數學物理方程中定解問題案例教學研究

收稿日期：2023-07-11

基金項目：武漢大學2019年教學研究項目（2019JG073）

DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2023.21.042

摘" 要：數學物理方程是理工科專業的一門重要的基礎專業課程，是數學和實際物理問題之間重要的重要橋梁。在教學實踐中，該課程煩瑣的數學公式推導，同時涉及一些物理背景知識，導致學生對本課程的學習性不高。案例教學是提高學生學習興趣的重要方式之一，通過對地球物理學空間物理專業的一個物理問題進行提煉，導出了相應的定解問題，并數值模擬該定解問題的解，對模擬結果實現了可視化，使學生對其物理機制有了進一步的了解，形成一個有價值的案例，有效提升學生對該課程學習的積極性和課程教學效果。

關鍵詞：數學物理方程；定解問題；案例教學；可視化

中圖分類號：TP391.9；G434" " 文獻標識碼：A" " 文章編號：2096-4706（2023）21-0187-04

Case Teaching Research on Definite Solution Problems in Mathematical Physics Equation

JIANG Chunhua， ZHANG Yuannong

（Electronic Information School， Wuhan University， Wuhan" 430072， China）

Abstract： Mathematical physics equation is an important basic professional course in science and engineering major， and it is an important bridge between mathematics and practical physics problems. In teaching practice， the course involves complicated derivation of mathematical formulas and some physics background knowledge， resulting in students' low learning of this course. Case teaching is one of the important ways to improve students' interest in learning. By refining a physical problem in the space physics major of geophysics， this paper derives corresponding definite solution problem， and simulates numerically the solution of the definite solution problem， achieves the visualization of simulation results. So that students have a further understanding of its physical mechanism， and it forms a valuable case， effectively enhances students' learning enthusiasm for the course and the course teaching effect.

Keywords： mathematical physics equation; definite solution problem; case teaching; visualization

0" 引" 言

在數學物理方程課程中[1-3]，教學內容都涉及比較繁雜的數學公式推導以及復雜的微積分運算。在實際教學中，學生普遍反映該課程比較難學，教學更偏于理論分析和推導，導致學生的學習興趣不高，學習效果較差。針對偏理論的課程教學，根據我們近年來的教學實踐發現，主要需要從兩個方面來提高教學效果，第一方面是案例教學分析與研究[4，5]，引入科研實踐和生產生活中遇到的實際物理問題，通過數學物理方程中的相關方法對實際物理問題進行解決，如此更能激發學生的學習興趣，另外一方面，在課程教學中，對課程教學相關內容進行可視化或者幾何化[6-8]，如此可使學生對相關理論知識的學習更有興趣同時理解也更加深入。

數學物理方程是從物理學或其他自然科學專業中所推導出來的偏微分方程或積分方程，主要包括麥克斯韋方程，波動方程，傳導方程，擴散方程等[1-3]，通常和實際問題聯系的較為緊密。數學物理方程在地球物理學空間物理專業也具有廣泛的應用，特別是研究電離層中電子離子的電動力學過程，需要對電離層中等離子體運動的模擬，這方面的研究涉及電子離子相關的一組偏微分方程（即數學物理方程）。因此關于電離層這方面的研究，可以和數學物理方程中定解問題的教學聯系在一起。本文通過引入電離層中一種特殊的電動力學過程即等離子體泡發展的物理過程，對其進行歸納和整理，形成數學物理方程中定解問題的一個教學案例。所謂電離層等離子體泡[9]，主要指電離層等離子體中，電子密度低密度區域向高密度區域運動的過程，在運動過程中，在等離子體泡區域內電子密度比周圍的電子密度低很多，形成類似于水泡一樣的結構。

1" 定解問題

1.1" 物理問題

由于太陽輻射、宇宙射線等輻射源的電離作用，在地球高層大氣中存在部分或完全被電離的區域，其在微觀表現為存在大量帶電的自由電子和離子，而在宏觀上則表現為電中性的等離子體。被電離的這部分大氣，較低部分稱為電離層，高度大約在60 ～1 000 km。在

1 000 km以上區域，由于地磁場對電子的運動有決定性作用而被稱之為磁層。在電離層區域，根據電子密度分布的形態，可以把其分為三個主要區域，分別為D層（60～90 km），E層（90～140 km）和F層（140～

