表面波紋度及粗糙度對微氣體軸承性能的影響*

李 祥 張小青 司麗娜 田 斌

(1.北京工商大學(xué)人工智能學(xué)院 北京 100048；2.北方工業(yè)大學(xué)機(jī)械與材料工程學(xué)院 北京 100144)

微氣體潤滑軸承具有精密度高、摩擦損耗小、無污染、壽命長等優(yōu)點(diǎn)，在MEMS器件特別是微旋轉(zhuǎn)機(jī)械中有廣泛的應(yīng)用前景。微氣體軸承的氣膜厚度通常在1～20 μm之間，與氣體平均分子自由程(λ)的量級(jí)接近，處于滑移流范圍[1]。黃海等人[1-2]分別采用一階滑移流、二階滑移流模型研究了具有光滑表面的微氣體軸承性能，發(fā)現(xiàn)滑移流效應(yīng)降低了軸承的承載力，并減弱了其抗擾動(dòng)能力。除滑移流模型外，適用于任意努森數(shù)的Fukui-Kaneko(F-K)模型[3-4]及WU新滑移模型[5]也逐漸應(yīng)用于對微氣體軸承的研究中，它們的結(jié)果與線性玻爾茲曼方程解更接近。

無論何種加工方法，都難以保證加工表面絕對光滑，軸承的表面往往存在微凸峰和凹谷，即存在形狀誤差。那些周期性重復(fù)出現(xiàn)的、波距在1～10 mm之間的形狀誤差，稱為波紋度，簡稱波度；那些沒有明顯的周期性、波距小于1 mm的形狀誤差，稱為表面粗糙度[6]。對于間隙在微米級(jí)的微氣體軸承而言，表面形貌的影響非常重要。DIMOFTE[7-8]研究了波紋度對徑向軸承性能的影響，發(fā)現(xiàn)波的幅值和位置會(huì)明顯影響軸承的性能。WANG等[9]發(fā)現(xiàn)表面波紋度的幅值增大(由1 μm增至3 μm)時(shí)，軸承承載力、流速均隨之增小，而摩擦因數(shù)則會(huì)增大；同時(shí)，波紋度對軸承動(dòng)特性也有一定的影響。TURAGA等[10]、LIN等[11]用CHRISTENSEN和TONDER[12]的隨機(jī)粗糙理論模型研究了表面粗糙度對動(dòng)壓軸承的影響，發(fā)現(xiàn)同光滑軸承相比，橫向粗糙度的存在可顯著提高軸承的承載力和穩(wěn)定性，而縱向粗糙度則相反。張文明等[13-14]則采用分形函數(shù)表征粗糙表面，探究了表面粗糙度對徑向氣體軸承性能的影響，發(fā)現(xiàn)表面存在粗糙度時(shí)，壓力分布和承載能力會(huì)發(fā)生不規(guī)則的波動(dòng)，和光滑表面軸承有很大差別。王玉娟等[15]、史寶軍等[16]研究了表面粗糙度對磁盤系統(tǒng)靜態(tài)特性的影響，發(fā)現(xiàn)表面粗糙度對承載能力的影響很大，但是對壓力中心的影響較小。

事實(shí)上，表面波紋度和表面粗糙度往往不是獨(dú)立存在的，然而目前針對復(fù)合粗糙表面對微氣體軸承性能影響的研究報(bào)道還很少，因此，研究在兩者共同作用下的微氣體軸承性能是非常有意義的。本文作者基于考慮稀薄氣體效應(yīng)的F-K模型，采用WEIERSTRASS-MANDELBROT(W-M)分形函數(shù)表征表面粗糙度，用正弦波近似表示表面波紋度，探討了不同周期、幅值、相位角條件下的波紋度與不同表面粗糙度對徑向微氣體軸承壓力分布、承載能力、壓力中心等性能的影響。

1 控制方程及數(shù)值求解方法

楔形滑塊常作為推力軸承的組成元件，許多氣體潤滑模型也可以簡化或者近似成楔形滑塊模型，且對楔形滑塊的分析有助于了解潤滑的基本特性[6，17]，故文中以無限長楔形滑塊為分析對象，研究表面波紋度及表面粗糙度對微氣體軸承潤滑特性的影響。

1.1 超薄氣膜潤滑 Reynolds方程

在氣體潤滑軸承中，由于氣體存在可壓縮性，故氣體的密度不是常量，應(yīng)采用可變密度的雷諾方程。微氣體軸承的氣膜間隙只有幾微米甚至更小，參考F-K模型，引入流量修正因子Q來修正雷諾方程。假設(shè)氣體為等溫理想氣體，且氣體具有黏度，則適合于超薄氣膜潤滑的Reynolds修正方程[18]為

