從核心素養(yǎng)的視角 再談高中數(shù)學(xué)建模

摘 要：數(shù)學(xué)建模要立足于學(xué)生已有的知識與能力，以學(xué)生為本，以核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為目標(biāo)組織和實(shí)施課堂教學(xué).要引導(dǎo)學(xué)生積極參與，通過觀察分析，主動發(fā)現(xiàn)情景的本質(zhì)屬性和規(guī)律，要在模型的分析與建立，以及模型的應(yīng)用與反思的教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察和發(fā)現(xiàn)問題，會用數(shù)學(xué)的思維思考和分析問題，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)和解決問題.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)建模；三角函數(shù)的應(yīng)用；教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ""文章編號：1008-0333（2023）09-0002-03

數(shù)學(xué)建模一般包括問題分析、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析、模型檢驗(yàn)、模型應(yīng)用七個步驟.數(shù)學(xué)建模的教學(xué)能更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能，在引導(dǎo)和培養(yǎng)“學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”上意義更加深遠(yuǎn).本文擬結(jié)合高中數(shù)學(xué)（人教A版）第一冊第五章中的《三角函數(shù)的應(yīng)用》的幾個教學(xué)片斷和大家交流這方面的實(shí)踐與思考，不當(dāng)之處還請批評指正［1］.

1 模型的分析與建立

首先從學(xué)生生活中熟悉的情景出發(fā)，引出要解決的問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，教師結(jié)合前面學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)知識來揭示探究的方向.

教學(xué)片斷1

師：生活處處皆數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)無處不生活.正如法國著名的雕刻家奧古斯特羅丹所說：“生活中從不缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛，數(shù)學(xué)亦是如此.”在我們的生活中有許多這樣的現(xiàn)象：日出日落、春夏秋冬、潮汐潮落、天體運(yùn)動等等，這些現(xiàn)象的共性是都具有周期性，我們已經(jīng)知道三角函數(shù)是刻畫周期性現(xiàn)象的一個重要模型，這不由得讓我們產(chǎn)生這樣的思考：可否借助于三角函數(shù)去研究這些周期現(xiàn)象，并進(jìn)一步對現(xiàn)實(shí)中的一些實(shí)際問題做出決策、給出有參考價值的建議.

師：同學(xué)們先來看一個動畫（課件演示彈簧振子的運(yùn)動）.暫停動畫后，大家想想，現(xiàn)在開始計(jì)時，怎樣可以得出１０秒后彈簧振子離開平衡位置的距離？

師：開始動畫演示，繼續(xù)觀察一下這個彈簧振子的運(yùn)動，發(fā)現(xiàn)有什么特點(diǎn)？

生1：來回?cái)[動.

師：對，經(jīng)過一段時間振子又回到原來的位置了，這種運(yùn)動的特點(diǎn)是循環(huán)往復(fù)，具有周期性特征.

師：既然這樣，我們要解決剛剛提出的問題，同學(xué)們說說看要先解決什么問題？

生2：先求出振子離開平衡位置與時間的關(guān)系式就好了.

師：很好，我們要抓住其運(yùn)動規(guī)律，也就是“函數(shù)關(guān)系式”，利用其規(guī)律來解決問題.

師：（追問）你能求出這個函數(shù)關(guān)系式嗎？還記得函數(shù)的表示方法有哪些嗎？

生２：可以從演示開始，先采集一些數(shù)據(jù)，然后列表、描點(diǎn)，連線，…

師：好，我們一起來采集一些數(shù)據(jù)（呈現(xiàn)教材中提供的數(shù)據(jù)，如表1）.

大家觀察一下，這些數(shù)據(jù)的變化有什么特征？

生３：有正有負(fù)，先是隨時間變化變大（增），然后再變?。p），再變大，…

生４：數(shù)據(jù)會重復(fù)的出現(xiàn)，t=0時位移是-20，t=0.6秒時又變成-20了，還有t=0.15和t=0.45 的位移也是一樣的，…

師：很好，接下來我們借助計(jì)算機(jī)，將其對應(yīng)的散點(diǎn)圖繪制出來.（師演示繪制散點(diǎn)圖）

師：通過散點(diǎn)圖，我們能較為直觀地感受到其運(yùn)動變化的特點(diǎn)，現(xiàn)在把這些散點(diǎn)用線連起來，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

生５：與我們前面學(xué)習(xí)的三角函數(shù)圖像“雷同”！

師：散點(diǎn)圖可以讓我們直觀地感知到位移和時間的變化特點(diǎn)，將這些點(diǎn)連線后可以觀察到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的一般規(guī)律，從而便于找到合適的模型來解決問題.

