準穩態下常功率平面熱源法測不良熱導體熱導率及COMSOL 模擬

方奕忠 沈韓 崔新圖 黃臻成 馮饒慧 廖德駒 龐曉寧

摘 要 準穩態法是測量不良熱導體熱導率的一種常用方法， 樣品材質、保溫層、加熱功率等都會對測量結果造成影響。本文采用分離變量法， 以有機玻璃為例， 求解了厚度均勻的無限大不良熱導體兩側同時施加均勻的指向中心面的熱流密度時的熱傳導方程，得到樣品各處的溫度隨時間變化的嚴格解。在初始加熱時間不到十分鐘的狀態下采用截斷近似， 并在準穩態下用常功率平面熱源加熱法測量了不良熱導體的熱導率k及比熱c。在此基礎上， 采用四塊有機玻璃板和兩個加熱薄膜外包泡沫和聚丙烯（PP）阻熱材料的模型， 作了COMSOL多物理場耦合仿真， 得到的理論、實驗及仿真結果三者符合得很好。

關鍵詞 準穩態; 不良熱導體; 熱導率; 虛實結合; COMSOL仿真模擬

準穩態法是測量不良熱導體熱導率的常用方法， 測量結果受樣品材質、保溫層性質、熱源位置、加熱器形狀及功率等多種因素影響。本文根據虛實結合實驗[1-7]設計的理念， 采用理論、實驗和仿真相結合的方式探討不良熱導體內部的溫度分布及變化過程。理論求解了一個厚度均勻無限大不良熱導體平板兩側同時施加均勻的指向中心面的熱流密度時板內各處的溫度變化情況。在準穩態情況下， 用常功率平面熱源加熱法[8]測量了四塊有機玻璃樣品板和兩塊加熱膜構成的體系中樣品的熱導率及比熱[9]， 并采用COMSOL 多物理場耦合仿真軟件[10]分三種模型仿真了實驗過程，包括雙樣品模型、四樣品理想模型、四樣品實驗模型等，仿真模型復雜程度逐步提升，逼近真實實驗。結果證明， 理論、實驗、COMSOL 仿真模擬三方面符合得很好。

1 理論模型及求解

考慮一無限大不良熱導體平板， 厚度為2L，初始溫度為T0，在平板兩側同時施加均勻的指向中心面x =0的熱流密度qc，如圖1所示。平板上各點x 在t 時刻的溫度值為T =T （x，t），則T滿足定解問題

2 實驗測量及結果

實驗裝置如圖2所示。實驗樣品做成長方體， 截面為正方形。為了盡可能滿足無限大平板的理論假設， 樣品的厚度小于方形截面的邊長的1/6。實驗采用的不良熱導體樣品為有機玻璃，樣品厚度L=0.010m，密度ρ=1196kg/m3，共有四塊，與樣品架配合使用。

為了精確測量加熱面的熱流密度qc， 實驗采用薄膜形的加熱器， 如圖2所示。加熱膜厚度l=0.123mm， 邊長與樣品相同， 由厚度為0.03mm、寬約1.50mm 的銅箔細長條片迂回近似均勻地嵌在聚酰亞胺薄膜的中間。給銅箔通電即可產生熱量， 其加熱功率在整個加熱面上均勻并可精確控制。四塊樣品兩兩夾持薄膜形加熱器， 保證加熱膜兩側的熱阻相同， 可認為熱流密度為功率密度的一半。測溫用的兩個T型熱電偶的熱端分別安裝在中心面和其中一個加熱面（取樣品3和樣品4之間的加熱面）的中心處。則通過樣品的熱流密度可表示為

qc =U2/（2Fr） （單位為W/m2） （27）

其中，U 為兩并聯加熱膜的加熱電壓， F=S/A 為邊緣修正后的加熱面積。修正是因為有機玻璃樣品不是無限大平板， 且樣品的四周用聚丙烯（PP）板和中發泡泡沫板阻熱， 做不到完全絕熱。經實驗和COMSOL模擬可知， 該修正因子可取A =0.85。S=0.09m×0.09m 為修正前的實際加熱面積， 每塊加熱膜的電阻r ≈109.74Ω， 若U =19V， 則qc=172.60W/m2。

實驗中分別測量中心面溫度和加熱面溫度隨時間的變化關系。兩個熱電偶對應的冷端均放在同一個保溫杯里面， 保溫杯保持為室溫， 故兩個冷端的溫度保持相同。我們從室溫T0=295.70K開始給加熱膜通電， 通電電壓保持為U =19V，記錄加熱面熱電偶與中心面熱電偶之間的溫差熱電勢U1 和中心面熱電偶相對于室溫冷端的中心面熱電勢U2。大約加熱10分鐘后， 溫差熱電勢U1 將保持不變， 而中心面熱電勢U2 隨時間近似線性上升， dU2/dt 近似為常數。實驗采用的銅康銅熱電偶（T 型熱電偶）在室溫附近的電壓溫度系數λ=0.0404mV/K，據此可分別算出中心面和加熱面之間的溫度差ΔT1=U1/λ 和中心面的溫度T2=U2/λ+T0。ΔT1 和T2 隨加熱時間的變化關系如圖3所示。加熱10分鐘后， ΔT1=5.050K， dT2/dt=0.0101K/s。代入式（25）和式（26）， 得熱導率k=0.1709W/（m·K）， 比熱c=1429J/（kg·K）。