(1)

流量修正因子Q的表達(dá)式為

(2)

式中：Dk為逆努森系數(shù)；pa為環(huán)境壓力；R是氣體常數(shù)；T是環(huán)境溫度；μ為氣體動(dòng)力黏度。

對于無限長楔形滑塊的穩(wěn)態(tài)分析，沒有y向速度，并且不考慮時(shí)間項(xiàng)，則在稀薄效應(yīng)下的雷諾方程為

(3)

定義量綱一化參數(shù)如下：

(4)

將式(4)代入方程(3)可得直角坐標(biāo)系下的量綱一化Reynolds方程：

(5)

1.2 膜厚方程

式(3)中的h為氣膜厚度，與軸承的結(jié)構(gòu)及尺寸有關(guān)。圖1給出了楔形滑塊軸承的結(jié)構(gòu)模型，當(dāng)組成楔形滑塊的兩個(gè)表面都光滑時(shí)，如圖1(a)所示，其膜厚是隨坐標(biāo)x線性變化的，其表達(dá)式為

圖1 具有不同表面形貌的楔形滑塊

hs(x)=(L-x)tanθ+h0

(6)

當(dāng)表面存在加工誤差時(shí)，不妨設(shè)滑塊上表面為光滑，下表面為粗糙表面，如圖1所示。當(dāng)表面僅存在粗糙度時(shí)，如圖1(b)所示，由于分形函數(shù)中分形維數(shù)和尺度系數(shù)聯(lián)系在一起具備表征粗糙度的唯一性和直觀性[19]，為此，文中采用W-M分形函數(shù)表征表面輪廓高度曲線hr，即：

(7)

式中：G為分形特征尺度系數(shù)；D(1

此時(shí)，膜厚方程變?yōu)?/p>

h=hs-hr

(8)

引入相對粗糙度δ來表征粗糙度的尺度，

(9)

其中Rq為均方根粗糙度，

(10)

相對粗糙度δ的大小可以通過調(diào)整特征尺度系數(shù)G和分形維數(shù)D來控制。

當(dāng)軸承表面僅存在波紋度誤差時(shí)，如圖1(c)所示，假設(shè)軸承的表面波紋度為正弦曲線，則表面輪廓曲線可以表示為

(11)

式中：A為波紋幅值；T為波紋的周期；φ為相位角。

僅存在波紋度加工誤差時(shí)的膜厚方程為

h=hs-hw

(12)

當(dāng)軸承表面同時(shí)存在粗糙度及波紋度誤差時(shí)，如圖1(d)所示，表面輪廓相當(dāng)于二者的疊加，此時(shí)膜厚方程為

h=hs-(hr+hw)

(13)

1.3 數(shù)值方法

有限差分法是一種求解微分方程的常用算法，在雷諾方程的求解中得到了廣泛的運(yùn)用。文中采取精度最高的中差分形式對修正的Reynolds方程進(jìn)行離散，得到一個(gè)關(guān)于壓力P的非線性方程組，接著用Newton-Raphson方法對其進(jìn)行求解，即可求得對應(yīng)于各節(jié)點(diǎn)的壓力值，即壓力分布。則氣體潤滑膜的承載力可以根據(jù)式(14)利用復(fù)合Simpson方法求得：

(14)

壓力中心就是載荷的作用點(diǎn)，可以通過對原點(diǎn)取矩求得。設(shè)原點(diǎn)與壓力中心的距離為x0，則有：

(15)

式(15)也是利用復(fù)合Simpson方法積分。

式(13)中的hs、hr、hw，通過式(4)量綱一化為Hs、Hr、Hw。

2 結(jié)果與討論

文中研究的楔形滑塊的基本參數(shù)如表1所示。

表1 楔形滑塊軸承基本參數(shù)

