非線性動力學在磁約束核聚變約束模式轉換中的應用

艾媛媛 朱浩

摘 要 非線性動力學在諸如雙擺和振蕩電路等本科物理教學中扮演著積極的角色。雅可比矩陣作為非線性動力學中的重要概念，常被用來分析不動點的性質。本文中我們先推導了一個二維系統中雅可比矩陣的具體形式，并將其應用到磁約束核聚變約束模式轉換模型，最后延伸求解出ZCD模型中各不動點的雅可比矩陣本征值。我們隨后調整了模型中的外界加熱功率，并使用雅可比矩陣觀察模型中非線性動力學性質的變化。經研究發現，外界加熱功率的改變會使得ZCD模型極限環的大小發生變化，即功率越大極限環半徑越大。極限環半徑的擴大導致環與鞍點相交為一個同宿軌，誘使系統產生同宿分岔。

關鍵詞 非線性動力學;雅可比矩陣;約束模式轉換模型;同宿分岔

非線性動力學（nonlinear dynamics）是研究系統中各種運動狀態的定量和定性規律的科學[1-5]。非線性動力學系統是由一個或一組非線性微分方程描述的隨時間變化的系統。若想要預測一個系統的運動軌跡，我們首先需要給出它在微小時間尺度里的性質并列出動力學方程[6]。

人們對非線性問題的認識始于17 世紀。1673年惠更斯發現了非線性現象[7]。在1687年牛頓發現了運動定律和萬有引力之后，數學家和物理學家開始嘗試將其推廣到三體問題，但是并沒有取得成功。直到19世紀末，法國科學家龐加萊創立了微分方程的定性理論，為非線性動力學的發展奠定了基礎[8]。他首次發現了系統的混沌行為，混沌是一種確定性系統（deterministic system）展示出敏感依賴于初始條件的非周期行為。

1963年洛倫茲在研究大氣對流模型時，發現了系統蝴蝶形狀的運動軌跡，這標志著混沌理論的誕生[9]。混沌理論廣泛應用于各個領域，科學家們也因此發展了很多數學方法，在這個過程中Duffing方程、Van der Pol方程、Mathieu方程等著名的數學模型相繼被建立，它們至今仍被人們用來研究非線性系統動力學現象的本質特征[10]。從20世紀60—70年代開始，非線性動力學理論成為一門重要的前沿學科，分岔和混沌的研究隨之成為新的研究熱點。非線性動力學的思想與方法已被應用到很多的新領域，比如系統生物學、經典力學和社會物理學等。

非線性方程的求解方法相較線性方程更加困難。定性方法和定量方法是研究非線性動力學的兩條路徑，二者缺一不可。定量方法又分為解析法和數值法。通常情況下，我們很難得到非線性方程的解析解，所以只能求解確定參數時的數值解。定性方法是運用幾何的思維方式，從非線性微分方程入手，利用相圖（phase plot）來描述微分方程。在相圖中，我們可以研究不動點的穩定性，并預測系統隨時間演化的行為。在分析具體問題時，定量地去度量穩定性是很有必要的。這需要我們在方程的不動點附近，將非線性方程線性化。在一維向量場中的不動點處，圖像的斜率決定了不動點的穩定性。對于多元系統，則需要求解其雅可比矩陣來分析不動點的穩定性。據筆者了解，同時采用定性和定量分析方法研究具體多元系統非線性動力學性質的中文論文并不多。所以本文通過分析磁約束核聚變模式轉換中的ZCD模型，來做一個教學式的推導以期回顧教學并延伸到科研。本文框架如下：

（1） 推導二維非線性動力學系統雅可比矩陣的具體形式。

（2） 簡單介紹磁約束核聚變裝置托卡馬克中的L-H 約束模式轉換模型。

（3） 通過調整ZCD模型中外界加熱功率的參數，以實現核聚變約束模式的轉換，并利用相圖和雅可比矩陣分析和觀察模型中各不動點非線性動力學性質的變化。

2 磁約束核聚變L-H 轉換模型

核聚變是兩個輕原子核結合組成一個較重原子核的過程，而其中的L-H 約束模式轉換則是受控核聚變中一個重要的研究分支[11]。實現核聚變反應需要達到2億攝氏度的高溫，在高溫下物質表現為等離子體態，等離子體在高溫下劇烈運動，所以這對聚變反應堆的設計有著極高的要求。科學家們因此構建了多種約束等離子體的裝置，其中利用磁場來約束等離子體的托卡馬克裝置是最為有效的。托卡馬克裝置的反應原理為氫元素的同位素氘（21H 或D）與氚（3 1H 或T）聚合反應生成氦（4 2He）。實現核聚變反應需要滿足勞森判據（Lawson Criterion）nTeτE >1021m-3sKeV，其中n 為等離子體密度，Te 為等離子體溫度，τE 為能量約束時間。雖然根據愛因斯坦質能方程計算，很少的反應物便可以釋放大量的能量，但是目前在實驗上等離子體的約束時間是非常短的，所以人工受控核聚變的實現需要更高的約束水平和更長的約束時間。

