基于真實(shí)情境 提出數(shù)學(xué)問(wèn)題

劉健

摘 要：以《中位數(shù)》一課為例，圍繞教學(xué)任務(wù)，設(shè)計(jì)基于貼近學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)、符合學(xué)生年齡特點(diǎn)和認(rèn)知加工特點(diǎn)的真實(shí)情境，進(jìn)而提出問(wèn)題、明晰概念、應(yīng)用新知、升華認(rèn)識(shí)，注重情境的多樣化，幫助學(xué)生形成統(tǒng)計(jì)觀念.

關(guān)鍵詞：真實(shí)情境；數(shù)學(xué)問(wèn)題；中位數(shù)；統(tǒng)計(jì)觀念

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出注重發(fā)揮情境設(shè)計(jì)與問(wèn)題提出對(duì)學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)的促進(jìn)作用，使學(xué)生在活動(dòng)中逐步發(fā)展核心素養(yǎng).注重創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，可從社會(huì)生活、科學(xué)和學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)等方面入手，圍繞教學(xué)任務(wù)，選擇貼近學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)、符合學(xué)生年齡特點(diǎn)和認(rèn)知加工特點(diǎn)的素材［1］.建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，任何知識(shí)都有其賴以生存、生長(zhǎng)和發(fā)展的背景，要想準(zhǔn)確理解、掌握并靈活應(yīng)用某一知識(shí)，就應(yīng)當(dāng)把握該知識(shí)的意義所在和適用范圍，僅從知識(shí)的外在表現(xiàn)和抽象形式很難真正理解知識(shí)的內(nèi)涵，這就需要理解知識(shí)賴以產(chǎn)生意義的背景，也就是要在一定的情境下進(jìn)行學(xué)習(xí)、理解知識(shí)［2］.實(shí)際教學(xué)中，教師要重視創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，并提出能引發(fā)學(xué)生思考的數(shù)學(xué)問(wèn)題，也可以引導(dǎo)學(xué)生提出合理問(wèn)題.

1 教學(xué)過(guò)程

1.1 創(chuàng)設(shè)情境

問(wèn)題1：杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)田徑男子跳遠(yuǎn)決賽，經(jīng)過(guò)六輪拼搏，我國(guó)選手王嘉男以8.22米的成績(jī)奪冠，這是繼上屆雅加達(dá)亞運(yùn)會(huì)后再次奪冠.你知道8.22米是王嘉男本次比賽的什么成績(jī)嗎？為什么平均數(shù)不能代表他的真實(shí)實(shí)力？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答后，展示王嘉男的六次成績(jī)，得出平均成績(jī)不能代表他的真實(shí)實(shí)力.

設(shè)計(jì)意圖：平均成績(jī)不能決定競(jìng)技比賽的結(jié)果，讓學(xué)生感受實(shí)際生活中平均數(shù)的局限性，打破學(xué)生的慣性思維.

問(wèn)題2：同學(xué)們，你們是不是一直盼望長(zhǎng)大？長(zhǎng)大后你們希望從事什么工作呢？

師生活動(dòng)：帶領(lǐng)學(xué)生觀看人才市場(chǎng)招聘視頻，展示兩則招聘廣告.

招聘1

由于本公司發(fā)展需要，現(xiàn)誠(chéng)聘優(yōu)秀業(yè)務(wù)員4名，月平均工資9800元，有意者速到公司面談.

甲公司

2023.12.1

招聘2

由于本公司發(fā)展需要，現(xiàn)誠(chéng)聘優(yōu)秀業(yè)務(wù)員4名，月平均工資8600元，有意者速到公司面談.

乙公司

2023.12.1

問(wèn)題3：你們想去哪家公司工作呢？你們對(duì)領(lǐng)到的工資滿意嗎？為什么甲公司的員工拿到的工資遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于承諾的工資呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生自由選擇去哪家，教師分別選擇四位同學(xué)作為甲乙兩公司的員工模擬一個(gè)月后領(lǐng)工資的場(chǎng)景.之后，教師展示兩個(gè)公司的所有員工的完整工資表，并制作統(tǒng)計(jì)圖直觀觀察.

學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)甲公司經(jīng)理的工資遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他員工的工資，所以拉高了平均工資.比平均工資高的只有經(jīng)理一人，其余員工的工資都比平均工資低.

設(shè)計(jì)意圖：以表格、統(tǒng)計(jì)圖的方式呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)處理和評(píng)判的意識(shí).

