面向航空結構低頻振動的力電耦合超材料板設計

沈顯邦，易凱軍，*，景旭貞，劉智元，朱睿

1．北京理工大學 宇航學院，北京 100081

2．中國空間技術研究院 總體設計部，北京 100098

振動會對飛機產生諸多負面影響，如使結構出現疲勞與損傷、產生噪聲影響乘機環境、干擾機載敏感設備工作等，特定情況下甚至可能導致飛機解體，因此振動控制對飛機的安全性、舒適性等都至關重要。

機身結構的振動主要來源于發動機的振動以及外部流動引起的振動等。由于機身以薄壁板殼結構為主，而彎曲波是板結構中最容易被激發的波，也是最重要的能量攜帶波，振動主要以彎曲波的形式在機身結構中傳遞。因此，控制結構中的彎曲波傳播是抑制機身振動的有效手段。結構中波動傳輸控制的常規方法是在結構表面敷設阻尼材料吸收彈性波。然而，受飛機附加質量和空間約束限制，阻尼材料對低頻彈性波的抑制效果有限，彈性波的低頻振動控制仍缺少有效手段。

21 世紀初提出的聲波/彈性波超材料為低頻彈性波控制提供了新思路。聲波/彈性波超材料最先由中國香港學者提出［1］，其利用局域共振效應，在低頻范圍實現負的等效參數產生禁帶，阻隔彈性波傳播，因此被廣泛探索用于梁、板、殼等工程結構的減振設計［2-4］。然而，超材料在工程中用于低頻減振依然存在一些難以克服的問題。首先，超材料實現低頻禁帶需要引入較大額外質量，并且引入的質量隨著頻率的降低而增加，雖然縮減附加在結構上的諧振子個數可減少附加質量，但禁帶阻隔彈性波完全消除共振的效果可能減弱（甚至消失），僅能利用諧振子的阻尼效應降低共振幅值［5-6］。其次，由于強頻散特性，局域諧振產生的帶隙狹窄，無法實現寬頻的減振效果。另外，基于機械諧振子的被動超材料設計加工完后，禁帶位置很難再更改，無法根據裝備所處的工況和環境做出自適應的調整。這些缺點嚴重限制了被動超材料在工程中的應用。針對禁帶窄的問題，研究者提出了一些解決方案，如設計含黏彈阻尼材料的多頻共振單元［7-8］，或者利用慣性放大機構增加質量的慣性效應［9］。然而，多頻共振單元會進一步增加系統的質量和體積；慣性放大機構復雜，實際使用受限。

近年來，基于壓電材料和分流電路的力電耦合超材料受到越來越多的關注。力電耦合超材料能夠利用外部分流電路來調節等效材料參數，從而可以在不破壞彈性結構完整性、不增加過多額外質量的前提下實現對波動的調控，因此具有突破前文所述被動超材料不足的潛力。Thorp 等［10］最先利用諧振電路分流的壓電陣列設計了力電耦合超材料梁。其基本元胞由基底梁結構、壓電片以及諧振分流電路組成。研究表明，諧振電路通過壓電材料的力電耦合效應作用在超材料梁上，在宏觀上實現了禁帶的效果。通過調節電路的參數即可實現對禁帶位置甚至作用范圍的調控。與機械局域共振引起的禁帶類似，諧振電路導致的禁帶同樣可以出現在亞波長范圍，因此諧振分流力電耦合超材料可用于低頻振動噪聲抑制［11-14］。雖然，諧振分流力電耦合超材料的禁帶在較大頻率范圍內可調，然而其禁帶依然狹窄，單次只能抑制一階振動模態，工程中很多情況下結構多個模態會被激發，需要同時能抑制多個振動模態的方法。因此，如何拓寬低頻禁帶成為力電耦合超材料研究中的關鍵問題之一。Fan 等［15］利用負電容電路來拓寬禁帶范圍，結果表明有效。Wang 等［16］通過增強電路諧振效果，一定程度上擴大了禁帶的作用范圍，提高了禁帶內的波衰減效果。Li L 等［17］將連接不同壓電作動器的電路通過一定方式互聯，在低頻得到了耦合禁帶。Li X P 等［18］利用反饋控制策略來自適應調節機械振子的剛度，獲得了更寬的低頻禁帶。Yi等［19］利用數字電路編程使得超材料梁不同單元中的電路諧振頻率在空間上成梯度變化實現較寬頻的禁帶效果。Wang［20］、Sugino［21］和Yi［22］等同樣利用數字電路和精細設計的控制傳函，在超材料結構中獲得了多重禁帶效果，達到拓寬禁帶有效范圍的目的。此外，Yi等［23］將負電容與電感諧振電路組合，有效拓寬了超材料梁中的低頻禁帶。