2.1 壓力分布分析

首先計(jì)算了僅存在表面粗糙度、僅存在波紋度及二者都存在3種情況下沿X向的壓力分布，如圖2所示。圖2(a)給出了不同相對粗糙度值δ下的壓力分布曲線，在計(jì)算中，δ值不能超過20%，否則會(huì)造成局部膜厚h<0，即發(fā)生碰磨。從圖2(a)可見，僅存在表面粗糙度時(shí)，軸承的氣膜壓力高于表面光滑時(shí)的壓力，表面相對粗糙度δ值越大，氣膜壓力越高；受表面粗糙度的影響，壓力曲線出現(xiàn)微小波動(dòng)，在粗糙度值大時(shí)及壓力峰值附近，這種波動(dòng)比較明顯。圖2(b)給出了周期T=1/3、相位角φ=0時(shí)不同幅值的波紋度下的壓力分布情況。可以看出，當(dāng)A較小時(shí)(如A=0.05)，存在波紋度情況下的氣膜壓力小于光滑表面氣膜壓力；隨著幅值A(chǔ)的逐漸增大，壓力曲線沿X向呈現(xiàn)明顯波動(dòng)，壓力值時(shí)而高于光滑表面，時(shí)而低于光滑表面，且壓力峰值較光滑表面左移，在Xc=0.7附近，這是由于受波紋度的影響，該處膜厚較小；在A>0.1時(shí)，存在波紋度情況下的壓力峰值高于光滑表面，但在出口附近壓力迅速降低，低于光滑表面，這是由于在出口附近，波紋度的存在增大了氣膜厚度。圖2(c)給出了相對粗糙度δ=10%并存在不同幅值(A=0.1，0.2，0.3)波紋度情況下的壓力分布情況。與表面光滑、僅存在粗糙度及僅存在波紋度下的壓力分布進(jìn)行對比發(fā)現(xiàn)，粗糙度及波紋度均存在時(shí)，壓力曲線的整體趨勢與僅存在波紋度的情況大體一致，但由于表面粗糙度的存在，其壓力值更高。

圖2 不同表面輪廓及對應(yīng)的壓力分布(Λ=10，H1=1.8)

總體而言，表面粗糙度對壓力分布的影響主要體現(xiàn)在壓力值大小上，粗糙度的存在提高了壓力值，對壓力分布曲線形態(tài)影響不大；波紋度則對壓力分布曲線的形狀有較大影響，壓力曲線也具有波紋狀的波動(dòng)特點(diǎn)，在幅值A(chǔ)較大時(shí)更為明顯。從圖2(b)可以看出，當(dāng)僅波紋度幅值不同而相位及周期相同時(shí)，其對應(yīng)的壓力分布曲線形狀接近，只是幅值不同。文中對其他周期(T=1，1/5，1/9)情況進(jìn)行了研究，如圖3所示，得到的結(jié)論是一致的。

圖3 不同波紋周期和幅值條件下的壓力分布

通過圖3中不同波紋周期與幅值下軸承壓力分布曲線的對比發(fā)現(xiàn)，當(dāng)波紋周期T=1時(shí)，波紋度會(huì)降低軸承的氣膜壓力值，且幅值A(chǔ)越大，氣膜壓力下降越明顯；當(dāng)波紋周期T=1/5時(shí)，隨著幅值A(chǔ)的增大，氣膜壓力峰值逐漸增大，但在靠近氣體出口處，壓力驟降較為明顯；當(dāng)波紋周期T=1/9時(shí)，雖然存在波紋度情況下壓力分布仍有波動(dòng)，但在0

軸承的波紋表面幾何形態(tài)不僅與幅值和周期有關(guān)，還受到波紋相位角(即波紋的起始位置)變化的影響。取波紋幅值A(chǔ)=0.1、周期T=1/3，計(jì)算了φ=0、φ=π/2、φ=π、φ=3π/2時(shí)的壓力分布，結(jié)果如圖4所示。可以看出，壓力分布與波形有一定的相似性，不同的相位角對壓力分布影響較大。對于文中算例，φ=0時(shí)的氣膜壓力低于軸承表面光滑時(shí)的值；φ=π時(shí)，軸承的氣膜壓力最大，其峰值位置較其他3種情況明顯后移。因此，除幅值和周期外，波紋度的相位角對軸承的壓力分布也有明顯的影響。

圖4 相位角對壓力分布的影響

2.2 承載力及壓力中心分析

圖5給出了不同軸承數(shù)時(shí)承載力和壓力中心隨表面粗糙度的變化曲線。由圖5(a)可見，當(dāng)軸承數(shù)相同時(shí)，表面粗糙度的存在可以提高軸承的承載力，且相對粗糙度值越大，軸承的承載力越高；粗糙度值相同時(shí)，軸承數(shù)越大，承載力越高。從圖5(b)可以看出，在軸承數(shù)較小時(shí)，隨著粗糙度值增大，軸承的壓力中心的坐標(biāo)Xc逐漸減小，即向入口區(qū)移動(dòng)；當(dāng)軸承數(shù)在30～100范圍內(nèi)時(shí)，表面粗糙度值對軸承的壓力中心影響不大；當(dāng)軸承數(shù)較大時(shí)(如Λ=150)，隨著粗糙度值增大，壓力中心略微向出口區(qū)移動(dòng)；在同一粗糙度值下，軸承數(shù)越大，系統(tǒng)的壓力中心越靠近出口。

