積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)

栗會(huì)榮 李勇斌

摘 要：“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)經(jīng)典內(nèi)容之一，富有濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息和豐富的數(shù)學(xué)歷史背景，滲透著“數(shù)學(xué)來源于生活又運(yùn)用于生活”的數(shù)學(xué)本質(zhì).由于不少教師對(duì)問題情境的創(chuàng)設(shè)和數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)認(rèn)識(shí)不到位，導(dǎo)致綜合與實(shí)踐活動(dòng)內(nèi)容長期被忽視，很少教師能真正對(duì)綜合與實(shí)踐活動(dòng)進(jìn)行課堂設(shè)計(jì)和分析論證以及問題解決，使得學(xué)生缺乏對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體運(yùn)用意識(shí).基于此，本文以“容器中的水能倒完嗎？”為例進(jìn)行課堂設(shè)計(jì).

關(guān)鍵詞：活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；綜合與實(shí)踐

2022年新課標(biāo)中增加了對(duì)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)部分的要求，新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“綜合與實(shí)踐應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問題的能力為目標(biāo)，根據(jù)不同學(xué)段學(xué)生特點(diǎn)，以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主，適當(dāng)采用主題式學(xué)習(xí)和項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式，設(shè)計(jì)情境真實(shí)、較為復(fù)雜的問題，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科和跨學(xué)科的知識(shí)與方法解決問題”.因此，筆者從積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)角度出發(fā)，結(jié)合學(xué)情，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納，對(duì)教材進(jìn)行“二次開發(fā)”，嘗試用“拓展式”教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)，呈現(xiàn)知識(shí)的自然發(fā)生發(fā)展過程以及運(yùn)用過程，促進(jìn)學(xué)生理解歸納整理的必要性，同時(shí)積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐步培育學(xué)生核心素養(yǎng).

1 創(chuàng)設(shè)情境，再現(xiàn)歷史

在《古希臘哲學(xué)（上）》中，有著名的“芝諾悖論”：阿喀琉斯是古希臘著名的大英雄，非常善于奔跑，然而芝諾通過自己的論證卻證明了阿喀琉斯永遠(yuǎn)追不上在他前面的一只烏龜.芝諾的論證是這樣的：烏龜在阿喀琉斯前面某處A向前爬，阿喀琉斯追上烏龜?shù)竭_(dá)A點(diǎn)時(shí)，烏龜此刻必然已經(jīng)到達(dá)了A點(diǎn)前面的一點(diǎn)B；當(dāng)阿喀琉斯再次追趕烏龜達(dá)到B點(diǎn)時(shí)，烏龜則到達(dá)了B點(diǎn)前面的一點(diǎn)C；如此下去，每當(dāng)阿喀琉斯到達(dá)烏龜上一刻所在的位置n時(shí)，烏龜必然已經(jīng)到達(dá)了在他前面的一點(diǎn)m，因此阿喀琉斯永遠(yuǎn)追不上在他前面的一只烏龜.

無獨(dú)有偶，我國古代莊子也有“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”的名言“一尺長的木棍，每天截去它的一半，千秋萬代也截不完.”那么問題的答案到底是什么呢？

教學(xué)分析與建議：新課標(biāo)提出，無情境不教學(xué).作為一節(jié)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課程，激趣環(huán)節(jié)的情境引入非常重要.通過外國和中國的兩個(gè)例子激發(fā)學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和好奇心.這兩個(gè)情境都貼合實(shí)際，相比較而言，后者中“一半”，因接近學(xué)生的思維發(fā)展區(qū)，容易與學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備產(chǎn)生聯(lián)系，更容易被學(xué)生理解和接受.讓學(xué)生翻譯“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”這句話的意思，一方面滲透跨學(xué)科教學(xué)，另一方面與學(xué)生已有的認(rèn)知建立聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了分式的相關(guān)知識(shí)，具備一定的合情推理和演繹推理的能力.總之創(chuàng)設(shè)這樣的一個(gè)問題情境引入課題的意圖有二：一是復(fù)習(xí)分式相關(guān)基本內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生樹立用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)；二是使學(xué)生認(rèn)識(shí)到分式無處不在，用分式能解決生活中很多用整式無法解決的問題.因此，該問題情境將學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與接下來要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)之間建立了一種有機(jī)聯(lián)系，讓學(xué)生感受到將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)是已有知識(shí)的延伸和發(fā)展.