托卡馬克裝置是由兩個主要磁場合成一個螺旋磁場，使等離子體繞磁力線做拉莫爾回旋運動。其中，一個磁場是由纏繞在圓環形真空室外面的銅線圈產生的環向磁場，另一個是由等離子體中的帶電粒子電流產生的極向磁場，如圖1所示。在非均勻磁場下等離子體會發生漂移[13]，等離子體之間的相互作用會產生能量輸運過程。由等離子體湍流引起的輸運過程稱為反常輸運。等離子體邊緣湍流較強使得溫度梯度較弱，會損失大量能量，這導致托卡馬克處在一個較低的約束水平，即低約束模式（L 模式）。在1982年，ASDEX 托卡馬克裝置加熱期間能量約束問題得到了大幅改善。Wagner等人發現在L模的基礎上通過提高加熱功率，并達到一定的閾值之后會實現L-H 模式轉換，H 模式為高約束模式[14]。H 模式的邊緣區域由于密度和溫度突然增長而出現邊緣輸運壘，整體約束水平得到極大的提升。因此H 模式是未來反應堆的理想約束模式。

3 外界加熱功率引起的同宿分岔

本節我們通過改變外界加熱功率q，用非線性動力學的方法對ZCD 模型中極限環的性質做進一步研究。圖2～圖6為q 值不同時溫度梯度N 、等離子體湍流強度E、帶狀流U1、測地聲模U2以及加熱功率q 隨時間變化的圖像（左側）和系統在相空間（E， U2， N ）中的時間演化（右側），其中箭頭表征演化的方向。

圖2中q 值為0.47，其圖像包括了四個階段，分別為H 模式、L模式、T模式和O模式。四個模式分別對應到相空間中我們所求解的四個不動點A 、B、C、D ，在圖1（b）中已標出。我們在圖1（a）中觀察到，在t=6500附近帶狀流U1 逐漸消失，U2 隨之增長，湍流E 被抑制，從而出現了一個非常穩定的極限環。在極限環狀態下U1 為零，E、N 、U2 不為零。表1中顯示不動點D （極限環）處本征值包含一對共軛復數，且實部為正數，軌跡螺旋運動至極限環。實際的實驗中系統會通過極限環振蕩模式達到H 模，H 模式為N 更高的狀態。為研究控制因子q 對系統約束水平的影響，我們在圖3～圖6中改變了外界加熱功率q，其值分別為q=0.49、q=0.52、q=0.54 和q=0.549。

我們發現在圖2至圖5顯示的變量隨時間變化的圖像（a）中，隨著q 值的增大，軌跡在第一個不動點A（H 模）的持續時間明顯增長，q 由0.47增至0.54時，t 由約400增至約2500。但是軌跡在B 點（L模）和C 點（T 模）處的持續時間幾乎不變，即H 模對于q 值的大小更為敏感。q 值的增大直接導致N 值增大，這導致帶狀流U2 被抑制，在（E，N ）平面中U2 的最大振幅減小，且振蕩頻率增加。除此之外，最明顯的變化是極限環的周期和半徑，它們更加依賴于外界加熱功率q 值的大小。具體表現為q 值越大，極限環的周期越長，半徑越大。極限環周期的延長使得系統處在H 模的時間更長，即約束時間更長;極限環半徑的增大導致軌跡向（E，N ）平面和（U2，N ）平面靠近。極限環周期的變化具體體現為，U2 的振幅變化范圍越來越大，最小值越來越趨近于0，湍流便不能被很好的抑制，在每個周期中湍流存在急速增長和急速下降的情況。在圖5中，伴隨著U2 和E 之間的相互作用，極限環與鞍點A 和鞍點B 相重合，系統發生了同宿分岔。

通過數值計算，我們在表1中看到當q=0.54時，雅可比矩陣的本征值反映不動點D 是一個鞍點，而并非圖5（b）中的極限環。在同宿分岔中，隨著系統中參數變化，極限環與鞍點可以彼此越來越近直至相交。環與鞍點在相交后成為一個同宿軌道。在圖2（b）至圖5（b）相圖中我們可以看到在q 值在達到0.54之前，極限環由于周期延長越來越接近A 、B 這兩個鞍點。當q 值增加至0.54時，極限環膨脹且爆裂為鞍點，同時產生一條同宿軌（見圖5），q=0.54即為系統產生同宿分岔的一個閾值。由于鞍點不穩定的性質，當q 大于0.54時，鞍形連接會分裂，導致系統無法回到同宿軌道，即環被摧毀。同宿分岔是全局分岔的一種類型，其會導致相空間中軌跡的拓撲結構發生變化，而且這種變化不像局部分岔那樣局限在一個小的鄰域內，拓撲結構的變化可以延伸到任意大的距離。如圖6（b）所示，整個系統形成了一條同宿軌道。在圖6中，同宿分岔導致U1 周期振蕩，湍流被更好地抑制，約束水平達到最高。

4 結語

在本科物理教學中會遇到一系列非線性微分方程的求解和分析問題，本文回顧并利用了非線性動力學中的雅可比矩陣來分析磁約束核聚變的約束模式轉換模型。雅可比矩陣的本征值反應了不動點附近變量的衰減率，四維方向上的衰減率共同決定了不動點的性質，這為我們預測模型隨時間的演化提供了數值依據。在ZCD 模型中，我們發現外界加熱功率q 值會影響到極限環的周期，q 值越大極限環的周期越長。極限環半徑的增大導致了極限環與鞍點相重合，誘使系統產生同宿分岔，出現一條同宿軌。在產生同宿分岔時，極限環狀態的不動點D 與鞍點A 非常接近，導致本征值的計算結果與所繪制相圖中不動點的性質不相符，雅可比矩陣可以部分解釋磁約束核聚變中L-H 轉換模式。在物理教學中應該注意到求解雅可比矩陣的本征值不能準確地描述軌跡的性質，需要結合相圖具體分析。

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