高中數學章起始課的教學探究

【摘要】本文論述高中數學章起始課的教學策略，認為章起始課是每一章內容的起步階段，是建立本章知識框架的第一節課，以人教版普通高中教科書《數學（2019年版）》必修第二冊第九章《統計》為例，探索章起始課的教學過程。

【關鍵詞】高中數學章起始課《統計》

【中圖分類號】G63【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）05-0119-05

數學在人的理性思維、科學精神的形成過程中發揮著重要的作用。數學教育如何幫助學生掌握現代生活和深入學習所必需的理論知識、實用技能、解題思想和解題方法呢？我們認為，教師要提升學生的數學學科核心素養，引導學生學會從數學的角度觀察世界，思考世界，用數學語言表達世界；要提高學生的理論知識、實踐水平和創新意識，增強學生的社會責任感；要注重數學教育在學生正確的人生觀、價值觀、世界觀等養成過程中的獨特作用。

隨著新課程改革的不斷推進，一線教師越來越重視每一種課型的教學，章起始課就是其中之一。什么是章起始課？即一章內容開始的那一節課，為這章課程的起點。章起始課教學具有以下共性：一是調動學生的學習興趣。我們常說萬事開頭難，如果在起始課教學中能激發學生對后面即將學習的內容產生興趣，那無疑開了個好頭。二是起始課承擔著本章內容的引領與統攝地位，發揮著整體把握的使命。在高中數學教材中，每一章節的第一課時基本上是有關數學的初始性概念課，由于內容過于簡單，在高考成績的壓力下，很多教師都持著這樣一種態度，即時間太緊了，沒必要在起始課上浪費太多時間，所以對起始課都是快速處理，也就是開門見山直接講述其中的內容。其實，章起始課乃是學生學習本章內容的基礎，如果這一步沒有處理好，就很可能會影響學生后期的學習。下面以人教A版普通高中教科書《數學（2019年版）》必修第二冊第九章《統計》為例，談談我們對章起始課的實踐探究。

一、章節分析

（一）章節總體設計

本章的總體設計是：通過一些典型的案例，讓學生親身經歷數據的收集、整理、分析的全過程。在此過程中，教師要指導學生學習如何收集數據使得數據更能體現所要了解的問題，同時學習利用各種統計圖表（直觀圖、餅狀圖、折線圖等）來整理數據，學會用統計思想來分析數據，得出結論，體會統計思維與確定性思維的差異，理解用樣本估計總體思想的思路，感悟根據調查分析進行科學決策的必要性和可能性。學生通過實踐操作、計算、分析、模擬等活動，積累數據分析的經驗，培養數據分析的數學素養。

（二）章節知識結構分析

本單元知識結構如圖1所示。

本單元分為4個課時，第1課時，簡單隨機抽樣；第2課時，用樣本平均數估計總體平均數；第3課時，分層隨機抽樣；第4課時，獲取數據的途徑。

（三）重視章引言，把握全局

新課改實施后，我國數學教材的編寫思路由“部分—部分—整體”轉變為“整體—部分—整體”，教材的每章都有一個類似的設計，即章標題下方有一段話——章引言，文字下方有一張圖——章頭圖。它們就是每一章的第一個“整體”部分，其教學功能如下：幫助學生了解本章學習的內容、地位與作用；提供本章學習的框架和基本線索；激發學生的學習興趣和熱情；激活學生認知結構中的相關知識，增強新知與舊知的聯系。通過認真研讀教材我們發現，章引言中所包含的信息，是以先行組織者的方式揭示了本章節的數學知識及背景來源，解讀了為什么學習本章內容、本章學習什么內容、怎樣學習本章內容。因此，在章起始課中，教師要認真研讀這部分內容，并且以恰當的情境引導學生解讀這部分內容。

二、教學實錄（片段）

環節一：創設情境，引入課題

教師先用PPT展示第七次人口普查、2016年至2020年國內生產總值、疫情趨勢圖、學校學生高考情況分析、考試各學科及格率、優秀率曲線圖、電視臺收視率、牛奶抽檢情況等統計數據。然后教師在解讀各類數據中引導學生回顧初中階段學過的普查和抽樣調查及相關概念。