問(wèn)題4：你們覺(jué)得用月平均工資代表甲公司的一般水平合適嗎？你們能否找到一個(gè)合適的數(shù)據(jù)代表甲公司員工工資的一般水平嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生小組討論，教師適時(shí)引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)比8100元高的員工有兩位，比8100元低的員工也有兩位，8100元可以代表工資的一般水平.這個(gè)“處于中間位置”的工資就是今天要探究的——中位數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：在現(xiàn)實(shí)情境讓學(xué)生感悟中位數(shù)的必要性，從而引出本節(jié)課的課題.

1.2 變化情境

問(wèn)題5：如果拿到的甲公司的工資單如下表所示，甲公司工資的中位數(shù)是多少呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生分析，教師板書中位數(shù)的定義及注意點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：明確尋找一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，需要先按大小順序排序，排序是確定中位數(shù)的前提.

問(wèn)題6：現(xiàn)在甲公司又招聘了一名月工資是8000元的員工，甲公司工資的中位數(shù)又是多少呢？

師生活動(dòng)：小組討論后得出結(jié)論，一般地，將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，那么處于中間位置的數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么處于中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：明確一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)只有一個(gè)，特別當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，不能把最中間兩個(gè)數(shù)都作為中位數(shù)，通過(guò)計(jì)算知道中位數(shù)不一定與這組數(shù)據(jù)中的某個(gè)數(shù)據(jù)相同.

問(wèn)題7：甲公司的經(jīng)理的工資相對(duì)于其他員工數(shù)據(jù)偏大，拉高了平均數(shù)，那么中位數(shù)是否受其影響呢？

師生活動(dòng)：教師繼續(xù)增加經(jīng)理的工資，平均數(shù)繼續(xù)增加，但中位數(shù)不受偏大數(shù)的影響.

追問(wèn)：如果一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)了偏小數(shù)據(jù)，平均數(shù)、中位數(shù)是否會(huì)受影響呢？

設(shè)計(jì)意圖：明確一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)偏大或偏小數(shù)據(jù)，會(huì)拉高或拉低平均數(shù)，但中位數(shù)不受偏大或偏小數(shù)的影響.因此，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)的大小差異很大時(shí)，通常用中位數(shù)來(lái)描述這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).

1.3 又變情境

問(wèn)題8：（隨機(jī)請(qǐng)四位身高接近的學(xué)生到講臺(tái)）

（1） 四位同學(xué)身高的一般水平用什么數(shù)表示比較合適？

（2） 增加一名班級(jí)最高學(xué)生，五位同學(xué)身高的一般水平用什么數(shù)表示比較合適？請(qǐng)你比較身高的平均數(shù)和中位數(shù)的大小.

（3） 請(qǐng)一位同學(xué)蹲下，五位同學(xué)身高的一般水平用什么數(shù)表示比較合適？請(qǐng)你比較身高的平均數(shù)和中位數(shù)的大小.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)活動(dòng)情境為學(xué)生搭建交流的平臺(tái)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)成功的樂(lè)趣.

1.4 再變情境

問(wèn)題9：根據(jù)國(guó)際貨幣基金組織2022年4月發(fā)布的2021年世界人均GDP（美元）排名，被統(tǒng)計(jì)的187個(gè)國(guó)家的人均GDP的中位數(shù)為5525，中國(guó)的人均GDP為12359，請(qǐng)問(wèn)中國(guó)處在什么水平？（GDP指在一國(guó)領(lǐng)土范圍內(nèi)，其居民無(wú)論國(guó)籍如何，只要符合本國(guó)常住居民定義，在一定時(shí)期內(nèi)所生產(chǎn)和提供勞務(wù)價(jià)值的總和.單位：美元）

06美國(guó)69231 21英國(guó)47203 22法國(guó)44853 26日本39340

看到這組數(shù)據(jù)你有何感想？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生切實(shí)感受數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值.

問(wèn)題10：請(qǐng)談?wù)劚竟?jié)課你的收獲和體會(huì)？

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生鞏固中位數(shù)的知識(shí)，深化對(duì)中位數(shù)的理解，促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

2 教學(xué)思考

《中位數(shù)》屬于“統(tǒng)計(jì)與概率”中的統(tǒng)計(jì)部分.統(tǒng)計(jì)學(xué)在社會(huì)生活中有著廣泛的應(yīng)用，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析以及做出科學(xué)推斷是現(xiàn)代公民必須具備的能力.學(xué)生在小學(xué)以及前兩節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了平均數(shù)，但當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個(gè)別數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)差異很大時(shí)，平均數(shù)不能很好地描述這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，中位數(shù)便應(yīng)運(yùn)而生.中位數(shù)是對(duì)描述一組數(shù)據(jù)“集中趨勢(shì)”的進(jìn)一步完善，由此，從單一的平均數(shù)分析過(guò)渡到多元綜合分析，有助于學(xué)生逐步形成統(tǒng)計(jì)觀念.

