“一圖一課”開(kāi)放留白，學(xué)程導(dǎo)進(jìn)“快慢平衡”

萬(wàn)周華

摘 要：“一圖一課”作為微專題教學(xué)的一類課型，近來(lái)得到不少教師的關(guān)注.研發(fā)這類課型的關(guān)鍵在于從一個(gè)基本圖形出發(fā)，開(kāi)放留白，并漸次變式、拓展提升，需要教師具有一定的命題改編能力，同時(shí)又需要較強(qiáng)的課堂駕馭能力，包括對(duì)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)程導(dǎo)進(jìn)過(guò)程中的“快與慢”的平衡，還需要在小結(jié)階段組織學(xué)生對(duì)全課所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行回顧、反思與提煉.

關(guān)鍵詞：“一圖一課”；正方形；微專題

中考微專題教學(xué)越來(lái)越得到各地教研活動(dòng)的關(guān)注，近期筆者所在地區(qū)在中考復(fù)習(xí)研討會(huì)的教研活動(dòng)上安排了微專題教學(xué)研究課，并有機(jī)會(huì)執(zhí)教一節(jié)正方形“一圖一課”的專題課，取得較好的教學(xué)效果，本文整理該課教學(xué)設(shè)計(jì)，并跟進(jìn)教學(xué)立意的闡釋，提供研討.

1 正方形“一圖一課”專題課教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 基礎(chǔ)熱身 開(kāi)放探究

問(wèn)題1：如圖1，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，AE，BF相交于點(diǎn)P.請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)問(wèn)題（不添加條件），先在小組內(nèi)交流，再全班匯報(bào)展示.

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生經(jīng)過(guò)初步思考，會(huì)提出如△ABE≌△BCF，相應(yīng)得出AE＝BF，AE⊥BF這類結(jié)論；如果從四點(diǎn)共圓的視角，還可以發(fā)現(xiàn)圖1中除了正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)共圓之外，還有兩組四點(diǎn)共圓，分別是四邊形ADFP，四邊形CEPF的四個(gè)頂點(diǎn)；再?gòu)南嗨频囊暯浅霭l(fā)，可以發(fā)現(xiàn)圖形中直角三角形都是相似的，它們的直角邊之比都是1∶2，進(jìn)一步可以得出圖1中EP∶BP∶FP∶AP∶AE＝1∶2∶3∶4∶5.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 拾級(jí)而上 一題多解

問(wèn)題2：正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，AE，BF相交于點(diǎn)P.

（1） 如圖2，連接PD，求證：PD＝AB；

（2） 如圖3，連接CP，求證：PC平分∠EPF.

教學(xué)預(yù)設(shè)：第（1）問(wèn)證法較多，預(yù)設(shè)以下兩種典型證明思路.

思路1：如圖4，延長(zhǎng)AD，PF交于點(diǎn)G，可證明△BCF≌△GDF，得到DG＝BC，結(jié)合正方形的邊長(zhǎng)相等可代換得DG＝AD，由“問(wèn)題1”中的分析與進(jìn)展可知，∠APF＝90°，于是在Rt△APG中，PD是斜邊AG上的中線，所以PD＝AD，進(jìn)而等量代換得到PD＝AB.

思路2：如圖5，由四邊形ADFP的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，可連接AF，證出圖5標(biāo)注“×”的4個(gè)角都是相等的，即可得PD＝AB.

第（2）問(wèn)證法也較多，預(yù)設(shè)以下兩種典型證明思路.

思路1：如圖6，四邊形CEPF的四個(gè)點(diǎn)在一個(gè)圓上，連接EF，證出圖6標(biāo)注“×”的4個(gè)角都是相等的，所以PC平分∠EPF.

思路2：如圖7，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BF，垂足為H.分別證得△BCH≌△ABP，可得CH＝BP，BH＝AP，結(jié)合CH∶BH＝BP∶AP＝1∶2，可得PH＝CH，于是△PCH是等腰直角三角形，∠CPH＝45°，所以PC平分∠EPF.