師：這些數據在一些問題的決策中起著重要的作用，例如，根據全國人口普查情況，國家制定了延遲退休和全面放開三孩等政策。由此可見，統計在日常生產、生活中發揮著重要的作用。要正確閱讀并理解這些數據，需要具備一些統計學的知識。這節課我們一起來學習第九章《統計》。在義務教育階段，我們已經學習了統計的基礎知識，了解統計學是通過收集數據和分析數據來認識未知現象的一門科學，已經知道數據處理的一般過程如圖2所示。

在義務教育階段，我們主要通過豐富的實例，感受抽樣調查的必要性，體會用樣本估計總體的思想；在高中階段，我們主要在初中階段學習的基礎上，通過解決現實問題，經歷數據收集與處理的過程，加深對統計方法的理解，進一步學習數據分析的方法。

【設計意圖】設置問題情境，激發學生的學習興趣。作為一章起始課，了解整章內容和學習方法是本節課的任務之一，建立學習的“先行組織者”。

環節二：結合實例，提出問題

問題1：普查和抽樣調查的優缺點各是什么？

師生活動：學生利用初中學過的知識進行回答，因為全面調查有時工程量大，耗費巨大物力財力，有時還會損毀樣本，而抽樣調查容易操作，花費少、效率高，所以抽樣調查的應用越來越廣泛。

問題2：抽樣調查的目的是什么？

師生活動：獲得對總體的了解。

師：應該如何抽取樣本才能根據樣本了解總體情況？我們來看一個著名的抽樣調查案例。

在1936年美國總統選舉前，一份頗有名氣的雜志（Literary Digest）的工作人員做了一次民意測驗。調查蘭頓（A.Landon）（當時任堪薩斯州州長）和羅斯福（F.D.Roosevelt）（當時的總統）中誰將當選下一屆總統。為了了解公眾意向，調查者通過電話簿和車輛登記簿上的名單給一大批人發了調查表（注意在1936年電話和汽車只有少數富人擁有）。通過分析收回的調查表，顯示蘭頓非常受歡迎，于是此雜志預測蘭頓將在選舉中獲勝。

實際選舉結果正好相反，最后羅斯福在選舉中獲勝，其數據如下：

思考：預測結果出錯的原因是什么？

師生活動：樣本是少部分富人的意愿，不是大部分窮人的意愿，所以不是“好”樣本。

追問：這個調查的總體、個體是什么？如何才能取得“好”樣本？

師生活動：總體是全國人民的意愿；個體是每一位居民的意愿。要取得“好”樣本，就要使每個個體被抽入樣本的機會均等（抽取應該是隨機的）。

【設計意圖】通過史料，引發學生思考：抽樣調查的目的是獲得對總體的了解，強調“好”樣本的重要性，為了獲得“好”樣本或者代表性的樣本，需要研究抽樣方法，為后續學習做好鋪墊，也達到了史料育人的目的。

環節三：引導探究，得出概念

師：在具體抽取樣本的過程中，如何使得每個個體被抽到的機會均等，獲取“好”樣本呢？如何實現隨機性呢？接下來我們一起探究隨機抽樣。

探究（一）：簡單隨機抽樣定義

問題3：探究發現

假設口袋中有紅色和白色共1 000個小球，除顏色外，小球的大小、質地完全相同，你能通過抽樣調查的方法估計袋中紅球所占的比例嗎？

（該例子引自普通高中教科書《數學》必修第二冊A版）

師生活動：（1）課前布置學生任務，由學習委員組織實驗活動，全班分為2個大組，大組長由課代表擔任，每個大組分為5個小組，每個組分別做三次實驗：放回抽取、不放回逐個抽取、不放回一次性抽取，每次抽取的樣本量相同，每個小組從總數為200個球（除顏色外，球的大小、質地完全相同）的盒子里抽取不一樣的樣本量，填寫實驗報告，通過實驗，嘗試解決以下問題：

①放回抽樣與不放回抽樣是否都可以估計總體？

②有放回摸球和無放回摸球各有何特點？

③從總體中，逐個不放回地隨機抽取n個個體作為樣本和一次性批量隨機抽取n個個體作為樣本，兩種方法是否等價？

④用簡單隨機抽樣方法抽取樣本，樣本量是否越大越好？

課堂上由學習委員說明實驗的過程，并播放實驗過程視頻，然后各大組組長分別展示本組實驗結果，通過分析實驗數據，回答問題。

（2）教師根據學生描述實驗過程提取有效信息進行追問，比如：①總體的個數是有限個；②每個球大小質地一樣是為了什么？（為什么在實驗過程中要搖一搖箱子？）③樣本是逐個抽取的。

