淺試在道德情境場中實現學科育人

摘 要：本文通過“復數的三角形式”的課程改革探究，初試在道德情境場中以培養學生核心素養為目標，促進學生自主全面發展，使學生的知、情、意、行得到有序發展.

關鍵詞：道德情境場；學科育人；核心素養

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2023）09-0032-03

“道德”是指教育應當是合準則、合規律、合目標、合方式的教育.生態是指自我發展、健康互構、良性循環的生命狀態.“道德生態場”，就是培育學生內在道德品性的“場域”，其中包含情境場、心育場、物態場，三者相互作用、相互合力、相互影響.道德情境場是構成一定道德情境的各因子之間在相互作用中，因傳遞、交換信息所產生的并且影響道德場主體的道德選擇和道德行為的空間［1］.目的在于讓學生在情境中實踐、體驗、辨析、互動、選擇、踐行，真正做到“行知相融”，促進學生自主發展.下面結合《復數的三角形式》這一課題，初試在道德情境場中實現學科育人的目的.

1 創設情境，明晰方向

學生已經掌握復數的基本知識：復數的代數式

z=a+bi（其中a，b∈R）、幾何意義（點與向量）及四則運算法則等.若考慮從代數式著手，對于復數的加、減法運算比較容易，而對復數-1+3i進行多次乘法運算呢？顯而易見，計算較繁瑣；若從幾何意義著手，將復數的加、減法對應于向量的加、減法；實數與復數的積對應于向量模長的改變；但復數的乘積仍是一個復數，而向量的數量積卻是一個實數，它們之間是無法一一對應的.那么，是否存在復數的其他形式可用來簡化復數的乘、除法運算？它是否具有幾何意義呢？如何體現對于向量另一要素（即方向）的改變？

囿于復數簡單的線性運算，學生對復數高階計算法則存在困惑.根據這一基本學情，學生自主選擇分成兩組，第一組學生利用復數的幾何意義中的點所對應的三角表達形式去探索復數的三角形式，第二組學生選擇從向量的兩大要素（大小與方向）著手去自主構建復數的三角形式.由于問題的創設是符合學生思維發展規律的，因此它可以促使學生形成好奇心與參與熱情，開放學生的思維，同時依據問題來明晰本節課的學習任務與目標.

2 展開討論，概念辨析

問題的提出是為了讓學生更有效地自主解決問題，通過小組合作探究及互相補充，形成對復數的三角形式的認知.教育學理論告訴我們：認識常常始源于觀察與比較，有了比較才有相應的鑒別，才能認識到事物間的本質與非本質屬性［2］.第一組學生代表發言：復數的代數式z=a+bi對應于復平面中點Z（a，b），而點的確定除了橫縱坐標之外還可以用其與原點的距離及與x軸非負半軸所成的角（即三角形式）來表示，故令r=a2+b2，cosθ=ar，sinθ=br，則復數z=a+bi=r（cosθ+isinθ）.第二組學生代表發言：向量方向的改變可以用角度的改變來刻畫，因此可以用向量的模長與角度來探究復數的三角形式，與第一組同學得到相同的結論.基于對復數的三角形式有了基礎的認知，學生自然而然地將復數的兩種形式即代數形式z=a+bi與三角形式z=r（cosθ+isinθ）進行對比，從而提出疑惑：這兩種形式是等價的嗎？可以相互轉化嗎？兩種形式是否存在一一對應關系？經過小組討論后，我們得知：復數的三角形式對應于復數的代數式，其中a=rcosθ，b=rsinθ；復數的代數式可與復數的三角形式中的模長r=a2+b2對應，而cosθ=ar，sinθ=br中的角度是不唯一的.為了將兩種形式能夠進行等價轉換，我們需要對角度進行合乎準則的約束，結合角度的周期性，引入輻角主值的概念，即argz∈［0，2π）.這樣的關系是我們期待的，也映襯了數學的嚴謹性.

概念的形成并非一蹴而就，它是一個由淺入深，由片面到全面的循序漸進的過程.通過小組學生間的討論與交流，不斷鍛煉學生的溝通表達能力，培養學生的抽象概括能力.在這個過程中，教師需要強化學生對復數三角形式結構特征的辨析，引導其發現本質屬性，進而優化學生自我知識框架的構建，同時訓練學生的思維能力.

3 轉化化歸，提升思維

數學思想方法的核心是轉化（化歸）思想.通過此方法，可以化繁為簡，化難為易，化未知為已知.教師要將轉化的思想貫穿于整個教學過程中，促使知識得到遷移，讓學生逐步感知并學會解決問題，以此獲得新知.由于學生已掌握復數三角形式的結構特征，對開始提出的問題：z=-1+3i=2（cos2π3+isin2π3）可進行乘方計算：z2=［2（cos2π3+isin2π3）］2=4［（cos2π3）2+2cos2π3sin2π3i-（sin2π3）2］=4（cos4π3+isin4π3）.由特殊到一般，教師引導學生自主推導出任意兩個復數的三角形式的乘法公式（即棣莫弗定理）：z1z2=r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.除法是乘法的逆運算，借助于1z1=1r1［cos（-θ）+isin（-θ）］類比可得：z1z2=r1r2［cos（θ1-θ2）+isin（θ1-θ2）］.從復數三角形式的探究可解決本節課的難點即：復數乘除法的幾何意義主要體現在模長的伸縮與輻角的旋轉.

