問題驅動，向數學更深處漫溯

汪若梅

［摘 要］問題驅動是深度學習數學的有效途徑，教師要帶領學生深度學習，就要善于使用問題，調動學生的學習積極性。教師要優化課堂教學設計、教學環境與教學方法，并在數學與生活之間建立起“通道”，讓學生在深度學習中減負增效，以此讓學生的數學素養自然生長。

［關鍵詞］問題驅動；深度學習；圓的認識

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）05-0066-04

“問題驅動”“深度學習”是當前教育教學中的熱點詞匯，但目前對于“問題驅動”“深度學習”的研究大多是站在教學模式與教學方法的角度開展的，缺乏對學生的關注。本文以“圓的認識”教學為例來探究該問題，教學中以學生為主體，教師圍繞學生提出具有挑戰性的問題，精心設置問題情境，引發學生的認知沖突，促使學生積極思考、深度探究、解決問題。

一、引發沖突，提出核心問題

1.嘗試操作，以問題指明探究方向

問題一：你能想辦法畫一個圓嗎？借助身邊的工具畫一畫。

問題二：利用這些工具，你能畫出任意大小的圓嗎？

教師要重視學生直接經驗的形成。教師可根據學生的年齡特征和認知規律，通過操作、游戲等豐富多彩的活動，引導學生在實際情境中發現、提出數學問題并進行探究，讓學生逐步養成從數學角度觀察世界的習慣，同時培養學生的好奇心、想象力和創新意識。

教師提出“你能想辦法畫一個圓嗎？借助身邊的工具畫一畫?！钡膯栴}引導學生探究畫圓的方法。有的學生利用水杯底部畫圓，有的學生利用膠帶畫圓，但更多學生用圓規畫圓。

教師以第二個問題“利用這些工具，你能畫出任意大小的圓嗎？”引導學生用圓規畫出任意大小的圓。用圓規畫圓的過程正是圓的本質特征直觀顯現的過程。

整個活動設計以畫圓工具的變化促使學生思考圓的本質。

2.關鍵活動，以問題促進深入體驗

問題三：為什么用圓規畫出的圓這么規范？

問題四：有的同學為什么畫不圓？

創設關鍵活動，激發學生的學習興趣，使學生主動探究和發現解決問題的策略。在教學活動中，教師應融合學習方法的指導與興趣的培養，引導學生找到適合自己的學習方式。

在用圓規畫圓的環節中，很多學生能順利畫圓且能流暢地說出自己是怎么畫的，不過他們不一定理解為什么用圓規能畫得這么圓。因此，教師現場抓取素材，展示學生畫的不規范的圓，并提出問題：“有的同學為什么畫不圓？”學生找“畫不圓”的原因時，其思維被激活，積極主動地思考圓的本質特征。

生1：他畫的圓的中間有好多洞，說明他的針尖動了。

生2：他畫的圓的邊線有點亂，說明圓規兩腳間的距離不固定。

生3：我要補充，用圓規畫圓的時候最好抓著圓規上面，不能抓著圓規的腳，不然很容易控制不好，那就畫不圓了。

師：怎樣才能畫得圓？

生4：針尖的位置不能移動，圓規兩腳之間的距離不能變。

雖然學生的語言不太規范，但還是表達出了自己的想法，這些想法都源于學生已有的活動經驗。每個學生都樂于思考且有話可說，由學生自己感悟進而總結出來的結論，比教師直接解說更有價值。

二、合作交流，整合探究性問題

1.疑難知識，以問題促進深度思考

問題五：為什么有的同學畫的圓在紙的上半部分，有的同學畫的圓在紙的下半部分呢？

問題六：為什么有的同學畫的圓大，有的同學畫的圓小呢？

問題是啟發思維的源泉。在質疑問難中可以調動學生閱讀、思考、主動獲取知識的積極性，從而發展學生的思維。因此，教師在深度教學中要抓住學生的疑問點和知識的疑難點，引導學生在真實情境中發現、提出問題，改造、重組、重新解釋自己的經驗和認知，激發深層次的思考，在質疑問難中積累經驗。