（3）學生親歷實驗，體會樣本估計總體的思想是可行的，教師根據學生的回答給予補充。

①在有放回的摸球中，由于每次都是在一樣的條件下摸球，有可能同一個小球被摸中多次，出現極端情況是每次摸到同一個小球，這樣的抽樣結果誤差較大。

②在不放回摸球中，可以避免同一個小球被重復摸中，減少誤差。

③在重復試驗中，試驗次數越多，頻率越接近概率的可能性越大。一般來說，樣本量大的要比樣本量小的好，但在實際情況中，樣本量越大會導致人力、財力、時間等成本的增加，所以樣本量并不一定是越大越好。

通過實驗，讓學生體會數據收集、整理、分析的全過程，體會樣本估計總體的思想，通過隨機模擬的方法，讓學生從直觀上對兩種簡單隨機抽樣的效果有所體會，提高學生對簡單隨機抽樣方法科學性的認識。

師小結：通過實驗我們發現，無論是放回抽樣還是不放回抽樣，都可以通過逐個抽取的辦法抽取樣本，且在抽取過程中保證每個個體被抽到的機會均等。像上述這種抽樣方法就是我們今天要學習的簡單隨機抽樣。

問題4：大家能根據上述例子抽象概括出簡單隨機抽樣的定義嗎？

師生活動：學生嘗試歸納，教師引導修正，從而得出簡單隨機抽樣的概念。

簡單隨機抽樣定義：

【設計意圖】學生通過實驗、思考，從實際問題情境中抽象概括定義，讓概念生成更自然，進而培養學生的數學抽象素養。

問題5：簡單隨機抽樣的概念中有哪些關鍵詞？你能嘗試總結簡單隨機抽樣的特點嗎？（關鍵詞：N 個總體，逐個抽取，概率相等）

（1）樣本總體個數是有限的；

（2）簡單隨機抽樣是不放回抽樣；

（3）抽取樣本是逐個進行的，每次只取一個個體；

（4）在抽取過程中每個個體被抽到的機會相等。

【設計意圖】通過對概念中關鍵詞的把握，引導學生加深對概念的理解。

師小結：通過實驗我們發現不放回簡單隨機抽樣的效率更高，因此在實踐中人們更多采用不放回簡單隨機抽樣，除非特別說明，本章所稱的簡單隨機抽樣指不放回簡單隨機抽樣。

探究（二）：簡單隨機抽樣（1）——抽簽法

師：我們已經學習了如何抽取樣本，接下來我們一起解決一個實際問題。

一家家具廠要為樹人中學高一年級制作課桌椅，他們事先想了解全體高一年級學生的平均身高，以便設定可調節課桌椅的標準高度。已知樹人中學

【設計意圖】讓學生感受利用計算機產生隨機數的過程。

高一年級有712名學生，如果要通過簡單隨機抽樣的方法調查高一年級學生的平均身高，應該怎么抽取樣本？

（該內容引自普通高中教科書數學必修第二冊 A 版）

問題6：設計問題串

追問1：初中階段，我們學習了哪種抽樣方法？師生活動：抽簽法。

追問2：你能回顧抽簽法的步驟嗎？

師生活動：學生總結，教師投影學生的結果，并進行交流。

第一步：（編號）將總體中的所有個體編號；

第二步：（抽簽）把號碼寫在材質、形狀、規格相同的號簽（紙片或小球等）上，將號簽放入一個不透明的盒子中，攪拌均勻，然后逐個不放回抽簽，共抽 n 次產生 n個編號；

第三步：（抽樣）將產生的編號所對應的 n個個體作為樣本。

追問3：為什么要給學生編號？編號用學號可以

嗎？解決本題需要多少個編號？

師生活動：學生思考并回答問題，教師引導學生理解對個體進行編號的意義。

追問4：能否找到一種方法替代制簽這一環節？

師生活動，引導學生思考：可否利用計算機產生隨機數。

【設計意圖】通過問題串，讓學生體會到實際操作中可以不用另外編號，可節約抽樣調查的成本，優化操作過程，并讓學生初步了解抽簽法的缺點，從而引發學生思考，尋找解決問題的方法，達到激發學生學習潛能的效果。