教學(xué)時(shí)注意關(guān)注學(xué)生不同的證明思路，但考慮到教學(xué)用時(shí)，每個(gè)小問(wèn)用兩種不同的方法證明之后，就及時(shí)往后推進(jìn)，但要提醒學(xué)生還有更多的方法，可以課后進(jìn)一步研究.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 逆向探究 變式拓展

問(wèn)題3：如圖8，正方形ABCD中，以BC為直徑作半圓O，以D為圓心，DA為半徑作圓弧與半圓O交于點(diǎn)P.

（1） 連接DP，判斷DP與圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2） 射線CP交邊AB于點(diǎn)E.求證：E為邊AB的中點(diǎn).

教學(xué)預(yù)設(shè)：如果學(xué)生解決第（1）問(wèn)有困難，教師要提示學(xué)生反復(fù)審題，特別是“兩個(gè)圓”的定義“一中同長(zhǎng)”，如圖9，想到連接OP，OD，由“邊邊邊”證出△DCO≌△DPO，可解決∠DPO＝∠DCO＝90°，進(jìn)一步由“連半徑，證垂直”的切線判定經(jīng)驗(yàn)可證出DP與圓O相切.

第（2）問(wèn)有不同的思路，限于篇幅，這里只提供一種.由上一問(wèn)△DCO≌△DPO，可以得到DO⊥CE，進(jìn)而可證△DCO≌△CBE，得BE＝CO，即可代換出E為邊AB的中點(diǎn).

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 歸納小結(jié) 研究展望

小結(jié)問(wèn)題：本課從正方形的一個(gè)經(jīng)典圖形出發(fā)，解決了很多過(guò)去就見(jiàn)過(guò)的數(shù)學(xué)習(xí)題，哪道問(wèn)題是你之前沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的？請(qǐng)?jiān)谛〗M內(nèi)舉例交流，并說(shuō)說(shuō)你對(duì)哪道問(wèn)題印象深刻？

課堂小結(jié)之后，給出以下拓展題，作為學(xué)生課后繼續(xù)鉆研的挑戰(zhàn)作業(yè).

1. （對(duì)“問(wèn)題2”再拓展）如圖10，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，AE，BF相交于點(diǎn)P.連接CP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)Q，求證：AQ＝2BQ.

設(shè)計(jì)意圖：這是“問(wèn)題2”中第（2）問(wèn)的拓展追問(wèn)，由已有進(jìn)展“PC平分∠EPF”，可得PQ平分∠APB.根據(jù)三角形角平分線的“比例性質(zhì)”，可得BQ∶AQ＝BP∶AP＝1∶2.

2. 如圖11，在“問(wèn)題3”兩道圓弧相交于點(diǎn)P之后，直線BP，DP與正方形的邊分別交于點(diǎn)M，N.

（1） 求證：M為AD中點(diǎn)；

（2） 當(dāng)AN＝9時(shí)，求BN的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖：這里第（1）問(wèn)可看成“問(wèn)題3”第（2）問(wèn)的拓展，如圖12，可補(bǔ)出“射線CP交邊AB于點(diǎn)E”，已有進(jìn)展“E為邊AB的中點(diǎn)”，結(jié)合“直徑所對(duì)的圓周角是直角”得出∠CPB＝90°，證出△BCE≌△ABM，可得AM＝BE，再等量代換，可得M為AD中點(diǎn)；解決第（2）問(wèn)時(shí)，仍然觀察圖12，將NP，NB看成是圓O的兩條切線長(zhǎng)，它們是相等的，這樣在Rt△PEB中，可證得N為BE的中點(diǎn)，于是N為AB的四等分點(diǎn)，結(jié)合AN＝9，則BN的長(zhǎng)為3.

