時間分數階Black－Scholes方程的重心Lagrange插值配點法

摘要：針對歐式期權定價的時間分數階Black－Scholes模型，設計一種重心Lagrange插值配點法格式.首先，采用Laplace變換近似Caputo型分數階導數，將分數階方程轉化為整數階方程；然后，在時－空方向上均采用重心Lagrange插值配點法進行離散，構造重心Lagrange插值配點法格式.結果表明：時間分數階Black－Scholes方程的重心Lagrange插值配點法具有高精度和有效性.

關鍵詞：Caputo型分數階導數； Black－Scholes 方程； Laplace變換； 重心Lagrange插值配點法

中圖分類號： O 241.82文獻標志碼： A 文章編號： 1000－5013（2023）02－0269－08

Barycentric Lagrange Interpolation Collocation Method for Time－Fractional Black－Scholes Equation

WU Zhe， HUANG Rong， TIAN Zhaowei

（School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China）

Abstract： The barycentric Lagrange interpolation collocation method scheme is designed for European option pricing time－fractional order Black－Scholes model. Firstly， Laplace transform is used to approximate Caputo－type fractional order derivative， and the fractional equation is transformed into an integer order equation. Then， barycentric Lagrange interpolation collocation method is used to discretize in both time and space directions， and barycentric Lagrange interpolation collocation method scheme is constructed. The results show that the barycentric Lagrange interpolation collocation method for time－fractional order Black－Scholes equation has high accuracy and effectiveness.

Keywords： Caputo－type fractional order derivative； Black－Scholes equation； Laplace transformation； barycentric Lagrange interpolation collocation method

1973年，Black等［1］提出了著名的期權定價公式（Black－Scholes方程），然而，經典Black－Scholes模型過于簡單和理想化，早在1960年，Mandelbrot［2］就觀察到相對股價變動的長尾分布，并推導出使用穩定的Lévy運動代替標準幾何布朗運動.由于分數階導數的記憶性和繼承性，且非常接近Lévy過程，故分數階微分方程更能合理描述現實中資產價格波動的情況.近年來，Mesgarani等［3］在時－空方向上分別采用2-α階線性插值法和基于第2類切比雪夫配點法逼近空間導數項；An等［4］對Caputo型分數階Black－Scholes模型構造了一種時空譜法的高階數值格式； She等［5］在時－空方向上分別采用基于變

量變化的L1法和切比雪夫－伽遼金法進行離散；Tian等［6］提出求解時間分數階歐式期權Black－Scholes模型的3種緊致有限差分格式；張俊良等［7］提出基于3階消息隊列（MQ）擬插值求解時間分數階B－S模型的無網格數值方法.

Lapalce變換近似Caputo型分數階導數，能有效減少因分數階導數引起的存儲量，從而簡化計算.文獻［8－9］驗證了Laplace變換法的有效性.重心插值配點法是一種新型高效率、高精度的無網格數值計算方法，因其計算量小且易于編程，已廣泛應用于求解Fredholm積分方程［10］、Allen－Cahn方程［11－12］、彈性力學問題［13］中.基于此，本文通過Laplace變換將分數階Black－Scholes方程轉換為整數階方程，在時－空方向均采用重心Lagrange插值配點法進行離散.

1 分數階Black－Scholes方程的數值格式

1.1 時間分數階Black－Scholes方程

取m=32，n=32，α=0.8，用重心Lagrange插值配點法計算式（34），由u（xi，tj）=e12βxv（xi，tj），可以將數值解v（xi，tj）轉化為數值解u（xi，tj），并對數值解u（xi，tj）與精確解進行誤差分析.其中，變量x，t的Chebyshev節點數分別為m+1，n+1.重心Lagrange插值配點法分布圖像，如圖1所示.圖1中：ε（x，t）為誤差函數.由圖1可知：重心Lagrange插值配點法求出的方程數值解圖像逼近真實解圖像，在求解式（34）時該方法是有效的，且可以達到較高精度.

當r=0.5，σ=2時，分別取不同的剖分節點數m，n和不同的α，重心Lagrange插值配點法求解式（34）的最大相對誤差，如表1所示.二階中心差分格式求解式（34）的最大相對誤差，如表2所示.

由表1，2可知以下4點結論.1） 對于重心Lagrange插值配點法，網格剖分越細，數值精度越高；2） 對于重心Lagrange插值配點法，隨著α取值的增大，最大相對誤差經歷了一個先增大后減小的過程；3） 從最大誤差角度來看，在空間和時間方向剖分數都很少的情況下，兩種計算格式下的數值解都可以逼近精確解，效果都很好；4） 與二階中心差分格式相比，當α取不同的值時，重心Lagrange插值配點法只需要較少的剖分節點數便可以達到更穩定、更高的精度，且更加高效.

2.2 算例2

時間分數階Black－Scholes的初邊值問題為

式（35）中：U為歐式看跌期權的價格，Ugt;0；S為股票的價格，Sgt;0；τ為時間；r為無風險利率，rgt;0；σ為股票價格S的波動率，σgt;0；K為執行價格，Kgt;0；T為到期時間，Tgt;0.

式（35）的數值解，如圖2所示.由圖2可知：采用重心Lagrange插值配點法的數值解光滑且穩定.

當K=20時，不同α下的歐式看跌期權價格變化，如圖3所示.由圖3可知：當K和S相差很大，即SK或SK時，時間分數階導數的階數α對歐式看跌期權價格幾乎沒有影響；當K和S相差不大，即S≈K時，期權價格受影響較為顯著.

不同σ，r，K，T下的歐式期權價格變化，如圖4所示.

由圖4（a）可知：當σ在0.1，0.2，0.3，0.4中變化時，S在20的附近，U將隨著股票價格的波動率σ的升高而升高，這與金融界高風險，高回報的觀點相符合.由圖4（b）可知：r越高，U越下跌.由圖4（c）可知：K越大，U越增加.由圖4（d）可知：T的變化不會明顯引起U的變化.以上結果均與實際情形相符，從而驗證了式（29）在求解分數階Black－Scholes方程初邊值問題的有效性.

3 結束語

對時間分數階Black－Scholes方程的歐式看跌期權定價問題進行了研究，采用Laplace變換近似Caputo型分數階導數，將分數階Black－Scholes方程轉化為整數階問題.在時－空方向均利用重心Lagrange插值配點法離散，并給出配點法格式.與二階中心差分格式相比，重心Lagrange插值配點格式僅需取少量的剖分節點數，便可達到高精度.該方法可以擴展到具有多個自由度的Black－Scholes模型問題的求解中，并可以推廣到求解其他時間分數階微分方程.

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（責任編輯：" 陳志賢 英文審校： 黃心中）

收稿日期： 2022－11－28

通信作者： 田朝薇（1977－），女，副教授，主要從事偏微分數值計算的研究.E－mail：tzhw@hqu.edu.cn.

基金項目： 福建省自然科學基金面上資助項目（2022J01308）； 中央高校基本科研業務費專項基金資助項目（ZQN702）