本文將負電容和電感諧振電路組合用于拓寬力電耦合超材料板結構中的低頻禁帶，實現低頻寬帶的振動抑制效果。通過理論分析獲得力電耦合超材料板等效抗彎剛度的解析表達式，在此基礎上揭示負電容拓寬超材料板禁帶的機制、研究負電容對禁帶范圍的調控規律，最后數值驗證力電耦合超材料板的低頻寬帶減振效果。

1 力電耦合超材料板設計

1.1 力電耦合超材料板模型

圖1 為力電耦合超材料板及其單元的示意圖，每個單元由基底板、粘貼在板結構上下表面由壓電陶瓷制成的壓電片（PZT）及跟壓電片相連的分流電路組成，分流電路的阻抗用Zsu表示。壓電片極化方向與z軸同向，壓電片與板粘接的表面電極接地。單元中，上下壓電片及其覆蓋的基底板形成的三明治結構部分用A表示，其余部分用B表示。lp、lb、hp、hb分別為基底板和壓電片的寬度和厚度。

圖1 力電耦合超材料板及其單元示意圖Fig.1 Sketch of electromechanical coupled metamaterial plate and its unit

將負電容與電感組合用于拓寬低頻禁帶。負電容C0和電感L元件可以串聯或者并聯，如圖2 所示，其中，PZT 用一個電流源和常應變下的固有電容Csp并聯等效表示。兩種分流電路對應的阻抗Zsu如表1 所示，同時，表1 中也給出了純電感分流電路的阻抗，其中j為虛數單位；ω為角頻率。

圖2 兩種分流電路配置Fig.2 Two shunts configurations

表1 不同分流電路的阻抗Table 1 Impedance of different shunts

1.2 等效抗彎剛度

力電耦合超材料板的等效抗彎剛度主要通過3 步獲得。首先，獲得連接分流電路的壓電片的等效拉伸模量和泊松比；其次，利用經典層合板理論得到單元中壓電片與基底板形成的三明治結構（在圖1 單元中用A指示的部分）的等效材料參數；最后，結合有效介質理論確定整個單元的等效剛度。

首先研究單元中接入分流電路的壓電片的等效材料參數。壓電片可以視為各向同性薄板，基于平面應力狀態假設和亞波長假設，其等效拉伸模量Ep和泊松比νp為

式中：Escp、νscp分別為短路時壓電片的等效拉伸模量和泊松比為壓電片拉伸機電耦合系數；d31為壓電常數；εt33為常應力下介電常數；Cpt=為常應力下壓電片固有電容；Ap為壓電片面積

作為主體結構的單層板假設為各向同性材料，其抗彎剛度DB為

式中：Eb為板拉伸模量；νb為板泊松比；h為板厚。單元中被壓電片覆蓋的三明治結構部分A可視為3 層對稱各向同性層合板，基于經典層合板理論，可得到A區域的等效抗彎剛度為

通過有效介質理論，結合A區域的等效抗彎剛度DA及其余區域B的等效抗彎剛度DB，可得整個單元的等效抗彎剛度Deff為

式中：χ=l2pl2b為壓電片覆蓋率為壓電片短路時的抗彎剛度。

將表1 中電路阻抗的具體表達式代入式（5）中，即可得到壓電片分別連接純電感電路、負電容-電感串聯電路以及負電容-電感并聯電路時力電耦合超材料板的等效抗彎剛度。

2 負電容拓寬禁帶的機制

以往關于電感分流力電耦合超材料梁的研究表明，電路的諧振效應導致超材料梁的等效抗彎剛度出現負值，從而產生禁帶［23］。研究負電容對力電耦合超材料板等效抗彎剛度的影響效果，以此揭示負電容拓寬板中禁帶的機制。

2.1 理論模型的驗證和修正

在具體分析負電容拓寬禁帶的機制前，需要對式（5）的準確性進行驗證。具體方法為：將式（5）得到的等效抗彎剛度為負的頻率范圍與利用數值方法計算得到的禁帶范圍進行對比。禁帶的數值計算方法介紹如2.1.1 節所述。

2.1.1 禁帶的數值計算方法

根據復能帶理論，波數有較大虛部的頻率范圍即可認為是禁帶［24］。考慮力電耦合超材料板的周期性，利用布洛克理論（Bloch Theory），復能帶的計算只需要使用圖3 所示的單元。其中，ΩA和ΩB分別為壓電片和基底板區域；St、Sb和Sl分別為壓電片上電極（接分流電路）、下電極（接地）和壓電片側面。