圖5 不同軸承數(shù)時(shí)表面粗糙度對軸承性能的影響

從2.1節(jié)的分析可知，軸承表面波紋度的幅值、周期、相位角對軸承壓力分布都有較大影響。為了進(jìn)一步探究上述參數(shù)對軸承潤滑特性的影響，計(jì)算了不同參數(shù)下的軸承承載力和壓力中心，如圖6及圖7所示。從圖6中可以看出，波紋度周期相同時(shí)，隨著相位角的增大，軸承承載力先升高再減小，呈現(xiàn)出周期性的變化，在相位角φ=3π/4附近時(shí)，承載力最高；且波紋度的幅值越大，承載力越大；軸承壓力中心隨相位角的變化趨勢與承載力相似，隨著相位角的增大，壓力中心坐標(biāo)值Xc逐漸增大，在相位角φ=3π/4附近時(shí)，達(dá)到最大，之后逐漸減小；在π/4<φ<5π/4范圍內(nèi)，波紋度幅值越大，壓力中心越靠近壓力出口，其他范圍則相反。

圖6 相位角對軸承承載力及壓力中心的影響(T=1/3)

從圖7中可以看出，波紋度的相位角相同時(shí)，隨著周期的逐漸增大，軸承承載力的變化不是單調(diào)的，周期T從1/9增至1的過程中，時(shí)而增大，時(shí)而減小，在0.4及0.8附近分別出現(xiàn)峰值；當(dāng)波紋度的相位角相同時(shí)，與承載力類似，軸承的壓力中心隨周期增大也呈現(xiàn)出不規(guī)則的變化趨勢。

圖7 周期對軸承承載力及壓力中心的影響(φ=0)

從2.1節(jié)的研究可知，復(fù)合粗糙表面對軸承的壓力分布有較大影響，為了進(jìn)一步探究其對軸承潤滑性能的影響，分別計(jì)算了光滑表面、僅存在波紋度、僅存在粗糙度及二者并存情況下承載力及壓力中心隨軸承數(shù)的變化曲線，結(jié)果如圖8所示。從圖8(a)可以看出，僅存在波紋度的表面對應(yīng)的承載力最小，小于光滑表面；復(fù)合粗糙表面可以彌補(bǔ)表面波紋度帶來的承載力的降低，且軸承數(shù)越大，效果越明顯；僅存在粗糙度的表面，承載力最高，且粗糙度越大，承載力越大。從圖8(b)可以看出，當(dāng)軸承數(shù)Λ<40時(shí)，由于表面粗糙度對壓力中心影響較小，圖中壓力中心曲線大致分成兩組：復(fù)合粗糙表面和波紋表面壓力中心的值很接近，而僅粗糙表面情況下的壓力中心則與光滑表面很接近；在Λ>40以后，逐漸分化，復(fù)合粗糙表面使軸承壓力中心向出口處移動(dòng)。

圖8 不同表面形貌下軸承的承載力及壓力中心隨軸承數(shù)的變化曲線

3 結(jié)論

(1)在一定范圍內(nèi)，表面相對粗糙度的增大有助于提高承載力和氣膜壓力；表面波紋度的存在會(huì)使軸承的壓力分布呈現(xiàn)明顯波動(dòng)，波紋幅值越大，波動(dòng)越明顯；復(fù)合粗糙表面可以彌補(bǔ)表面波紋度所引起的承載力和壓力的降低，隨著軸承數(shù)的增大，效果逐漸明顯。

(2)波紋周期在0.4及0.8附近時(shí)承載力和壓力中心分別達(dá)到峰值；波紋相位角在φ=3π/4附近時(shí)，軸承的承載力達(dá)到最大，并且壓力中心也處于距離壓力出口最近處。

(3)表面粗糙度對軸承壓力中心的影響較小，而表面波紋度對軸承壓力中心的影響較大，在Λ>40以后，復(fù)合粗糙表面對壓力中心的影響逐漸變大，使得軸承壓力中心向出口處移動(dòng)。