1 000 km）。D層主要的輻射源為Lyman-a射線，是高頻電磁波的主要吸收區域。E層主要電離源是太陽X射線，E層嚴格服從Chapman分布模式。F層的主要電離源是太陽紫外線，電離層中電子密度最大值位于該層。在白天，F層在分子離子層和原子離子層的過渡區可能會分裂成F1和F2層，這是由于在過渡區電子的損失率存在較大的變化。

電離層中的電子密度一般是連續變化的均勻結構，但是在電離層F層區域，經常存在電子密度不連續或突變的不均勻結構體，這種不均勻體結構在電離圖上表現為F層回波的擴展或者彌散，這種F層不均勻體結構一般稱之為等離子體泡或赤道擴展F。該不均勻體結構主要分布在磁赤道和高緯地區，但是在中低緯度地區也經常可以觀測到，并且大部分出現在夜晚。等離子體泡的觸發機制主要是由于電場，中性風或者重力波等因素在電離層F層底部產生初始擾動，再通過等離子體的非線性運動發展成擴展F。因此對該現象的研究對于理解和認識電離層的電動力學過程、物理變化規律、電離層和中高層大氣耦合物理過程具有重要的科學意義。另外，由于電離層擴展F的存在會導致無線電波在傳播過程中信號的幅頻特性發生明顯的變化，會嚴重影響依賴于電離層的民用和軍用雷達系統以及衛星通信與導航的穩定性和精度。因此，對電離層等離子體泡的研究同時具有重要的工程應用價值。

一般在研究電離層等離子泡激發的物理過程時，數值模擬方法是研究電離層等離子體演化過程的重要手段之一。因此在實際研究當中，一般需要先構建模擬方程，再確定初始條件和邊界條件，最后通過數值計算方法對模擬方程進行迭代求解，以得到不同時刻不同位置電離層中電子密度值，以此觀察等離子體泡的物理演化過程。在整個求解過程中，其和數學物理方程課程中定解問題非常相似，因此本文通過把對電離層等離子體泡的研究，總結提煉成對電離層中一個定解問題的研究，并形成一個教學案例。

1.2" 數學物理方程

本文引入電離層等離子體泡的數值模擬研究[9]作為案例教學，在電離層的等離子體環境中，電子離子都滿足相關的數學物理方程。電子和離子同時滿足粒子密度的連續性方程，同時電子和離子在電磁環境背景下滿足粒子的運動方程，最后電子和離子的運動會在等離子體中產生極化電流，滿足電流的連續性方程。通過對等離子體中電子離子在電磁場環境中的運動過程進行分析，可以用一組偏微分方程來描述等離子體中電子離子的運動變化，同時也可以得到等離子體中的電流變化滿足的偏微分方程，相關的數理方程可由式（1）表示：

（1）

其中，N0表示初始電子/離子密度，Ni表示離子密度，Ne表示電子密度，在準中性條件下，Ne≈Ni，vα表示電子的復合系數， 和" 分別表示電子或者離子的速度，Me和Mi分別表示電子和離子的質量， 和" 分別表示電子和離子的速度， 表示電場，， 是背景電場，φ是擾動電勢， 表示背景磁場強度，νen和νin分別表示電子和離子與中性氣體分子的碰撞頻率， 表示重力加速度，q表示單位電荷， 表示總的電流密度。

在該教學案例中，定解問題是地球空間電離層中等離子體在特定空間和特定條件下的運動過程，因此需要設定模擬過程的具體空間以及邊界條件，同時還需要確定該定解問題的初始條件。

1.3" 邊界條件

在該教學案例中，在等離子體模擬中采用二維坐標系，其中X表示水平方向，Z表示垂直方向，水平方向201個數據點，垂直方向上201個數據點，每個數據點的間隔為2 km，模擬的空間范圍為水平方向401 km，垂直方向250～650 km的一個二維空間。定解問題的水平方向邊界條件采用周期邊界條件，垂直方向采用第二類邊界條件 。