圖3 單元示意圖Fig.3 Representation of unit cell

在頻域中，單元的波動控制方程為

式中：w為位移矢量；x為空間位置矢量；V為電極電壓；ρ為密度；C為彈性張量；e為耦合張量；εs為常應變下介電常數張量；(·)T表示轉置；?symw=1 2(?wT+w?T)，控制方程式（6）需要滿足的電場邊界條件為

式中：D為電位移矢量；n為出平面方向單位法向量；q0為電路電荷。

根據布洛克理論，式（6）的解可假設為

式 中：k=k[cosθsinθ0]T=kΘ為 波 矢，k為 波 數；為布洛克幅值矢量，下標n表示第n個波模態；θ為波矢與x軸的夾角，代表波的傳播方向。布洛克幅值是周期函數，也就是布洛克幅值具有以下周期特性：

式中：P=[P1P2]T為單元的周期性向量，P1、P2為單元在x、y方向上的長度；m為一整數。

將式（8）代入式（6）中得

將 式（10）投 影 到 測 試 函 數上 并 進 行 積分，結合邊界條件式（8）、式（9），可獲得弱形式：

式中：V0n，k為壓電片上表面電極的電壓；Ω表示整個單元區域，即壓電片加基板；ε為格林應變張量；（）表示對應參數在測試函數中的投影。

利用有限元方法可將以弱形式表達的式（11）離散得到特征值求解方程：

式中：特征值λ=jk；矩陣M、H、K以及L的具體表達式可參見文獻［25］。

給定波的傳播方向θ，先針對不同的頻率ω求解特征值問題式（12），然后利用關系k=-jλ即可得到頻散曲線。

在低頻范圍，薄板中主要存在縱波、剪切波和彎曲波。以700 Hz 為例，圖4 對比了這3 種波的振型，可見彎曲波的振動以出平面位移為主，而其他兩種波以面內振動為主，因此確定彎曲波的篩選標準為

圖4 縱波、剪切波和彎曲波的振型對比Fig.4 Comparison between vibration modes of longitudinal wave， shear wave and bending wave

式中：u、v、w分別為x、y、z軸方向位移。

根據篩選標準，從計算得到的曲線中分離出彎曲波的頻散曲線，對其進行分析，找到波數虛部不為零的區域即為禁帶。

2.1.2 理論模型準確性的驗證與修正

假設壓電片接入純電感分流電路，覆蓋率χ=0.8 時超材料板理論等效抗彎剛度為負的頻率范圍和有限元仿真得到的禁帶范圍的對比如圖5（a）所示，其中k為彎曲波波數，Im（k）為波數的虛部，計算中使用的其他材料與幾何參數見表2。從圖5（a）中可以看出等效抗彎剛度為負的頻率范圍與禁帶之間存在差異，這一差異可以通過修正理論固有電容消除。

表2 單元材料與幾何參數Table 2 Unit material and geometric parameters

圖5 純電感分流電路中理論和數值禁帶范圍修正前后對比Fig.5 Comparison between theoretical and numerical bandgap before and after correction when only inductance is in circuit

假設修正后的固有電容為Cs*p=τCsp，τ為 固有電容的修正系數。通過調整τ的值，即可改變等效抗彎剛度為負的頻率范圍。等效抗彎剛度為負的頻率范圍中心與禁帶中心重合時的τ值可作為修正系數。利用上述方法得到的修正系數τ=0.988。

圖5（b）對比了修正后的負等效抗彎剛度范圍和禁帶范圍，可以看出兩者基本吻合，說明修正壓電片電容后的理論模型能夠準確的預測禁帶的范圍。

2.2 負電容對等效抗彎剛度的影響

不失一般性，以電感串聯負電容電路為例來研究負電容拓寬禁帶的機制。圖6 對比了負電容具有不同取值時超材料板負等效剛度的頻率范圍，α=C0Csp為無量綱負電容值?？梢钥闯?，通過改變負電容的取值，有效地拓寬了負等效剛度的頻率范圍，因此能夠獲得更寬的禁帶。為了設計負電容值獲得想要的寬頻禁帶，第3 節將進一步分析負電容對禁帶寬度和位置的調控規律。

圖6 負電容對負抗彎剛度范圍的拓寬效果Fig.6 Broadening effect of negative capacitance on negative bending stiffness range