歸納是數學學習中發現與創新的一種方法.歸納是根據觀察、實驗得到的經驗材料，進一步比較、分析、抽象概括出新知的過程.乘方是乘法的抽象，開方是除法的抽象，因而學生順理成章地總結出復數乘方公式：zn=rn［cos（nθ）+isin（nθ）］及z的n次方根：nr［cos（θ+2kπn）+isin（θ+2kπn）］，其中k=0，1，2…，n-1，且n∈N.特殊地，當r=1時，zn會出現周期現象，周期T=2πθ.無論是類比還是歸納，它們均從特殊情況出發，所產生的結果并不一定正確.這是一種大膽的嘗試，必須利用嚴謹的邏輯推理去論證這一結論.基于高一學生的學情，教師可以對此公式作出適當的解釋，讓學生體會數學的嚴謹性，從而提升學生的核心素養.

4 拓展研究，個性發展

課前預習、課堂探究都是利用復數的三角形式簡化復數的高階運算并理解運算中所蘊含的幾何意義.經過本節課的深入學習，小組成員提出以下兩個問題：（1）為什么要學習復數的三角形式？它在數學學習或生產生活中有何應用？（2）復數還存在其他的表達形式嗎？根據學生的疑惑，我將這兩個問題作為課后的拓展，并要求小組成員在下一節課來分享各自成果.通過翻閱資料，得到不同組的真實而有效的反饋，結果是令人驚喜的！

A組發現：我們使用的電話可以將人的聲音看作一個離散型的信號，再通過Fourer變換，從而實現人與人的交流；

B組探討出復數還存在指數形式的表達形式，通過歐拉公式：eiθ=cosθ+isinθ可以實現三角式與指數式的相互轉換.當θ=π時，有eiπ+1=0.英國數學教育家大衛·威爾斯發表的《哪一個是最美的》中包含了24個公式，此公式的排名第一.它能夠將數學中5個數1，0，i，e，π和3個運算符號+，×，=如此簡潔、和諧、完美地結合到一起，讓我們驚嘆于復數蘊藏的美學價值［3］.

C組同學給出了一道例題探究：設復平面中不同點A，B，C對應的復數分別為z1，z2，z3，若z1-z2z1-z3=1+2i，則cos∠BAC的值為______；本題若從復數的代數式入手，采用待定系數法來尋找6個變量間的等量關系，

計算量是驚人的，需要學生很大的勇氣與毅力才有可能解決；若從復數的三角形式出發，將分式變形整理成整式，即z2-z1=（z3-z1）（1+2i）=（z3-z1）5（15+25i），再根據幾何意義：AC通過逆時針方向旋轉角度θ（其中cosθ=15，sinθ=25）得到AB，因此旋轉角度θ即為∠BAC，答案55輕而易舉獲得.

D組同學給出補充：利用歐拉公式：eiα=cosα+isinα，eiβ=cosβ+isinβ，將兩式相乘，得eiαeiβ=（cosα+isinα）（cosβ+isinβ）整理為ei（α+β）=cos（α+β）+isin（α+β）=（cosαcosβ-sinαsinβ）+（sinαcosβ+cosαsinβ）i.

由復數相等的定義，得

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

因此，復數的指數形式可用來證明兩角和（差）的正、余弦公式.

得益于學生課后的拓展研究，不同的組別都有或多或少的發現，這樣的大膽嘗試既使教師得到更專業的發展，也能促使每位學生的個性化發展，真正做到知、情、意、行的統一，滿足多元化的發展需求.

本節課以探究“復數的三角形式”學習為載體和途徑，體會從特殊到一般、數形結合、抽象概括、類比歸納等合乎學情的數學思想與方法，充分發掘數學學科的育人價值.整個活動以培養學生核心素養為目標，從學科育知、育能、育情、育德、育美等豐富內涵［4］，通過創設情境，推進課堂教學改革，突出學生主體地位，構筑課堂互動平臺，讓學生在生本互動、生生互動中去致知窮理、探索研究、篤行踐履，做到“行知相融”.

參考文獻：

［1］ 王麗潔.德育場的研究現狀與方向［J］.法制與社會，2017（28）：190-191.

［2］ 李孝中.談“復數的三角形式”的教學［J］.遼寧教育學院學報，2002（02）：56.

［3］ 王霞.數學文化融入《復變函數與積分變換》的教學案例研究與設計［J］.高等數學研究，2017，20（03）：30-33.

［4］ 凌乾川，張澤科.新時代學科育人內涵的校本表達［J］.教育科學論壇，2021（10）：71-73.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-12-25

作者簡介：陳曉丹（1989-），女，江蘇省泰州人，研究生，中學一級教師，從事高中數學教學研究.