請(qǐng)看下面問題：

容器中的水能倒完嗎？

你可能會(huì)想到通過實(shí)驗(yàn)探尋問題的答案，但是實(shí)驗(yàn)中要精確地測量倒出的水量，當(dāng)?shù)钩龅乃亢苄r(shí)測量的難度非常大，我們不考慮實(shí)際操作因素，將上面的問題抽象成數(shù)學(xué)模型加以解決.

容易列出倒n次水倒出的總水量為

根據(jù)分式的減法法則，

可以發(fā)現(xiàn)，從數(shù)學(xué)上看，隨著倒水次數(shù)n的不斷增加，倒出的總水量n/n+1也不斷增加，然而，不論倒水次數(shù)n有多大，倒出的總水量n/n+1總小于1.因此，按這種方法，容器中的1L水是倒不完的.

2 閱讀思考，實(shí)驗(yàn)探究

為了解決上述問題，首先展示課本“回顧與思考”內(nèi)容.回答如下的問題：

作為一節(jié)與實(shí)際生活聯(lián)系緊密的數(shù)學(xué)課，這樣的課堂筆者選擇先讓學(xué)生動(dòng)手操作.2022新課標(biāo)中提出“課程目標(biāo)以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力，形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀.”因此，本節(jié)課的一個(gè)非常重要的功能就在于使學(xué)生積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

教學(xué)分析與建議：提出“容器中的水能倒完嗎”后，先請(qǐng)兩個(gè)學(xué)生手持量筒動(dòng)手操作，其余學(xué)生觀摩分析.

在兩位學(xué)生動(dòng)手操作環(huán)節(jié)結(jié)束后，適時(shí)提出問題.

問題1：實(shí)驗(yàn)探究會(huì)遇到哪些困難？

隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，倒出的水量越來越少，也越來越難以精確衡量，操作層面變得越來越困難.設(shè)置這個(gè)問題的意圖是想讓學(xué)生逐步意識(shí)到：因?yàn)槟承┰颍瑢?shí)驗(yàn)操作很難解決這類實(shí)際問題.為接下來把這個(gè)實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題解決做了鋪墊.這也與新課標(biāo)中提出的培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”相吻合，進(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目的.

問題2：你是如何判斷水是否倒完的？

這個(gè)問題的提出直接產(chǎn)生了后面兩種解決策略.把“水是否倒完”的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為考查兩個(gè)數(shù)學(xué)量“倒出的水量”和“剩余的水量”的數(shù)學(xué)問題.

在課堂中，教師一定先讓學(xué)生動(dòng)手操作，因?yàn)閯?dòng)手操作是學(xué)生遇到這樣的問題時(shí)首先會(huì)想到的一種方法.學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐的過程，是積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的過程.

3 論證分析，凸顯本質(zhì)

在經(jīng)歷了必要的自主探究過程后，適時(shí)提出“裂項(xiàng)相消法”，并給出具體展示和板演.

教學(xué)分析與建議：這個(gè)式子的變形過程是學(xué)生理解這道題的關(guān)鍵，學(xué)生需要清楚地看到每一步的來龍去脈，所以不能省步驟.一般情況下，遇到一些新的概念或技巧時(shí)，筆者會(huì)先從字面意思分析這個(gè)詞，然后結(jié)合具體題目，詳細(xì)說明何時(shí)用以及如何用，就像處方藥的“說明書”一樣.比方說，“裂項(xiàng)”就是通過一定的手段或方式，把一項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，而“裂項(xiàng)”的目的是實(shí)現(xiàn)前后項(xiàng)“相消”，達(dá)到和為零從而抵消的目的，這種“相消”的思想方法與九年級(jí)上冊(cè)學(xué)到一元二次方程時(shí)，把“二次”轉(zhuǎn)化為“一次”的思想方法是有異曲同工之處的.結(jié)合具體的這道題目讓學(xué)生深刻理解裂項(xiàng)相消法以及它具體的使用技巧還是很有必要的.實(shí)際上，“裂項(xiàng)相消法”并不是學(xué)到分式部分才出現(xiàn)的，但盡管如此，還是要不斷給學(xué)生滲透，因?yàn)椴煌瑢W(xué)段的學(xué)生對(duì)它的理解和接收程度是有差異的，學(xué)生需要有這樣的一個(gè)逐步掌握的過程，以達(dá)到使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上都能有不同的發(fā)展的目的.