2 教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

2.1 “一圖一課”教學(xué)預(yù)設(shè)的關(guān)鍵在開(kāi)放和留白

南京師范大學(xué)寧連華教授指出“教師在備課時(shí)應(yīng)根據(jù)課型、教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生情況等因素對(duì)課堂留白進(jìn)行預(yù)設(shè).”本文關(guān)注的“一圖一課”教學(xué)預(yù)設(shè)的關(guān)鍵在于開(kāi)放和留白.具體來(lái)說(shuō)，可以從正方形兩邊中點(diǎn)

的基本圖形出發(fā)，在“問(wèn)題1”中并沒(méi)有急于安排學(xué)生訓(xùn)練相關(guān)習(xí)題，而是將問(wèn)題設(shè)置成開(kāi)放題，用開(kāi)放題來(lái)驅(qū)動(dòng)開(kāi)放式教學(xué)，通過(guò)設(shè)問(wèn)留白，全體學(xué)生的思維都被充分卷入“問(wèn)題1”中，學(xué)生在獨(dú)立思考一段時(shí)間之后，不同的學(xué)生有了不同的鉆研進(jìn)展與深度，然后小組內(nèi)安排交流、分享，最后各小組選派代表全班交流展示.

2.2 “一圖一課”學(xué)程導(dǎo)進(jìn)要注意“快慢”平衡

寧連華教授曾指出：在設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意“快與慢”的平衡.對(duì)于上文正方形專題課來(lái)說(shuō)，顯得尤為重要.比如，“問(wèn)題1”是一道開(kāi)放題，學(xué)生設(shè)計(jì)出一些簡(jiǎn)單的、淺層次的問(wèn)題并不困難，但是要讓學(xué)生深入下去，發(fā)現(xiàn)并提出“EP∶BP∶FP∶AP∶AE＝1∶2∶3∶4∶5”這樣深刻的性質(zhì)并不容易，筆者曾多次試教該課，但能自主發(fā)現(xiàn)上述深刻性質(zhì)的學(xué)生卻很少，就要求我們?cè)谶@個(gè)看似簡(jiǎn)單的開(kāi)放問(wèn)題教學(xué)環(huán)節(jié)要舍得花時(shí)間去等待，促進(jìn)學(xué)生對(duì)基本圖形深入思考、深刻理解.而在后續(xù)“問(wèn)題2”“問(wèn)題3”中面對(duì)一些較難問(wèn)題時(shí)，只要有少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生能獲得思路，就可盡快安排他們上臺(tái)分享自己的解題思路，待他們講解之后，再安排與這些學(xué)生數(shù)學(xué)能力相近或稍弱的學(xué)生進(jìn)行復(fù)述（再講一遍），以便讓更多的學(xué)生跟進(jìn)理解.

2.3 “一圖一課”課堂小結(jié)要引導(dǎo)學(xué)生反思概括

專題課教學(xué)同樣要重視課堂小結(jié)的精心預(yù)設(shè).要通過(guò)小結(jié)環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)回顧、反思和提煉本課所學(xué)內(nèi)容，積累數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn).涂榮豹教授在文［3］中認(rèn)為：“解題學(xué)習(xí)中某些解題策略可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)式概括而獲得，共同特征是解決這類問(wèn)題的具有一般意義的規(guī)律.”結(jié)合本文課例來(lái)看，我們?cè)谡n堂小結(jié)環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)了“小結(jié)問(wèn)題”，讓學(xué)生回顧本課解題過(guò)程中哪些是熟悉的問(wèn)題，哪些是陌生的問(wèn)題，對(duì)哪類問(wèn)題印象深刻，并要求學(xué)生結(jié)合具體的題例在小組內(nèi)交流.這里提出“講題”的要求可有效促進(jìn)學(xué)生深刻理解本課所學(xué)，因?yàn)樵凇奥?tīng)懂→會(huì)做→能講”的學(xué)習(xí)進(jìn)階過(guò)程中，“能講”往往包涵了前兩者，也就達(dá)到了解題學(xué)習(xí)的最高階.

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