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

創(chuàng)設(shè)情境，通過(guò)最近熱門的世界田徑錦標(biāo)賽男子跳遠(yuǎn)決賽的例子，讓學(xué)生在已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生沖突（“平均數(shù)”行不通了），使學(xué)生積極去思考出現(xiàn)問(wèn)題的原因，并為“中位數(shù)”概念的出場(chǎng)埋下伏筆.播放招聘現(xiàn)場(chǎng)的視頻，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的情境，讓學(xué)生有身臨其境境的感覺(jué)，充分地激發(fā)了學(xué)生的求知欲.解決問(wèn)題時(shí)組織學(xué)生暢所欲言，互相評(píng)價(jià)并完善，在自主探索中自然而然引出“中位數(shù)”這一新的概念.通過(guò)合作學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的整體認(rèn)識(shí)水平.教師以參與者身份主動(dòng)加入學(xué)生的討論，對(duì)學(xué)生的認(rèn)識(shí)起促進(jìn)和調(diào)節(jié)的作用.

2.2 變化情境，明晰概念

在上一招聘情境的基礎(chǔ)上通過(guò)巧妙的變化，圍繞以下教學(xué)路線展開(kāi)：① 確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)須先排序；② 如果一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，那么處于中間位置的數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么處于中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；③ 當(dāng)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)偏大數(shù)或者偏小數(shù)，平均數(shù)和中位數(shù)是否受影響.數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程的教學(xué)，本環(huán)節(jié)教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)始終圍繞中位數(shù)的概念，充分讓學(xué)生感受中位數(shù)概念的形成過(guò)程，使學(xué)生在此過(guò)程中發(fā)展思維.在問(wèn)題的引領(lǐng)下，學(xué)生逐步明確尋找一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的注意點(diǎn)，進(jìn)而建構(gòu)起“中位數(shù)”的數(shù)學(xué)概念.

2.3 又變情境，應(yīng)用新知

通過(guò)活動(dòng)情境，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)以學(xué)生喜歡的活動(dòng)形式出現(xiàn)，集知識(shí)性與趣味性于一體，既可以激發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng)，又可以活躍課堂氛圍，使學(xué)生的思維活動(dòng)、情緒與教學(xué)進(jìn)程交融在一起，提高教學(xué)效果.接著，設(shè)置了一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，置學(xué)生于主人翁地位，讓學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)通過(guò)數(shù)據(jù)分析，作出科學(xué)決策，在應(yīng)用數(shù)學(xué)中學(xué)會(huì)創(chuàng)新.

2.4 再變情境，升華認(rèn)識(shí)

通過(guò)與現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)的真實(shí)數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)分析，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言給出解釋，這符合培養(yǎng)學(xué)生“三會(huì)”的要求.因?yàn)檫x用的是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局和世界貨幣基金組織最新的統(tǒng)計(jì)報(bào)告，其真實(shí)性和可靠性必將使學(xué)生產(chǎn)生積極的學(xué)習(xí)興趣.《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出要注重情境素材的育人功能.通過(guò)城鎮(zhèn)與農(nóng)村居民人均可支配收入中位數(shù)的對(duì)比，感受城鄉(xiāng)的差距，培養(yǎng)學(xué)生的主人翁意識(shí).通過(guò)對(duì)比發(fā)達(dá)國(guó)家的GDP，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能，培養(yǎng)學(xué)生的責(zé)任心和使命感，鼓勵(lì)學(xué)生為了實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國(guó)夢(mèng)而努力學(xué)習(xí).

總之，中位數(shù)的教學(xué)注重情境的多樣化，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界的廣泛應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值.本節(jié)課讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)表達(dá)、概括歸納、遷移運(yùn)用等學(xué)習(xí)過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)是認(rèn)識(shí)、理解、表達(dá)真實(shí)世界的工具、方法和語(yǔ)言，增強(qiáng)認(rèn)識(shí)真實(shí)世界、解決真實(shí)問(wèn)題的能力，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

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