閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣

陳亦佳，李志成

（玉溪師范學院 數(shù)學與信息技術學院，云南 玉溪 653100）

0 引 言

實數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間的緊致性，使閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有許多豐富性質(zhì)，例如有界性、最值性、介值性及一致連續(xù)性.開區(qū)間和半開區(qū)間是非緊致的，其上的連續(xù)函數(shù)就未必具有上述性質(zhì).本文主要在閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的基礎上，把緊致的閉區(qū)間推廣到非緊致的開區(qū)間、半開區(qū)間和無限區(qū)間.另一方面，實變函數(shù)是數(shù)學分析的繼續(xù)、深化和推廣，基于實變函數(shù)，我們可以進一步把區(qū)間推廣到可測集，把連續(xù)函數(shù)推廣到可測函數(shù)，得到在可測集上可測函數(shù)的性質(zhì).基于上述分析，本文得到了幾個不同形式的閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣，并分別給出了他們的證明，使閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)得到了豐富.下面介紹本文所涉及的定理和引理：

有界性定理[1]若函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 連續(xù)，則函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 上有界，即，有

最值性定理[1]若函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 連續(xù)，則函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 能取到最小值m和最大值M，即，使且，有

定義1[2]設E是一個實數(shù)子集.若對任何實數(shù)子集A有

則E稱為Lebesgue 可測集，或簡稱可測集.

定義2[2]設函數(shù)f的定義域是可測集D.若對任何實數(shù)α，集合

是可測集，則稱f是D上的可測函數(shù).

定義3[2]設是Rn中一族開集.如果，則{Gλ}稱為E的一個開覆蓋.若E的任一開覆蓋中存在有限個開集仍構成E的一個開覆蓋，則E稱為緊集.

引理1[2]設f在可測集D上可測，則存在D上的簡單函數(shù)列，使對每一收斂于f(x) .此外：

（i）當f非負時，對每一單增收斂于f(x) ，

（ii）當f有界時，在D上一致收斂于f(x) .

引理2[2]設F是一個緊集，是一列沿F連續(xù)的函數(shù).若在F上一致收斂于f，則f也沿F連續(xù).

引理3[2]設f是可測函數(shù)D上的簡單函數(shù).則對任何ε＞0 ，有沿D連續(xù)的函數(shù)f*使

Egoroff 定理[2]設f和都是測度有限的集D上的幾乎處處有限的可測函數(shù).若fn在D上幾乎處處收斂于f，則對任何ε＞0 ，有D的閉子集F，使，并且fn在F上一致收斂于f.

1 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)推廣到開區(qū)間及無限區(qū)間

定理1函數(shù)f(x) 在開區(qū)間(a,b) 上連續(xù)，且，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)上有界.

證明由于，則由局部有界性，或，有

又由于f(x) 在上連續(xù)，由有界性定理可知，，有

定理2設函數(shù)f(x) 在區(qū)間( -∞,b) 上連續(xù)，且，則f(x)在區(qū)間( -∞,b)上有界.

證明由于，則由局部有界性，?M1＞0 ，?δ＞0 ，對于，有

類似可證：

推論1函數(shù)f(x) 在區(qū)間(a, +∞) 上連續(xù)，且則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, +∞)上有界.

推論2函數(shù)f(x) 在區(qū)間( -∞, +∞) 上連續(xù)且則函數(shù)f(x)在區(qū)間( -∞, +∞)上有界.

定理3設函數(shù)f(x) 在開區(qū)間(a,b) 上連續(xù)，且則

證明（1）將函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 上作連續(xù)開拓，令

則F(x) 是[a,b] 上的連續(xù)函數(shù)，從而F(x) 在[a,b] 上可取得最大值.不妨設最大值為，由已知條件可知，

則f(x) 在(a,b) 內(nèi)的1x處取到最大值.

（2）另一方面，由于F(x) 是[a,b] 上的連續(xù)函數(shù)，所以F(x) 在[a,b] 上可取得最小值.不妨設最小值為F(x2)，.由已知條件可知，

則f(x) 在(a,b) 內(nèi)的2x處取到最小值.

定理4函數(shù)f(x) 在無窮區(qū)間( -∞,b) 上連續(xù)，且則

證明（1）由則對于，?X＞0 ，當x＜-X時，有

將函數(shù)f(x) 在[ -X,b]上作連續(xù)開拓，令

由于F(x)在[ -X,b]連續(xù)，則F(x)在[ -X,b]存在最大值M.

若f(ξ1)＜M，則

若f(ξ1)=M，則

將函數(shù)f(x) 在[ -X,b]上作連續(xù)開拓，令

由于F(x)在[ -X,b]連續(xù)，則F(x)在[ -X,b]存在最小值m.

若f(ξ2)＞m，則

若f(ξ2)=m，則

類似可證：

推論3若函數(shù)f(x) 在無窮區(qū)間(a, +∞)上連續(xù)，并則

推論4若函數(shù)f(x) 在無窮區(qū)間( -∞, +∞)上連續(xù)，且為有限值），則

2 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)推廣到可測集上的可測函數(shù)

定理5設f是可測集D上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則對任何ε＞0 ，有沿D連續(xù)的函數(shù)f* ，使并且

證明不失一般性設f在D上處處有限.先設是有界可測集，由引理4，有D上的簡單函數(shù)列使得

現(xiàn)對每一n≥1 ，由引理6，存在沿D連續(xù)的函數(shù)使得

令

則

再由引理5，f沿F連續(xù).構造函數(shù)f* ，由于是開集，其中開區(qū)間族兩兩不相交.定義

則顯然f作為F上的函數(shù)可以開拓成沿D的連續(xù)函數(shù)f* ，且

此時

從而

和

對一般的D?R，此時對每一整數(shù)n，令

則Dn都是有界的.從而由上段證明，對每一n，存在Dn的閉子集Fn，使f沿Fn連續(xù)，并且

則f作為F上的函數(shù)可以開拓成D上的連續(xù)函數(shù)f* ，使

并且

從而

和

類似可證：

推論5若f是[a,b] 上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則對任何ε＞0 ，有[a,b] 上連續(xù)函數(shù)f* ，使并且

3 結 論

對連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的研究是數(shù)學分析最基本、最核心的知識點之一，因此這個課題研究一直都很熱門，也很有意義.本文在前人的研究基礎上，探討把閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)推廣到開區(qū)間或無窮區(qū)間.實變函數(shù)是數(shù)學分析的繼續(xù)、深化和推廣，本文又基于實變函數(shù)理論.利用Lebesgue 測度理論，把連續(xù)函數(shù)推廣到可測函數(shù)，把區(qū)間推廣到可測集.并得到幾個不同形式的推廣，并進行嚴格證明，使閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)得到推廣，使之應用更為廣泛.