3 負電容對禁帶范圍的調控規律

3.1 負電容穩定區域

由于負電容是主動電路，在某些情況下會引起穩定性問題，在實際應用中必須避免。因此，在分析負電容對禁帶范圍的調控規律之前，必須先研究負電容的穩定區域。

力電耦合超材料板的穩定性條件為當ω=0時超材料板等效抗彎剛度為正。利用此穩定性條件即可獲得負電容的穩定區域。結果表明，不管負電容與電感串聯還是并聯，其穩定區域都可用式（14）表示：

3.2 禁帶范圍的解析表達式

第2 節的研究結果表明，壓電片固有電容修正后，理論獲得的等效抗彎剛度為負的頻率范圍與禁帶范圍基本重合。因此，令式（5）中Deff＜0 得到壓電片外接負電容-電感串聯電路或負電容-電感并聯電路時禁帶范圍的解析表式，可以用來方便的分析負電容對禁帶范圍的調控規律。

對于電容-電感串聯電路，禁帶范圍的解析表達式如式（15）和式（16）所示，其中式（15）和式（16）分別對應負電容α位于左、右穩定區域的情況。對于負電容-電感并聯電路，負電容α分別位于左、右穩定區域時，禁帶范圍的解析表達式為

從式（15）～式（18）可以看出，禁帶范圍與壓電材料泊松比νscp、壓電片拉伸機電耦合系數k31、剛度比γ、覆蓋率χ以及負電容α這5 個無量綱參數有關。改變負電容α能夠改變禁帶范圍和位置，具體的調控規律將在3.3 節分析。

3.3 禁帶范圍的電路參數分析

利用式（15）～式（18）來分析負電容值對禁帶范圍的調控規律，單元的材料和幾何參數如表2所示。從式（15）～式（18）可以看出，壓電片覆蓋率χ=1 或者χ＜1 時，禁帶上下界的表達式有較大的區別，說明覆蓋率很可能顯著影響負電容對禁帶范圍的調控規律。因此，考慮3 種不同情況下的壓電片的長寬（26.0、30.1、33.6 mm，對應的覆蓋率χ分別為0.6、0.8、1.0），探究不同覆蓋率下負電容對禁帶范圍的調控規律。

首先研究負電容與電感串聯的情況。當負電容α在左穩定區時，禁帶上下界和寬度隨負電容的變化規律如圖7 所示。其中，圖7（a）～圖7（c）為 覆 蓋 率χ分 別 為0.6、0.8 和1.0 時 禁帶上下界的變化規律；圖7（d）體現了3 種覆蓋率下引入負電容對禁帶范圍的拓寬倍率。從圖7 可以看到，隨著|α|減小，即負電容向非穩定區靠近時，禁帶的上下邊界同時向高頻移動，上邊界比下邊界上升的更快，導致禁帶寬度增加。對比3 種不同覆蓋率的情況可以看出，χ=0.6時拓寬倍率最高。

圖8 為負電容α在右穩定區變化時對禁帶上下界和寬度的影響規律。可以看出，隨著|α|增大向非穩定區靠近，禁帶上下邊界同時向低頻移動，下邊界下降得更快，因此禁帶寬度增加。對比不同覆蓋率的情況可以發現，χ的大小主要影響禁帶上邊界隨負電容的變化速度，χ越接近1，上邊界隨負電容的變化越不明顯，能夠產生的禁帶越寬。值得注意的是在圖8（d）中，χ=1.0 時拓寬倍率最高，與圖7（d）中左穩定區域結果相反。

圖7 串聯且負電容位于左穩定區時禁帶上下界和寬度隨α 的變化規律Fig.7 Variation of bandgap upper and lower boundaries and width along with α when negative capacitance is in series and in left stable zone

圖8 串聯且負電容位于右穩定區時禁帶上下界和寬度隨α 的變化規律Fig.8 Variation of bandgap upper and lower boundaries and width along with α when negative capacitance is in series and in right stable zone

對于負電容與電感并聯的情況，圖9 和圖10為α分別在左、右穩定區內變化時對禁帶的調控特性。從圖9 中可以看出，隨著|α|減小，禁帶寬度先增加后減小，負電容值存在一個最佳值使得禁帶寬度最大。從圖10 中可以看出，隨著|α|增大，禁帶上界增加，下界基本保持不變，因此，禁帶寬度明顯增加。覆蓋率與拓寬倍率的規律分別與圖7、圖8 類似。

圖9 并聯且負電容位于左穩定區時禁帶上下界和寬度隨α 的變化規律Fig.9 Variation of bandgap upper and lower boundaries and width along with α when negative capacitance is in parallel and in left stable zone