1.4" 初始條件

在該教學案例中，由于需要模擬電子/離子的運動過程，而電子/離子的運動過程受電場，磁場以及重力的作用，因此在定解問題的求解過程中，需要提供電場和磁場的背景值。為了研究電子/離子密度的變化，需要提供電子/離子密度的初始值，由于在本次教學案例中，只考慮一種離子成分，又因為等離子體的準中性的性質，電子與離子密度可近似相等，因此在實際模擬中，只需要提供初始的電子密度擾動即可。在本文模擬中，初始的電子密度擾動由一個余弦擾動計算得到。二維電子密度初始擾動由式（2）表示：

（2）

其中，N0表示背景電子密度，A表示擾動幅度，kx表示水平波數，kz表示垂直波數， 是擾動的初始相位。電離層可以認為是大氣重力波擾動的被動示蹤物，通過大氣重力波色散關系來計算擾動的相關參數是可行的。因此，在電離層的擾動過程中，當垂直波長小于等于500 km時，本文TIDs擾動的垂直波長和水平波長可以近似用式（3）表示：

（3）

其中，ω表示擾動角頻率，ωg表示Brunt-Vaisala頻率（在本文中，ωg約等于2π/（14 min）），λx表示水平波長，λz表示垂直波長。

在模擬過程中，通過擾動的周期和水平波長可以即可由式（2～3）計算電離層中電子密度的初始擾動值，然后利用電離層的初始擾動條件作為定解問題的初始條件。

在本文中，電離層初始擾動的水平波長300 km，周期40 min，通過式（2～3）的計算得到初始電子密度的分布如圖1所示[9]。背景磁場的初始值B0 = 3×105nT，背景電場在水平方向不變，在垂直方向存在變化，在大約450 km時，東向電場值開始指數衰減。初始值如圖2所示[9]，其中電場和磁場在整個模擬過程中保持不變。為了說明初始條件的變化對模擬結果的影響，本教案中，分兩種情況進行模擬，一種是在模擬過程中設定電子的復合系數vα，一種是不考慮電子復合系數，即vα = 0。

1.5" 求解方法

在求解定解問題的數學物理方程時，當邊界條件和初始條件比較簡單時，可以通過分離變量等相關方法求解析解[1-3]。但是在研究實際問題時，很多情況下無法求得定解問題的解析解，因此需要通過另一種方法求解定解問題，即數值求解法。在本教學案例中，采用數值求解法求解以上介紹的數理方程，詳細的介紹方法可參考文獻[9]。

2" 定解問題的可視化

通過對上述定解問題的分析，并利用數值求解法可以得到等離子體中離子運動的基本過程，可對不同時刻離子密度的變化進行可視化，以增強學生對該物理問題的理解。圖3-4所示是電子密度的在不同時刻的變化情況，圖中顏色代表不同的電子密度，在低高度，電子較低，高高度，電子密度較高。從圖中可知，隨著等離子體的運動，低密度區域會向高密度區域發展。該定解問題很好地描述了電離層中常見的等離子體泡的發展過程，為電離層物理的相關研究提供了理論基礎。但是圖3和圖4模擬的等離子體泡的形態則存在明顯的不同，在考慮電子復合系數的情況下，等離子體泡的形態比較單一，而在不考慮電子復合系數的情況下，等離子體泡的形態結構更為復雜。圖3和圖4的模擬結果說明，不同的初始條件，對定解問題的模擬存在很大的影響。在實際物理問題的模擬研究中，初始條件和邊界條件經常是需要重點考慮的問題。

3" 結" 論

在數學物理方程的教學中，把科學研究相關的物理問題通過整理，歸納和總結，形成一些有價值的教學案例，使學生在學習相關課程時能夠理解所學知識和物理問題之間的聯系，學習如何利用課程相關知識去解決實際物理問題。同時對教學案例進行可視化教學，可進一步激發學生學習該課程的積極性，理解數學物理方程背后的物理意義。本文根據實際科研中電離層等離子體泡的研究，通過總結和歸納，形成電離層研究中的一個定解問題，通過對該定解問題的求解和可視化，使學生對數學物理方程課程中定解問題的理解更加深入。本文是數學物理方程教學過程中案例教學研究的初步探索，以后可以根據不同學科專業背景的授課對象，引入更多研究內容到教學實踐中，提高學生對該課程學習興趣。

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作者簡介：姜春華（1983—），男，漢族，江西鷹潭人，副教授，博士，研究方向：數學物理方程的教學、電離層物理。