教學活動中的概念學習的試錯教學方法探究

摘 要：概念學習是數學學習中至關重要的組成部分.本文以古典概型的概念教學為例，探究概念辨析的閉環教學方法.具體以抽簽問題和擲骰子問題為例，在樣本空間的不同選取方法下闡述了古典概型概念的學習過程，不斷檢驗條件，不斷辨析，從而達到閉環教學效果.

關鍵詞：概念學習；試錯教學方法；古典概型；抽簽問題；擲骰子問題

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2023）09-0011-03

1 數學概念的傳統教學方式

數學概念的傳統教學方法，主要采取“教師講解”的教學模式，學生主要采取“聽課——練習”的模式.這樣，教師和學生可以快速高效地完成教和學的任務.就古典概型這一概念來說，課堂講解的時候，有經驗的教師會強調“等可能性”這一前提條件，然后就是舉例講解.但是在教師講解例題的過程中，容易忘記強調“等可行性”；學生在做題的過程中，更容易忘記檢驗“等可能性”這一條件.

2 “試錯法”教學方式

“試錯法”的根本原則是以學生為主體.學生根據數學問題，用概念自行嘗試、自行分析，教師對學生的學習情況起引導作用，這樣可以提高學生的自主思考能力和自學能力.

具體就古典概型的概念教學來說，概念學習的一般過程為課前導學（預習）、課堂概念講解、試錯式解題、錯誤分析（尋求幫助）、獲取正確解題方法、分析總結、課后練習等環節.當選取不同的樣本空間時，可能會得到錯誤結果.對錯誤原因進行分析，產生有效提問，教師進行引導；然后找到一種或多種正確做法；最后完成練習，形成一個閉環過程，如圖1.

下面以古典概型的概念教學為案例，具體闡述教學活動中的概念學習的試錯教學方法.

3 教學案例3.1

第一步：教師引導學生學習初始概念，即樣本空間和古典概型的概念

隨機試驗中的每一種可能出現的結果稱為樣本點.所有樣本點組成的集合稱為樣本空間，記為Ω.

在中學概率中，古典概型是一種非常重要的概率模型.如果每次試驗的結果只有有限多個，并且每個試驗結果發生的可能性是相同的，那么稱這種概率模型為古典概率模型，簡稱古典概型.設古典概型中樣本點總數為n，事件A含有其中的m個樣本點，則定義事件A的概率為P（A）=m/n.

3.2 教師引導學生辨析概念條件

在解決概率問題時，分析問題的角度不同會導致選取的隨機試驗的樣本空間的不同.在不同的樣本空間下，是否都能通過古典概型來計算同一個事件的概率呢？這就要看樣本空間中每個樣本點的發生是否是等可能的.有的學生在解決問題的時候，以為找到了樣本空間，就可以直接利用古典概型的計算公式來計算概率，而忽略了古典概型的概念中“樣本點發生的等可能性”這一前提條件.3.3 第三步：學生應用概念做題

教學活動中，全班學生按小組進行討論，提出解題方法，寫出解題過程.將有代表性的小組結論進行展示和討論.

3.3.1 提出數學問題

擲骰子問題：同時擲兩顆骰子，求出現的點數和為7的概率.

3.3.2 找樣本空間并計算概率

首先，由生活經驗知道，每顆骰子都有6個面，分別標有數字1、2、3、4、5、6.當同時擲兩顆骰子時，每顆骰子出現各個數字是等可能的.記事件A表示兩顆骰子點數和為7.

小組成果展示1：

考慮骰子的順序，第一顆骰子出現的點數有6種不同情況，第二顆骰子出現的點數有6種不同情況，因此樣本空間含有6×6=36個樣本點，具體為：

Ω1={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，

A={（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}.

根據題意可知樣本空間Ω1中的36個樣本點是等可能發生的，所以在此樣本空間下，可以用古典概型來計算事件A的概率，并且概率為P（A）=636=16.

教師點評：此處的分析非常好，檢驗了概念的適用條件，正確使用概念解決問題.

小組成果展示2：

不考慮骰子的順序，樣本空間含有21個樣本點，具體為：

Ω2={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，6）}，

A={（1，6），（2，5），（3，4）}.

此時概率為P（A）=321=17.

教師點評：注意到樣本空間Ω2中的每個樣本點都可以用Ω1中的樣本點來表示，由此可知這21個樣本點不是等可能發生的，所以在此樣本空間下不能用古典概型來計算事件A的概率.

小組成果展示3：

直接考慮兩顆骰子點數和的不同情況，樣本空間含有11個樣本點，具體為：

Ω3={2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，A={7}.

此時概率為P（A）=111.

教師點評：注意到樣本空間Ω3中的每個樣本點都可以用Ω1中的樣本點來表示，由此可知這11個樣本點不是等可能發生的，所以在此樣本空間下不能用古典概型來計算事件A的概率.

3.3.3 教師總結

只有嚴謹地驗證古典概型的前提條件，確保樣本空間中樣本點的等可能性，才能找到符合要求的樣本空間，計算出正確的概率.

3.4 第四步：學生自主完成練習

抽簽問題：袋中有a根紅簽，b根白簽，它們除顏色不同外，其他方面沒有差別.現有a+b個人依次無放回地去抽簽，求第k個人抽到紅簽的概率.