問題7：隨機數法的步驟是什么？

師生活動：

第一步，將總體的所有 N 個個體從1-N 編號（編號）；

第二步，利用試驗或信息技術工具，在1-N 中產生 n個不重復的編號（抽出編號）；

第三步，將產生的編號所對應的 n個個體作為樣本（抽取樣本）。

【設計意圖】讓學生歸納隨機數法的實施步驟。

追問：產生隨機數的方法有哪些？哪位同學可以給大家展示你的做法？

師生活動：學生代表上臺利用計算機展示產生隨機數的做法。

問題8：隨機數法和抽簽法，它們各有什么優缺

點？在具體實例中，如何選取合適的方法？

師生活動：學生思考并回答問題，當總體容量較小時，選擇抽簽法；當總體容量較大時，選擇隨機數法（教師進行補充）。

【設計意圖】通過比較，指導學生學會在具體實例中正確選擇抽樣方法。

環節四：課堂鞏固，提升能力

（1）水管廠要檢驗產品的質量，從某批1000個產品中任意抽取50個樣品進行檢驗，在這個調查中，總體是，樣本是，樣本容量是。

（2）水管廠要檢驗產品的質量，從某批1000個產品中任意抽取50個樣品進行檢驗，試利用簡單隨機抽樣法抽取樣本，并簡述其抽樣過程。

環節五：課堂小結，系統歸納整理

通過本節課的學習，談談你的收獲：1.學到了哪些知識？2.習得了哪些方法？

三、教學反思

（一）對章起始課的理解

從教學時間上看，它應該是一節新的章節教學的第一課；從教材內容上看，它包含了章引言和第一節課時的內容，必須突出章節的核心知識；從教學過程和效果上看，它必須讓學生經歷數學活動與自主構建的過程，優化學生的認知結構。

（二）章節起始課的教學設計

重視章引言和章頭圖以及節導入語的使用，要精心創設情境，配以圖片、視頻等新穎的引導性材料，讓學生感受到數學源于生活，又服務于生活，激發學生的學習興趣，幫助學生建立有意義的學習心向。同時，章起始課的一些教學活動（實驗等），體現本章學習的思路與方法，為后期的學習模式提供參考，因為課堂教學是一種循序漸進的有效選取、組織、傳遞和運用知識信息，掌握知識、培養學生能力的活動，所以利用章起始課的引導，能夠促使學生學會思考，學會學習和研究，提高數學育人的價值。

（三）章起始課培養學生的數學學科核心素養

數學核心素養包含數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等素養，作為新課程改革深化的重大突破成果，是數學育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力。如何在章起始課教學中體現核心素養？一要根據內容設計符合學生認知的情境，激發學生的學習熱情。二要設計學生能夠親身體驗或參與的活動，或者與課程內容相關的實驗，達到學生是學習的主人，是課堂的主體的目的。教師設計好實驗目的，即通過實驗解決什么數學問題或者發現哪些新知識，讓學生帶著問題參與活動或者實驗，讓抽象的數學知識產生于學生的“眼里”，指導學生學會總結歸納，提煉形成概念。

參考文獻

［1］王中學“. 隨機抽樣”單元設計和“簡單隨機抽樣”課時設計［J］.中小學數學（高中版），2021（Z2）.

［2］汪留嶼.基于數學抽象的高中數學章起始課教學設計：以“空間向量與立體幾何”為例［J］.中學教研（數學），2022（6）.

［3］陳小璐. 高中數學章起始課的教學初探：以蘇教版《統計》章節為例［J］.中學數學月刊，2021（12）.

注：本文系廣西教育科學“十四五”規劃2021年度專項課題“基于中學數學教師核心素養發展的教師新教材實施的實踐能力培養研究”（2021ZJY1755）的研究成果。

作者簡介：蘇小笑（1982—），大學本科，一級教師，主要研究方向為高中數學教學；黎福慶（1972—），大學本科，正高級教師，特級教師，主要研究方向為高中數學教材和教法研究；謝松興（1981—），大學本科，高級教師，主要研究方向為高中數學教材和教法研究。

（責編林劍）