3 熱傳導過程的COMSOL仿真

3.1 雙樣品理想傳熱模型的仿真

考慮兩塊緊貼在一起的有機玻璃板，每塊厚度L=0.010m，邊長d=0.090m，則截面面積S=d2。樣品兩端以熱流密度qc 均勻地注入熱量。在兩塊板中間分界面的中心放置一域點探針1，右邊注入熱流密度的表面中心處放置另一域點探針2，所有外表面絕熱。仿真時取qc =U2A/（2rS ）=172.60W/m2，有機玻璃密度ρ=1196kg/m3，熱導率k=0.1709W/（m·K），恒壓比熱容c=1429J/（kg·K），網格化時兩塊板都選細化或較細化，如圖4所示。COMSOL 模擬結果分別見圖5、圖6和圖7。可見大約8分鐘后，加熱面和中心面之間的溫度差基本不變，ΔT1=5.04K，與實驗值相比相對誤差在±0.10%內;而中心面溫度隨時間的變化率dT2/dt=0.0100K/s，與實驗值相比相對誤差在±0.50%內。

3.2 四樣品理想傳熱模型的仿真

考慮四塊同材料同尺寸的勻質有機玻璃板緊靠在一起，每塊板厚度L=0.010m，邊長d=0.090m。如圖2所示，在第1塊、第2塊樣品之間和第3塊、第4塊樣品之間分別放置一加熱薄膜，故需考慮6塊長方體的熱傳導。加熱薄膜由銅箔及聚酰亞胺薄膜組成，銅箔密度ρ1 =8960kg/m3，恒壓比熱容c1 =385J/（kg·K），熱導率k1=400W/（m·K）;聚酰亞胺密度ρ2=1420kg/m3，恒壓比熱容c2=1090J/（kg·K），熱導率k2=0.5W/（m·K），銅箔厚度l2=0.03mm，寬1.5mm，按迂回的長條片均勻嵌在聚酰亞胺薄膜的中間薄層。由于整個加熱膜厚度l=0.123mm，銅箔的厚度占了約1/4，銅箔的面積約等于整個加熱膜面積的2/3，故銅箔體積約占整個加熱膜的1/6，聚酰亞胺約占5/6?？扇〖訜崮ふw密度ρ=16ρ1+56ρ2=2676.8kg/m3，恒壓比熱容c=16c1+56c2=972.5J/（kg·K），熱導率k=16k1+56k2=67.09W/（m·K）。四塊有機玻璃板和兩塊加熱膜構成一個整體，且整體結構的外表面均設為絕熱。兩個加熱膜的加熱熱流均取qc =U2A/rS，其中的修正因子A =0.85。網格化時加熱膜的單元尺寸需選較細化或極細化，有機玻璃板可選細化，如圖8 所示。COMSOL模擬結果分別示于圖9、圖10和圖11，可見大概加熱8分鐘后，加熱面與中心面之間的溫度差基本恒定，ΔT1=4.99K，與實驗值相比相對誤差落在±0.60%內;中心面域點探針1的溫度對時間的變化率dT2/dt=0.0100K/s，與實驗值相比相對誤差落在±0.50%內。表明四樣品理想模型仿真結果與實驗結果符合得很好。

3.3 四樣品真實傳熱模型的仿真

在四樣品理想模型基礎上，在左右兩端面用中發泡厚泡沫板阻熱，每塊泡沫板邊長122mm，厚47mm，恒壓比熱容c3=4200J/（kg·K），熱導率k3 =0.046W/（m·K），密度ρ3 =400kg/m3。四塊樣品及兩塊加熱膜共六塊板的四周用PP板進行阻熱，所有阻熱板和泡沫板外表面均與周圍環境的空氣有熱交換，滿足第三類邊條件，且取熱交換系數h=150W/（m2·K）。PP 板的底部高為45mm，左右邊寬均為63mm，頂部高為40mm，模型中四周PP板的總厚度均為40.246mm。PP板密度ρ4 =920kg/m3，恒壓比熱容c4 =1900J/（kg·K），熱導率k4 =0.90W/（m·K），室溫取T0=295.70K，加熱膜加熱功率Q=U2/r，不含修正因子，U 和r 取值與四樣品理想模型一致，網格化時加熱膜的單元尺寸可選較細化（或超細化），有機玻璃板可選常規（或細化），見圖12。用COMSOL模擬的結果分別見圖13、圖14和圖15?？梢姡敿訜釙r間達8分鐘后，加熱面和中心面的溫度差穩定在ΔT1=5.15K，與實驗值相比相對誤差落在±0.99%內;中心面的升溫速率dT2/dt=0.0105K/s，與實驗值相比相對誤差落在±2.0%內。仿真結果與實驗及前兩種模型的仿真結果基本符合。圖16為中心截面的等溫線分布，對稱性好。

4 結語

本文在無限大不良熱導體導熱時溫度變化的嚴格解的基礎上，采用COMSOL 多物理場耦合仿真軟件分別仿真了雙樣品理想模型、四樣品理想模型和四樣品真實模型傳熱過程中的溫度分布及溫度變化情況，仿真結果與理論、實驗基本符合。清楚說明了在實驗設計中由于作了簡化，需要在熱流密度中引入修正因子A ，且取A =0.85是合理的。

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