圖10 并聯且負電容位于右穩定區時禁帶上下界和寬度隨α 的變化規律Fig.10 Variation of bandgap upper and lower boundaries and width along with α when negative capacitance is in parallel and in right stable zone

造成左右穩定區域覆蓋率與拓寬倍率規律不同的原因在于：α位于左穩定區中時，純電感禁帶對覆蓋率更為敏感，χ增加時負電容拓寬禁帶的增長速度不如純電感禁帶，使拓寬倍率變?。沪廖挥谟曳€定區中時則相反，負電容拓寬禁帶對覆蓋率更為敏感，χ越大，拓寬倍率越高。

由圖7～圖10 的結果可以看出：

1）負電容越靠近非穩定區，能夠產生的禁帶越寬，對于負電容電感串聯情況，理論上禁帶可拓寬10 倍以上，對于并聯情況禁帶可拓寬20倍以上。

2）為了得到寬頻禁帶，負電容既可以與電感串聯也可以并聯，負電容值即可從左穩定區選取也可從右穩定區選取，只要其取值在非穩定區附近即可獲得較寬的禁帶。

3）對于禁帶寬度，壓電片覆蓋率越大，能夠獲得的禁帶越寬；對于負電容電路的拓寬倍率，則需要根據穩定區域進行分析。工程中需要減振的頻率范圍一般是確定的，通過負電容設計即能滿足要求，可以優化設計壓電片的覆蓋率使其最小化。

上述結論可用于指導力電耦合超材料板設計，實現低頻寬帶的減振效果。

4 低頻寬帶減振效果的數值驗證

通過數值算例驗證禁帶的低頻寬帶減振效果。實際中，通常需要針對某一確定頻段進行減振。第3 節的結果表明，要設計一個覆蓋指定頻率范圍的禁帶實現減振效果，負電容既可以與電感串聯也可以并聯。在下文的研究中以負電容-電感串聯并且負電容值在右穩定區間為例，驗證低頻寬帶的減振效果。

在COMSOL Multiphysics 軟件中建立力電耦合超材料板的有限元模型，如圖11 所示，包含6×6 個單元。單元中壓電片覆蓋率χ=0.9（對應基底板和壓電片寬度lb=50 mm、lp=47.5 mm），其他參數與表2 中一致。在板中心a點施加垂直板面的簡諧激勵，研究b點的響應。

圖11 力電耦合超材料板仿真模型Fig.11 Electromechanical coupled metamaterial plate model in numerical simulation

假設需要抑制板500～1 000 Hz 內的振動，也就是設計的禁帶上下界分別為500、1 000 Hz。選擇負電容-電感串聯電路，并且負電容在右穩定區間。根據式（16）可以計算得到需要的電感和負電容分別為L=-0.07H、α=-0.6。實際中的電導線和器件不可避免存在電阻效果，因此，在有限元仿真中，在電路中引入一個電阻（R=50 Ω），與負電容-電感電路串聯。

圖12 為連接不同電路時b點位移的頻響曲線，紅色陰影部分為純電感電路禁帶范圍，藍色陰影區域為負電容-電感串聯電路禁帶范圍。壓電片短路的情況代表振動控制前的結果，純電感電路代表未加入負電容時的響應，這兩者均作為參考。對比分析可以看出，負電容-電感分流力電耦合超材料板能夠在目標頻率范圍獲得很好的振動抑制效果。

圖12 不同電路配置下的頻響曲線Fig.12 Response curves under different circuit conditions

5 結 論

針對航空結構低頻抑振難題，通過將負電容電路引入力電耦合超材料板，推導了板等效抗彎剛度的解析表達式并進行了修正；研究了負電容對板中禁帶的拓寬機制，表明負電容可以拓寬超材料板等效剛度為負的區域，從而實現禁帶的拓寬；分析了負電容對禁帶范圍和位置的影響規律，表明負電容取值越靠近非穩定區域，產生的禁帶越寬，對于負電容電-感串聯情況，理論上禁帶可拓寬10 倍以上，對于并聯情況禁帶可拓寬20倍以上；通過有限元算例證明引入負電容能夠在低頻范圍內實現很好的寬頻振動抑制效果。

利用禁帶可以阻斷振動傳遞路徑達到減振的目的，例如，飛機發動機振動通過機翼向機身傳遞，將機身與機翼連接部位用本文提出的力電耦合超材料設計，阻隔機翼低頻振動向機身的傳遞，可以顯著降低機身振動，提高飛機的安全性和舒適性。