設(shè)計(jì)意圖 立足核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生觀察生活現(xiàn)象，觀察數(shù)據(jù)、表格，觀察散點(diǎn)圖，讓學(xué)生在觀察中思考，在思考中觀察，運(yùn)用所學(xué)的知識去分析問題，運(yùn)用所學(xué)的方法去探究問題.

教學(xué)片斷２

師：實(shí)際上，這個運(yùn)動在物理中叫簡諧運(yùn)動，我們來看一下物理中簡諧運(yùn)動的原理.

教師播放動畫“簡諧運(yùn)動的運(yùn)動原理”和“單擺沙漏”.

師：這些彈簧振動，單擺沙漏都是簡諧運(yùn)動，根據(jù)我們所學(xué)的物理知識，我們正是用三角函數(shù)來刻畫其運(yùn)動的位移和時間的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖 借助情境中相關(guān)的物理知識，從理論和運(yùn)動圖像上簡短地加以說明和驗(yàn)證用三角函數(shù)模型刻畫周期性現(xiàn)象的可行性，從而驗(yàn)證了數(shù)學(xué)思維的正確性.

師：物理中也給出其位移和時間的關(guān)系式是y=Asin（ωt+φ），這里我們要做一點(diǎn)說明，在數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)更一般地形式是y=Asin（ωt+φ）+b，因?yàn)槲覀冞@里的x軸就是平衡位置，所以b=0，那么如何根據(jù)我們的數(shù)據(jù)來確定另外三個待定的系數(shù)呢？

生6：觀察知，最大的位移是20，所以A =20.

師：那ω呢？求ω就要先求什么？

生7：周期.

師：對！那周期是多少呢？你是怎么得到的？

生8：周期等于0.6，相鄰兩個最小值之間就是一個周期，所以ω=103π.

師：好，到這里就得到了解析式y(tǒng)=20sin（103πt+φ），現(xiàn)在還有一個φ沒有確定，同學(xué)們有辦法嗎？

生9：選擇一個點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式.

師：這樣可以得到一個關(guān)于φ的三角方程，再通過解方程就可以求出φ，那么你選擇了哪個點(diǎn)呢？

生9：t=0 時y=-20.

師：（板書過程）化簡得sinφ=-1. 我們知道這樣的φ有很多個，可以統(tǒng)一表示為φ=2kπ+32π（k∈Z）.為方便起見，我們可以在前面引入三角函數(shù)模型的時候，對其中的系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊?guī)定，如|φ|lt;π.

這里我們要做兩點(diǎn)說明：第一點(diǎn)tgt;0，因?yàn)槲覀兪怯煤瘮?shù)模型去刻畫實(shí)際問題，所以函數(shù)模型的定義域要受到實(shí)際問題限制；第二點(diǎn)求φ時，是將初始位置的數(shù)據(jù)代入得到的，這個點(diǎn)是函數(shù)的最小值點(diǎn).

師：根據(jù)上述求解過程，你能總結(jié)一下由函數(shù)y=Asin（ωt+φ）的圖像求解析式的基本思路嗎？

學(xué)生嘗試總結(jié)后，教師總結(jié)基本思路：先觀察得A ；再由周期得ω；最后代入初始位置解三角方程得φ.

師：現(xiàn)在再請同學(xué)們思考一個問題，能不能用y=Acos（ωt+φ）表示位移和時間的關(guān)系式？

生10：可以.

師：為什么呢？

生10：因?yàn)橛嘞液瘮?shù)和正弦函數(shù)的圖像變化規(guī)律是一樣的，它可以由y=Asin（ωt+φ）經(jīng)過左、右平移得到.

設(shè)計(jì)意圖 立足核心素養(yǎng)：用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)世界.培養(yǎng)學(xué)生對已有知識和方法的運(yùn)用能力，提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力［2］.

