抓住圖形特征 破解折疊問題

張慶森

摘 要：正方形是初中數(shù)學(xué)中常見的平面幾何圖形，與正方形有關(guān)的線段長(zhǎng)度或圖形面積計(jì)算問題是歷年中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題.文章對(duì)2023年揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)第18題的解法進(jìn)行了深入研究，根據(jù)圖形的基本特征，利用全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)給出本題的多種解法，并根據(jù)圖形特征，給出本題的兩個(gè)有趣變式.通過“一題多解”學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，而且可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：正方形；折疊；勾股定理；相似三角形

正方形是初中數(shù)學(xué)中常見的平面幾何圖形，它是最特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì).與正方形有關(guān)的線段長(zhǎng)度或圖形面積的計(jì)算問題倍受命題者的青睞，是歷年中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題.本文對(duì)2023年揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)第18題的解法進(jìn)行了深入研究，根據(jù)圖形基本特征，給出了問題的多種解法和兩個(gè)有趣變式.

1 試題呈現(xiàn)

（2023年揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)第18題）如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將正方形沿著EF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)B′處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3∶5，那么線段FC的長(zhǎng)為 ???.

2 試題分析

本題是一道以正方形為基本圖形，以圖形的軸對(duì)稱為問題情境的線段長(zhǎng)度計(jì)算題.從已知條件來看，本題需將四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積之比轉(zhuǎn)化為相關(guān)線段之間的數(shù)量關(guān)系.如圖1，根據(jù)圖形特征，易發(fā)現(xiàn)四邊形ABFE與四邊形EFCD都是直角梯形，由梯形的面積公式知S_梯形ABFE=1/2（AE+BF）·AB，S_梯形EFCD=1/2（FC+DE）·CD，從而可得S_梯形ABFE/S_梯形EFCD=AE+BF/FC+DE=3/5.又AD=BC=1，所以AE+BF=3/4，F(xiàn)C+DE=5/4.令FC=x，則DE=5/4-x，B′F=BF=1-x，A′E=AE=x-1/4.因此，根據(jù)圖形特征，構(gòu)建已知條件與所求結(jié)論之間的邏輯關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，方程是解決本題的重要工具.從圖形特征來看，四邊形A′B′FE與四邊形ABFE關(guān)于直線EF對(duì)稱，∠A′=∠A=90°，∠A′B′F=∠B=90°，由此易得△A′EG∽△CFB′，△B′DG∽△FCB′（G為A′B′與AD的交點(diǎn)）.從而可考慮利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)列方程解決問題.根據(jù)正方形的基本特征，也可構(gòu)造全等三角形解決問題.因此本題主要考查正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，其綜合性較強(qiáng)，是填空題中的一道壓軸題，對(duì)學(xué)生而言具有一定的難度.

3 解法探究

基于以上分析，本題有多種解法.

思路1 利用勾股定理列方程求解

解法1：如圖2，過點(diǎn)F作FG⊥AD，垂足為G，連接BB′.

4 變式探究

變式1：如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將正方形沿著EF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)B′處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3∶5.求證：點(diǎn)B′是CD邊的中點(diǎn).

變式2：如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將正方形沿著EF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)B′處，如果梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為3∶5.求BF∶FC的值.

5 結(jié)語

從幾何圖形入手，抓住圖形的基本特征，是探尋幾何問題中已知條件與所求量之間邏輯關(guān)系的關(guān)鍵.在解決與正方形有關(guān)的折疊問題時(shí)可利用直角三角形或相似三角形構(gòu)建已知條件與所求結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，然后利用方程思想解決問題.當(dāng)已知條件與所求結(jié)論之間的邏輯關(guān)系不明顯時(shí)，可根據(jù)圖形特征適當(dāng)添加輔助線，使已知條件與所求結(jié)論之間的邏輯關(guān)系外顯化，為問題解決創(chuàng)造便利條件.通過“一題多解”學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，而且可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 暢英英.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有關(guān)折疊問題的解題研究［J］.數(shù)理化解題研究，2021（29）：2829.

［2］ 焦鷗.新課程下基于初中數(shù)學(xué)折疊問題的教學(xué)思考［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（28）：121122.