得出“前N次倒出的水量”后，帶領(lǐng)學(xué)生回到最初的問題：水能倒完嗎？用一個(gè)不等式來表示“前N次倒出的水量”，符合初中階段學(xué)生的學(xué)情.

∵n＜n+1，

∴0＜n/n+1＜1，所以水不能倒完.

處處有呼應(yīng).課堂上，向?qū)W生提出了一個(gè)問題，后面一定會(huì)有這個(gè)問題得到解決的方法.不慌不忙、有條不紊的節(jié)奏學(xué)生是能感受到的，并且學(xué)生也會(huì)從老師身上學(xué)習(xí)這種有條理的解決問題的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維.

方法二：用表格的方法，研究“剩余的水量”.

因?yàn)橛蟹椒ㄒ贿^程的鋪墊，學(xué)生容易得出“剩余的水量”為1n+1，只需對(duì)“剩余的水量”進(jìn)行研究即可.

∵n+1＞0，

∴1/n+1＞0，所以容器中的水倒不完.

不管是從“倒出的水量”還是從“剩余的水量”，兩種角度都得到“水不能倒完”的結(jié)論，從而解決了教材中給出的實(shí)際問題.

作為一節(jié)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課，對(duì)問題的探究應(yīng)該更進(jìn)一步.

4 變式訓(xùn)練，拓展提升

變式思考：邊長為1cm的正方形紙片，第一次剪去它的1/2，第二次剪去剩下的1/3，第三次剪去剩下的1/4，按這種剪法一直剪下去.

（1） 第5次減掉的紙片面積是多少？剩余的紙片面積是多少？

（2） 前n次剪掉紙片的總面積是多少？

教學(xué)分析與建議：初中階段需要培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)和建模思想.數(shù)學(xué)最重要的意義在于教會(huì)學(xué)生遇到實(shí)際問題時(shí)要有解決策略.因此，變式訓(xùn)練環(huán)節(jié)在此處呼之欲出.需要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)建模思想，并意識(shí)到用建模思想來解決一些實(shí)驗(yàn)難以解決的問題時(shí)具有無比的優(yōu)越性.同時(shí)，從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型也是初中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的中“抽象能力”的具體體現(xiàn).

5 數(shù)學(xué)建模，歸納小結(jié)

問題得到解決，學(xué)生獲得了新的技能，掌握了新的方法.為與開頭的“芝諾悖論”相呼應(yīng)，帶領(lǐng)八年級(jí)學(xué)生嘗試?yán)斫狻爸ブZ悖論”的隱形假設(shè)：

（1） 假設(shè)空間和時(shí)間是連續(xù)的，可以被無限分割.阿喀琉斯和烏龜之間的時(shí)間和空間都可以分割為無限多個(gè).

（2） 假設(shè)這無限多的時(shí)間里，加起來有無窮大，這無限多的距離，加起來等于定值.

（3） 在目前的物理范疇內(nèi)，物體在有限范圍內(nèi)并不能被無限分割.

（4） 當(dāng)n無窮大時(shí)，1/n+1趨近于0，是一個(gè)無窮小量（無窮小量是以0為極限的變量）.

教學(xué)分析與建議：雖然初中學(xué)生理解這些抽象的概念是比較困難的，但是也許就有一部分學(xué)生會(huì)因?yàn)椤爸ブZ悖論”而決心深入研究數(shù)學(xué)并從此愛上數(shù)學(xué).初中學(xué)生不能僅僅停留在初中知識(shí)的層面，適當(dāng)拓展學(xué)生的視野對(duì)成績優(yōu)異的學(xué)生來說也是大有裨益的.

“生活中的物理環(huán)境是具體有限的，數(shù)學(xué)世界卻可以是抽象無限的，以抽象升華具體，由特殊得出一般，生活問題數(shù)學(xué)化，可以給我們的生活增添無數(shù)可能性.”最后課堂以這段話作為結(jié)束語，道出了“數(shù)學(xué)來源于生活又運(yùn)用于生活”的真諦.

“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)內(nèi)容在近幾年的初中數(shù)學(xué)中考中屢次出現(xiàn)，2022年新課標(biāo)對(duì)該部分內(nèi)容提出了新的要求，那么數(shù)學(xué)教師在平時(shí)課堂教學(xué)中就需要調(diào)整教學(xué)策略，改變教學(xué)思路，實(shí)現(xiàn)與中考的無縫銜接.

參考文獻(xiàn)：

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