現場抓取的學生作品，有很多不同形態的圓。教師用兩個問題“為什么有的同學畫的圓在紙的上半部分，有的同學畫的圓在紙的下半部分呢？”“為什么有的同學畫的圓大，有的同學畫的圓小呢？”促進學生進一步思考圓心與半徑的作用，讓學生理解“圓心決定了圓的位置，半徑決定了圓的大小”。在學生學習直徑的概念后，讓他們用實踐操作理解直徑的含義。在這個環節，教師緊抓核心概念，利用問題引導學生透過現象看本質，培養學生思維的概括性和深刻性。如果教師先問：“什么叫圓心？什么叫半徑？什么叫直徑？”這類問題雖然直逼核心，但是缺乏價值和延伸性，因為這些概念的字面意思學生都能理解，所以不利于學生對所學內容進行深層次挖掘。

2.關注體驗，以問題促進知識內化

問題七：你能想辦法驗證你的猜想嗎？

問題八：你還有什么想法？和大家一起分享。

動手實踐、自主探索、合作交流是學習數學的重要方式。問題是思維的路標，教師應充分放手，在課堂中適時留白，留出時間，引而不發，讓學生在問題探究中觀察、說理、體驗、反思，促進知識的內化。

對于圓的半徑、直徑的進一步探究，教師采用了開放式的教學方式，在課前給每個學生隨機發不同大小的圓形紙片，讓學生在課上自由探究，給學生發散思維的空間，使自主學習得以發生。

生1：我先畫半徑，然后量半徑的長度，我發現半徑畫不盡，而且半徑的長度都一樣。

生2：圓的直徑也有無數條，而且長度都一樣。

生3：我把直尺左端對準圓心，然后按著直尺，旋轉圓形紙片，發現圓的半徑長度都一樣，直徑長度也都一樣。

師：你的方法真特別！為什么圓的半徑長度都一樣呢？你有什么想法？

生3：圓的邊緣有無數個點，把每個點和圓心用線段連起來，這條線段就是半徑，這樣的線段（半徑）有無數條，而且長度都一樣。

生4：我還發現，圓的直徑是半徑的2倍。

師：說得真好。

華應龍老師認為教師們在處理“圓的認識” 這節課時存在問題：注重組織學生通過折疊、測量、對比等操作活動來發現圓的特征，不重視通過推理、想象、思辨等思維活動來概括圓的特征。因此，對于“圓有無數條半徑”“同一個圓內，所有半徑（直徑）長度都相等”“同一個圓內，直徑長度是半徑的2倍”等原理的探索，教師可放手讓學生去猜想、驗證，然后歸納、應用。學生既可以通過折一折、畫一畫、量一量等多種活動探索，也可以積極思辨，展開演繹推理，推導特征。這樣的教學方式脫離了“用尺子量”的簡單操作，不是一味追求結果，而是在操作過程中培養學生的自主能力、動手能力、探索能力。

三、關聯生活，分析解決問題

1.注重生活，以問題提升應用能力

問題九：你能從數學的角度解釋一下為什么車輪要做成圓的嗎？車軸應裝在哪里？

這節課遵循“生活中的圓—數學中的圓—圓的特征—回到生活”環節教學，以“提出問題—嘗試操作—探究內化—解釋應用”流程，指向學生高階思維的發展。

教師結合生活實際，提出開放性問題：“你能從數學的角度解釋一下為什么車輪要做成圓的嗎？車軸應裝在哪里？”

生1：因為圓的輪子沒有棱角，滾動起來比較容易。

生2：如果輪子做成方的，滾起來就會一上一下的，就很顛簸。

生3：圓形車輪最平穩，而且車軸要裝在圓心，我們可以想象一下，車軸如果不在圓心，車也會很顛簸。

師：為什么車軸裝在圓心，車就會行駛得平穩呢？

生4：圓的所有半徑都相等，車軸裝在圓心，車軸到地面的距離就都相等了。

生5：若車軸不在圓心，車軸到地面的距離就不相等，滾起來就不平穩。

師：解釋得真好！

在師生互動和生生互動中，從半徑的特征以及現實意義到生活場景，讓原本摸不著的知識變得可視化。學生在解釋的過程中，需要從現實問題中剝離非本質因素，抽象出圓的本質特征，這對學生的思維提出了更高的要求，也體現了學生對于圓的本質特征的深度理解，同時讓學生慢慢學會用數學的眼光觀察生活。