2 模型的應(yīng)用與反思

教學(xué)片斷3

師：（面向全體學(xué)生）現(xiàn)在同學(xué)們能不能回答本節(jié)課開始提出的問題？

學(xué)生齊聲回答可以.

師：根據(jù)我們得到的位移和時間的變化關(guān)系，代入時間t就可求解出相應(yīng)的位移，即可以得到任何一個時刻的物體的近似位移.為什么說得到的是近似位移呢？請同學(xué)們思考，然后分組交流、討論.

教師可加入學(xué)生小組，聆聽學(xué)生的討論，根據(jù)討論情況對預(yù)設(shè)的教學(xué)過程做出調(diào)整.

師：（小結(jié)學(xué)生的發(fā)言）因?yàn)槲覀兊玫降暮瘮?shù)模型是在遵循其特征的前提下的“理想模型”，由于受到諸多因素（如重力作用、數(shù)據(jù)采集誤差）的影響，兩者之間通常還有一定的誤差，所以我們即使選擇合適的、正確的數(shù)學(xué)模型，也只能近似地刻畫實(shí)際問題，并不是完全地吻合，同學(xué)們會不會有這樣的想法：這樣的結(jié)果有實(shí)際應(yīng)用價值嗎？下一節(jié)課的學(xué)習(xí)會幫大家找到答案.

師：一旦確定好適合的函數(shù)模型，我們就可以將問題放大，解決任何一個時刻的位移.這就是我們數(shù)學(xué)工具的作用，來源于生活，又回歸應(yīng)用于生活.

師：大家來回憶一下我們解決這個周期性現(xiàn)象，經(jīng)歷了怎樣的過程？

學(xué)生齊聲回答：觀察，描點(diǎn)，畫圖，計(jì)算.

師：一個物理運(yùn)動，動態(tài)感知，收集數(shù)據(jù)，繪制圖像，函數(shù)模型，解決實(shí)際.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)建模的意義不僅僅是要讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法去刻畫和解決生活中的實(shí)際問題，也不僅僅是要讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活的學(xué)科價值.我認(rèn)為更重要的是將新課標(biāo)的“三會”落實(shí)到我們的課堂中，這樣才能更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的潛能，才能讓學(xué)生更愛數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué).

師：三角函數(shù)模型中的系數(shù)實(shí)際上都有一定的物理意義.我們一起來看一下：A就是這個簡諧運(yùn)動的振幅，它是做簡諧運(yùn)動的物體離開平衡位置的最大距離；這個簡諧運(yùn)動的周期是T=2πω，它是做簡諧運(yùn)功的物體往復(fù)運(yùn)動一次所需要的時間；這個簡諧運(yùn)動的頻率由公式f=1T=ω2π給出，它是做簡諧運(yùn)動的物體在單位時間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動的次數(shù)；ωx+φ稱為相位，x=0的相位φ稱為初相.

師：了解了三角函數(shù)模型系數(shù)的相關(guān)物理意義之后我們就可以把它用于處理物理相關(guān)問題了.

給出實(shí)例：交變電流問題.

師：你們能不能解決這個問題呢？

（讓學(xué)生自己組織研究，并將解答的過程在黑板上呈現(xiàn)）

設(shè)計(jì)意圖 凸顯應(yīng)用問題來源于實(shí)際，最后回歸于實(shí)際，真正體會建模的價值.

從上面教學(xué)的過程中我們不難發(fā)現(xiàn)，在新課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求轉(zhuǎn)變教育理念，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為教育目標(biāo)的指引下，做為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)建模，能夠引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角提出問題，用數(shù)學(xué)的思維思考分析問題，用數(shù)學(xué)的語言揭示表達(dá)問題，從而有效地培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的核心素養(yǎng)［3］.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 徐夢園，初曉琳，趙寶江.淺談中學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)［J］.中外企業(yè)家，2019（13）：186-187.

［3］ 陳凱.培養(yǎng)學(xué)生建模思想發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)摭探［J］.成才之路，2019（06）：41.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-12-25

作者簡介：徐德云（1988-），女，江蘇省連云港人，碩士，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.