三、平移圓法

圖11

【解析】本例題中帶電粒子的速度大小和方向都保持不變,所以在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓的大小不變,由于發(fā)射裝置發(fā)射出的帶電粒子進(jìn)入磁場的入射點(diǎn)在同一條直線上,所以不同位置的帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的軌跡圓圓心在同一條直線上,通過計(jì)算可確定出臨界位置:軌跡圓與OP邊相切,此時(shí)軌跡圓與OQ邊恰好也相切(如圖12);通過平移圓(如圖13)得出粒子從OQ邊射出的區(qū)域長度x。

圖12

圖13

【思維點(diǎn)撥】采用“平移圓法”解題的適用條件是:帶電粒子的速度大小和方向都一定,射入磁場的入射點(diǎn)在一條直線上,在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡圓的圓心在一條直線上。界定方法是:根據(jù)帶電粒子的速度大小求出半徑大小,將該半徑的圓進(jìn)行平移,這種方法稱為“平移圓法”。

圖14

【解析】該題中的帶電粒子滿足“平移圓法”解題的適用條件:帶電粒子的速度大小和方向都一定,射入磁場的入射點(diǎn)在一條直線上,在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡圓的圓心在一條直線上。

代入速度得r=d

以r=d作圓并進(jìn)行平移,如圖15所示

圖15

當(dāng)粒子從A點(diǎn)入射時(shí)軌跡圓恰好與OP邊相切,不會進(jìn)入Ⅱ區(qū)域

所以粒子至少在距離O點(diǎn)3d處射入磁場不會進(jìn)入Ⅱ區(qū)域。

四、結(jié)語

在高三的一輪復(fù)習(xí)中,“動態(tài)圓”模型在磁場中的應(yīng)用題型是學(xué)生感覺比較棘手的一類題型,解決該類題型的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用上面總結(jié)的“放縮圓法” “旋轉(zhuǎn)圓法” “平移圓法”,利用動態(tài)思維,找準(zhǔn)臨界位置,根據(jù)粒子的速度特點(diǎn),確定做圓周運(yùn)動的軌跡圓的半徑特點(diǎn),同時(shí)根據(jù)題干中給定的限定條件畫出臨界位置的軌跡,確定好臨界位置的圓心,最后根據(jù)幾何關(guān)系求出結(jié)果。

2020年1月,教育部考試中心頒布《中國高考評價(jià)體系》,“一核四層四翼”成為高考新要求,重視情境載體,尤其關(guān)注與創(chuàng)新相關(guān)度高的能力和素養(yǎng),比如獨(dú)立思考能力、發(fā)散思維、逆向思維等;優(yōu)化考試內(nèi)容,突出立德樹人導(dǎo)向,重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力;創(chuàng)新試題形式,加強(qiáng)情境設(shè)計(jì),注重聯(lián)系社會生活實(shí)際,增加綜合性、開放性、應(yīng)用性、探究性試題。