學生們認真思考，經過小組討論，得到了如下幾種解決問題的方法.

根據題意，抽到每根簽都是等可能的，因此這是一個古典概型問題，并且問題等價于把簽一根一根抽出來排成一列，求第k次抽到紅簽的概率.記事件A表示第k個人抽到紅簽.

方法1

把a根紅簽和b根白簽看作是不同的，那么a+b根不同簽的所有全排列種數為（a+b）！，即樣本空間Ω1含有（a+b）！個樣本點.根據題意可以判斷每個樣本點是等可能發生的，符合古典概型的前提條件.

事件A可以理解為：在第k個位置上排列的一定是紅簽，有a種排法；在其他a+b-1個位置上的簽的排列種數為（a+b-1）！.因此，事件A含有a（a+b-1）！個樣本點.由古典概型公式可得P（A）=a（a+b-1）！（a+b）！=aa+b.

方法2

把a根紅簽看作是沒有區別的，把b根白簽也看作是沒有區別的，仍把抽出的簽依次排列成一列，這是含有相同元素的全排列.此時a+b根簽的所有全排列種數為（a+b）！a！b！，即樣本空間Ω2含有（a+b）！a！b！個樣本點.根據題意可以判斷每個樣本點是等可能發生的，符合古典概型的前提條件.

事件A可以理解為：在第k個位置上放紅簽，只有1種放法；在其他a+b-1個位置上放余下的a+b-1根簽，其中a-1根是沒有區別的紅簽，b根是沒有區別的白簽，共有（a+b-1）！（a-1）！b！種方法，即事件A含有（a+b-1）！（a-1）！b！個樣本點.由古典概型公式可得

P（A）=（a+b-1）！（a-1）！b！÷（a+b）！a！b！=aa+b.

方法3

根據題意知，第k次抽到紅簽僅與前面k-1次所取的簽的情況有關，而與以后抽簽的情況無關.因此只需要研究前面k次抽簽情況.把各簽看作不同，前k次的每一種抽簽情況相當于從a+b根不同的簽中任取k根的全排列，共有Aka+b種方法，即樣本空間Ω3含有Aka+b個樣本點.根據題意可以判斷每個樣本點是等可能發生的，符合古典概型的前提條件.

事件A可以理解為：在第k次取紅簽，有a種取法；在其他k-1次，是從a+b-1根不同的簽中任取k-1根的全排列，共有Ak-1a+b-1種方法，即事件A含有Ak-1a+b-1個樣本點.由古典概型公式可得P（A）=Ak-1a+b-1Aka+b=aa+b.

教師點評：從三種角度尋找生活中最常見的抽簽問題的樣本空間，并發現樣本空間中的樣本點都符合等可能性的，因此均可以使用古典概型公式計算概率.這三種方法中，方法1是最常規的最容易想到的，方法2和方法3的技巧性都要強一點.

完成練習后，仍然有“愛思考”的學生提出如下質疑：

學生說：老師，第一個人抽簽后，還剩下（a+b-1）根簽.如果第一個人抽到紅簽，那么第二個人抽到紅簽的概率就變小了；如果第一個人沒有抽到紅簽，那么第二個人抽到紅簽的概率就變大了.因此，第二次抽簽的概率會受到第一次抽簽結果的影響，從而抽簽問題不是公平的.

此時很多學生也深以為然.這樣，就產生了沖突.

教師引導：我們后面會學習條件概率的概念.“如果第一個人抽到紅簽，那么第二個人抽到紅簽的概率就變小了”，這里的概率實際上是條件概率了，與我們題目中的概率是不同的概率.請同學們接下來預習條件概率并用條件概率來分析抽簽問題的公平性.

4 “試錯法”教學效果提升

傳統教學中教師是主體，主導學生的概念學習；“試錯法”教學中學生為主導，學生自主探索解決問題.試錯教學方法，讓數學課堂更真實，更有趣，學生參與度更大.缺點是會有不自覺的學生出現“渾水摸魚”現象，沒有進行比較有效的思考和學習，這就需要教師及時地觀察和督促以及幫助.

一次課的教學方法的改變可能不容易區分兩種教學方式的差異，但是若長期堅持“試錯法”教學方式，學生能自主思考，提出更有深度的問題，能更清晰正確地使用概念解決問題，那么一定能更有效地培養和提升學生的自主學習能力、創新思考能力，提升學生的數學素養.

參考文獻：

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［2］ 沈榮瀘.抽簽公平性的多種解法［J］.數學學習與研究，2014（23）：72.

［3］ 姚璐，李洋.一道概率題引發的思考［J］.中學生數學，2020，9（641）：4-5.

［4］ 劉長柏.從不同側面求解古典概型［J］.中學生數理化，2021（3）：6-7.

［5］ 劉義娟.“試錯”：讓數學課堂更真實、有效［J］.教學機智，2016（5）：42-43.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-12-25

作者簡介：唐金芳，四川省仁壽人，碩士，教授，從事泛函分析研究與中學數學研究；

曾嬌，四川省隆昌人，碩士，講師，從事中學數學研究.