2.觀察生活，感受圓的魅力

其實，生活中處處蘊含數學知識，圓在我們生活中扮演著重要的角色。教師說：“這一切，不正是圓的魅力所在嗎？讓我們一起來欣賞。”教師播放課件：石子入水后激起圓形波紋；陽光下肆意綻放的向日葵；光折射后形成的美妙光環；草原上的蒙古包；天體運行時近似圓形的軌跡；遙遠天際懸掛的那輪明月……在中國，人們特別重視中秋節、春節等團圓的節日；表達祝福時常常喜歡用“圓滿”“圓夢”等詞；文學創作中也喜歡大團圓的結局……讓我們從現在開始，真正走進歷史、走進文化、走進圓的美妙世界！學生靜靜欣賞課件，延續對圓的無限暢想。

四、回顧反思，改進提升問題

1.進行后測，以問題延伸思考深度

“圓的認識”作為幾何概念教學研究的內容，是在學生直觀認識圓和已經較系統地認識了平面上直線圖形的基礎上進行教學的。在前測時，教師通過一份問卷（如圖1）了解學生的知識起點，再用同一份問卷進行后測，對比學生前后的完成情況，能更直觀清晰地感受到學生對知識的內化程度。

根據后測的信息反饋來看，不同的學生對圓的知識的理解程度不同。學生主要提出以下問題：

（1）可以怎樣畫圓？

（2）怎樣畫大小不同的圓？

（3）圓的周長和面積怎么計算？

（4）圓里有沒有藏著什么秘密？

后測時，學生在掌握了圓的基本特征后提出了更多的問題，高頻問題如下：

（1）祖沖之是怎么發現圓周率的？

（2）目前圓周率已經算到小數點后幾位了？

（3）為什么井蓋是圓的？

（4）為什么房子不設計成圓的？

（5）世界上有沒有完美的圓？

（6）畫圓除了用圓規還有什么好方法？

（7）圓的歷史和由來是什么？

2.團隊協作，以問題拓展思維廣度

學生應養成良好的學習習慣，形成質疑問難、自我反思和勇于探索的科學精神。學生應在回顧解決問題的過程中，反思解決問題的方法，形成批判性思維和創新意識。

分析整理后測問卷后，教師再次組織學生以“共同目標”組建學習共同體，進行更深入的探究。

探究問題：井蓋為什么是圓的？為什么小區里的井蓋有的是方形的？

探究方法：在校園圖書館借閱相關書籍；上網搜索相關資料；詢問科學老師；與小區工作人員交流等。

[匯總分析]

（1）大多數井蓋是圓形的原因如下。

受力均勻。圓形井蓋在受力后，向四周擴散的壓力均等，不容易破碎、塌陷。

便于操作。圓形沒有方向性，不需要對準和校準位置，也不易掉落，操作便捷。

（2）深度較淺的井，對井內的空間要求不大，所以為了便于施工，就做成了長方形，施工成本低。小區里有方形井蓋，是因為小區里的磚是方形的，匹配圓形井蓋的話操作困難，后期維護成本高。這時，維護成本是最重要的。

（3）除了圓形、方形井蓋，還有其他形狀的井蓋，不同的場景需要不同形狀的井蓋，具體問題要具體分析。

在信息交流、整合的過程中，學生能舉一反三，既提高了自身的概括能力，又培養了自身的反思意識，在探索中實現知識的再認知，同時也讓學生更深刻地感受到數學來源于生活，又應用于生活。

數學學習實際上就是不斷發現、提出、分析和解決問題的過程。面向深度學習，教師應正視學生已有的知識經驗與能力，在此基礎上提供學習支架，通過設置恰當的問題情境，促使學生發現原有經驗的不足，然后積極學習新知識，向數學更深處漫溯。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 李平.為深度學習而教：深度教學的理性追求和實踐策略研究[D].南京：南京師范大學，2014.

[2] 華應龍.我這樣教數學：華應龍課堂實錄[M].武漢：長江文藝出版社，2020：195.

[3] 王映學，趙興奎.教學反思：概念、意義及其途徑[J].教育理論與實踐，2006（3）：53-56.

[4] 姚進.小學數學中“圓的認識”的教學設計研究：基于APOS理論[D].揚州：揚州大學，2016.

【本文系合肥市教育科學規劃課題“以問題驅動促進小學數學深度學習的實踐研究”的階段性研究成果之一，課題立項編號：HJG20070?！?/p>

（責編 黃 露）